מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 8 ברמת בגרות

5 יח"ל · שאלון 035571 · 8 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 571 (5 יח"ל), ברמת בגרות: 8 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א(1).

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל nnn טבעי: 11⋅3+13⋅5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac n{2n+1}1⋅31​+3⋅51​+⋯+(2n−1)(2n+1)1​=2n+1n​.

א(2).

האם הביטוי: 1⋅3+3⋅5+⋯+(2n−1)(2n+1)1\cdot3+3\cdot5+\dots+(2n-1)(2n+1)1⋅3+3⋅5+⋯+(2n−1)(2n+1) שווה ל-2n+1n\frac{2n+1}nn2n+1​ בעבור כל nnn טבעי? נמקו את תשובתכם.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה K היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α.

ב(1).

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC, ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AKB.

נתון כי היחס שהבעתם בתת-סעיף (1) שווה ל-1, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AKB.

ב(2).

הוכיחו כי המשולש ABC הוא משולש שווה-צלעות.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה: x=−2x=-2x=−2. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx היא בנקודה (3,0)(3,0)(3,0).

ג(1).

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

נתון כי הפונקציה g(x)g(x)g(x) היא פונקציה זוגית המוגדרת לכל xxx. פונקציית הנגזרת g′(x)g'(x)g′(x) מקיימת: g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x). נתון: g(3)=1g(3)=1g(3)=1.

ג(2).

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ג(3).

לפניכם שני היגדים I-II. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.
I. g(x)≤1g(x)\le1g(x)≤1 לכל xxx.
II. שיעור ה-yyy של נקודת המינימום של הפונקציה g(x)g(x)g(x) הוא בין 1 ל-3.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x).
f(x)

ד(1).

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x), נמקו את קביעתכם:
I. f(x)=−x(x+5)(x−6)f(x)=-x(x+5)(x-6)f(x)=−x(x+5)(x−6)
II. f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)
III. f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)
IV. f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x-1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

ד(2).

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד(3).

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

נתון: ∫25g(x) dx=k\int_2^5g(x)\,dx=k∫25​g(x)dx=k.

ד(4).

הביעו באמצעות kkk את הערך של: ∫03[3⋅g(x+2)−2]dx\int_0^3\left[3\cdot g(x+2)-2\right]dx∫03​[3⋅g(x+2)−2]dx.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א(1)

תשובה:

הוכחה

שלב הבסיס (n=1n=1n=1): אגף שמאל 11⋅3=13\frac1{1\cdot3}=\frac131⋅31​=31​, אגף ימין 12+1=13\frac1{2+1}=\frac132+11​=31​. שווים.
הנחת האינדוקציה: נניח שעבור n=kn=kn=k מתקיים 11⋅3+⋯+1(2k−1)(2k+1)=k2k+1\frac1{1\cdot3}+\dots+\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac k{2k+1}1⋅31​+⋯+(2k−1)(2k+1)1​=2k+1k​.
שלב הצעד: האיבר ה-(k+1)(k+1)(k+1) הוא 1(2(k+1)−1)(2(k+1)+1)=1(2k+1)(2k+3)\frac1{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}=\frac1{(2k+1)(2k+3)}(2(k+1)−1)(2(k+1)+1)1​=(2k+1)(2k+3)1​. לפי ההנחה:
k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3\frac k{2k+1}+\frac1{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}2k+1k​+(2k+1)(2k+3)1​=(2k+1)(2k+3)k(2k+3)+1​=(2k+1)(2k+3)2k2+3k+1​=(2k+1)(2k+3)(2k+1)(k+1)​=2k+3k+1​
ו-k+12(k+1)+1=k+12k+3\frac{k+1}{2(k+1)+1}=\frac{k+1}{2k+3}2(k+1)+1k+1​=2k+3k+1​ - זו הטענה עבור n=k+1n=k+1n=k+1. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל nnn טבעי.
(דרך אחרת: 1(2i−1)(2i+1)=12(12i−1−12i+1)\frac1{(2i-1)(2i+1)}=\frac12\left(\frac1{2i-1}-\frac1{2i+1}\right)(2i−1)(2i+1)1​=21​(2i−11​−2i+11​), והסכום מתקפל ל-12(1−12n+1)=n2n+1\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac n{2n+1}21​(1−2n+11​)=2n+1n​.)
טעות נפוצה: לכתוב את האיבר ה-(k+1)(k+1)(k+1) כ-1(2k+1)(2k+2)\frac1{(2k+1)(2k+2)}(2k+1)(2k+2)1​ (להוסיף 1 במקום 2 לכל גורם), לקבל k2k+1+1(2k+1)(2k+2)=2k2+2k+1(2k+1)(2k+2)\frac k{2k+1}+\frac1{(2k+1)(2k+2)}=\frac{2k^2+2k+1}{(2k+1)(2k+2)}2k+1k​+(2k+1)(2k+2)1​=(2k+1)(2k+2)2k2+2k+1​, שאינו מצטמצם ל-k+12k+3\frac{k+1}{2k+3}2k+3k+1​.

סעיף א(2)

תשובה:

לא. למשל עבור n=2n=2n=2: 1⋅3+3⋅5=18≠521\cdot3+3\cdot5=18\neq\frac521⋅3+3⋅5=18=25​

מספיקה דוגמה נגדית אחת.
עבור n=1n=1n=1: 1⋅3=31\cdot3=31⋅3=3 ו-2+11=3\frac{2+1}1=312+1​=3 - כאן יש שוויון.
עבור n=2n=2n=2: 1⋅3+3⋅5=3+15=181\cdot3+3\cdot5=3+15=181⋅3+3⋅5=3+15=18, ואילו 4+12=52\frac{4+1}2=\frac5224+1​=25​. 18≠5218\neq\frac5218=25​.
לכן הביטוי אינו שווה ל-2n+1n\frac{2n+1}nn2n+1​ לכל nnn.
(אגף שמאל הוא סכום של מספרים טבעיים שגדל עם nnn, ואילו 2n+1n≤3\frac{2n+1}n\le3n2n+1​≤3. הפיכת כל איבר בסכום של א(1) לא הופכת את התוצאה.)
טעות נפוצה: לבדוק רק את n=1n=1n=1, לקבל 3=33=33=3, ולענות "כן".

סעיף ב(1)

תשובה:

12sin⁡α2\frac1{2\sin\frac\alpha2}2sin2α​1​

נסמן ב-RRR את רדיוס המעגל החוסם את ABC, וב-rrr את רדיוס המעגל החוסם את AKB.
K מרכז המעגל החסום, ולכן AK ו-BK חוצי הזוויות A ו-B: ∠KAB=∠A2\angle KAB=\frac{\angle A}2∠KAB=2∠A​, ∠KBA=∠B2\angle KBA=\frac{\angle B}2∠KBA=2∠B​.
∠A+∠B=180∘−α\angle A+\angle B=180^\circ-\alpha∠A+∠B=180∘−α, ולכן במשולש AKB:
∠AKB=180∘−∠A+∠B2=180∘−180∘−α2=90∘+α2\angle AKB=180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}2=180^\circ-\frac{180^\circ-\alpha}2=90^\circ+\frac\alpha2∠AKB=180∘−2∠A+∠B​=180∘−2180∘−α​=90∘+2α​
משפט הסינוסים במשולש ABC: AB=2Rsin⁡αAB=2R\sin\alphaAB=2Rsinα.
משפט הסינוסים במשולש AKB: AB=2rsin⁡(90∘+α2)=2rcos⁡α2AB=2r\sin\left(90^\circ+\frac\alpha2\right)=2r\cos\frac\alpha2AB=2rsin(90∘+2α​)=2rcos2α​.
Rr=cos⁡α2sin⁡α=cos⁡α22sin⁡α2cos⁡α2=12sin⁡α2\frac Rr=\frac{\cos\frac\alpha2}{\sin\alpha}=\frac{\cos\frac\alpha2}{2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}=\frac1{2\sin\frac\alpha2}rR​=sinαcos2α​​=2sin2α​cos2α​cos2α​​=2sin2α​1​
טעות נפוצה: לשכוח לחלק את הזוויות A ו-B ב-2 (כאילו AK ו-BK הן הצלעות AC ו-BC), לקבל ∠AKB=180∘−(∠A+∠B)=α\angle AKB=180^\circ-(\angle A+\angle B)=\alpha∠AKB=180∘−(∠A+∠B)=α, ומכאן יחס 1.

סעיף ב(2)

תשובה:

הוכחה

לפי ב(1): 12sin⁡α2=1\frac1{2\sin\frac\alpha2}=12sin2α​1​=1, כלומר sin⁡α2=12\sin\frac\alpha2=\frac12sin2α​=21​. 0∘<α2<90∘0^\circ<\frac\alpha2<90^\circ0∘<2α​<90∘, ולכן α2=30∘\frac\alpha2=30^\circ2α​=30∘ ו-α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.
CB משיקה למעגל החוסם את משולש AKB בנקודה B, ו-BK מיתר במעגל הזה. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני: ∠CBK=∠BAK\angle CBK=\angle BAK∠CBK=∠BAK.
∠CBK=∠B2\angle CBK=\frac{\angle B}2∠CBK=2∠B​ ו-∠BAK=∠A2\angle BAK=\frac{\angle A}2∠BAK=2∠A​ (חוצי זוויות), ולכן ∠A=∠B\angle A=\angle B∠A=∠B.
∠A+∠B=180∘−60∘=120∘\angle A+\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ∠A+∠B=180∘−60∘=120∘, ולכן ∠A=∠B=60∘\angle A=\angle B=60^\circ∠A=∠B=60∘.
שלוש הזוויות שוות ל-60∘60^\circ60∘ - המשולש שווה-צלעות.
טעות נפוצה: לפתור sin⁡α2=12\sin\frac\alpha2=\frac12sin2α​=21​ ולענות α=30∘\alpha=30^\circα=30∘ (לשכוח להכפיל ב-2), ואז לקבל ∠A=∠B=75∘\angle A=\angle B=75^\circ∠A=∠B=75∘ - משולש שווה-שוקיים שאינו שווה-צלעות.

סעיף ג(1)

תשובה:

חיתוכים עם ציר ה-xxx: (−3,0)(-3,0)(−3,0), (0,0)(0,0)(0,0), (3,0)(3,0)(3,0); מקסימום ב-x=−2x=-2x=−2, מינימום ב-x=2x=2x=2; f<0f<0f<0 עבור x<−3x<-3x<−3 ו-0<x<30<x<30<x<3, f>0f>0f>0 עבור −3<x<0-3<x<0−3<x<0 ו-x>3x>3x>3

fff אי-זוגית ורציפה, ולכן f(0)=0f(0)=0f(0)=0, והגרף סימטרי ביחס לראשית.
f(3)=0f(3)=0f(3)=0, ולכן f(−3)=0f(-3)=0f(−3)=0.
למקסימום ב-x=−2x=-2x=−2 מתאים מינימום ב-x=2x=2x=2. נתון שיש רק מקסימום אחד, ולכן אין קיצונים נוספים: fff עולה עבור x<−2x<-2x<−2, יורדת בקטע −2<x<2-2<x<2−2<x<2 ועולה עבור x>2x>2x>2.
בכל קטע מונוטוניות יש אפס אחד לכל היותר, ולכן האפסים הם −3,0,3-3,0,3−3,0,3 והסימנים: שלילית עבור x<−3x<-3x<−3, חיובית בקטע −3<x<0-3<x<0−3<x<0, שלילית בקטע 0<x<30<x<30<x<3, חיובית עבור x>3x>3x>3.
סקיצה אפשרית:
f(x)
טעות נפוצה: לסרטט את הגרף כשהוא מגיע מלמעלה משמאל (כמו במקרה של מינימום), ולקבל f>0f>0f>0 עבור x<−3x<-3x<−3 ועבור 0<x<30<x<30<x<3 - אבל אז fff יורדת לפני x=−2x=-2x=−2, והנקודה ב-x=−2x=-2x=−2 הייתה מינימום ולא מקסימום.

סעיף ג(2)

תשובה:

(3,1)(3,1)(3,1), (−3,1)(-3,1)(−3,1)

g′=−fg'=-fg′=−f, ולכן הסימנים של g′g'g′ הפוכים לאלה של fff:
x<−3x<-3x<−3−3<x<0-3<x<0−3<x<00<x<30<x<30<x<3x>3x>3x>3
f(x)f(x)f(x)−+−+
g′(x)g'(x)g′(x)+−+−
g(x)g(x)g(x)עולהיורדתעולהיורדת
g′g'g′ עוברת מחיובית לשלילית ב-x=−3x=-3x=−3 וב-x=3x=3x=3 - נקודות מקסימום (וב-x=0x=0x=0 מינימום).
g(3)=1g(3)=1g(3)=1 ו-ggg זוגית, ולכן g(−3)=1g(-3)=1g(−3)=1.
נקודות המקסימום: (3,1)(3,1)(3,1) ו-(−3,1)(-3,1)(−3,1).
טעות נפוצה: להתעלם מהמינוס ולקבוע את מגמת ggg לפי הסימן של fff, ולקבל ש-(3,1)(3,1)(3,1) ו-(−3,1)(-3,1)(−3,1) הן נקודות מינימום, ושנקודת המקסימום היחידה היא ב-x=0x=0x=0.

	$x<-3$	$-3<x<0$	$0<x<3$	$x>3$
$f(x)$	−	+	−	+
$g'(x)$	+	−	+	−
$g(x)$	עולה	יורדת	עולה	יורדת

סעיף ג(3)

תשובה:

I. נכון. II. אינו נכון.

I: ggg עולה עבור x<−3x<-3x<−3 עד הערך g(−3)=1g(-3)=1g(−3)=1, ויורדת עבור x>3x>3x>3 מהערך g(3)=1g(3)=1g(3)=1. בקטע −3≤x≤3-3\le x\le3−3≤x≤3 הערכים הגדולים ביותר הם בקצוות (המינימום באמצע). לכן הערך הגדול ביותר של ggg הוא 1, ו-g(x)≤1g(x)\le1g(x)≤1 לכל xxx - ההיגד נכון.
II: המינימום ב-x=0x=0x=0. ggg עולה בקטע 0<x<30<x<30<x<3, ולכן g(0)<g(3)=1g(0)<g(3)=1g(0)<g(3)=1. שיעור ה-yyy של המינימום קטן מ-1 - ההיגד אינו נכון.
טעות נפוצה: להפוך את כיוון המגמה בקטע 0<x<30<x<30<x<3, להסיק g(0)>g(3)=1g(0)>g(3)=1g(0)>g(3)=1, ולקבוע ש-II נכון.

סעיף ד(1)

תשובה:

ביטוי II

לפי הסרטוט: ארבע נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx (שתיים משמאל לציר ה-yyy ושתיים מימינו), שתי הזרועות יורדות ל-−∞-\infty−∞, והגרף חותך את ציר ה-yyy מתחת לציר ה-xxx (f(0)<0f(0)<0f(0)<0).
ביטוי I ממעלה שלישית ויש לו שלושה אפסים בלבד - נפסל.
ביטוי III: מקדם מוביל חיובי, כלומר הזרועות עולות ל-+∞+\infty+∞ - נפסל.
ביטוי IV: האפסים −5,1,2,6-5,1,2,6−5,1,2,6 - רק אחד מהם שלילי; וגם f(0)=−(5)(−1)(−2)(−6)=60>0f(0)=-(5)(-1)(-2)(-6)=60>0f(0)=−(5)(−1)(−2)(−6)=60>0 - נפסל.
ביטוי II: האפסים −5,−1-5,-1−5,−1 ו-2,62,62,6, מקדם מוביל שלילי, ו-f(0)=−(5)(1)(−2)(−6)=−60<0f(0)=-(5)(1)(-2)(-6)=-60<0f(0)=−(5)(1)(−2)(−6)=−60<0. מתאים לסרטוט.
טעות נפוצה: לבחור בביטוי III כי האפסים שלו זהים לאפסים בסרטוט, בלי לבדוק את המקדם המוביל - לביטוי III צורת W, הפוכה לסרטוט.

סעיף ד(2)

תשובה:

−5≤x≤−1-5\le x\le-1−5≤x≤−1 או 2≤x≤62\le x\le62≤x≤6

g=fg=\sqrt fg=f​ מוגדרת כאשר f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.
f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6): מקדם מוביל שלילי, ולכן f<0f<0f<0 עבור x>6x>6x>6, והסימן מתחלף בכל אפס פשוט:
f>0f>0f>0 בקטעים −5<x<−1-5<x<-1−5<x<−1 ו-2<x<62<x<62<x<6, ו-f<0f<0f<0 עבור x<−5x<-5x<−5, −1<x<2-1<x<2−1<x<2, x>6x>6x>6 (בהתאם לשתי ה"גבעות" שבסרטוט).
תחום ההגדרה: −5≤x≤−1-5\le x\le-1−5≤x≤−1 או 2≤x≤62\le x\le62≤x≤6.
טעות נפוצה: לבנות את טבלת הסימנים כאילו המקדם המוביל חיובי, ולקבל את התחום ההפוך: x≤−5x\le-5x≤−5 או −1≤x≤2-1\le x\le2−1≤x≤2 או x≥6x\ge6x≥6.

סעיף ד(3)

תשובה:

שתי "קשתות" נפרדות מעל ציר ה-xxx: בקטע −5≤x≤−1-5\le x\le-1−5≤x≤−1 ובקטע 2≤x≤62\le x\le62≤x≤6, כל אחת עם מקסימום באותו xxx שבו יש ל-fff מקסימום, ומשיקים אנכיים בקצוות

ggg מוגדרת בשני קטעים סגורים, ו-g≥0g\ge0g≥0.
t\sqrt tt​ עולה, ולכן בכל קטע ל-ggg אותם תחומי עלייה וירידה כמו ל-fff: כל קטע הוא "קשת" שמתחילה ב-0, עולה עד המקסימום של fff באותו קטע, ויורדת שוב ל-0.
באפסים של fff (שהם אפסים פשוטים) הגרף של g=fg=\sqrt fg=f​ "נכנס" לציר ה-xxx אנכית.
סקיצה:
g(x)
טעות נפוצה: לסרטט גם את הקטע −1<x<2-1<x<2−1<x<2 (שבו f<0f<0f<0) כ"קשת" הפוכה מתחת לציר ה-xxx - שורש ריבועי אינו מוגדר כשהביטוי שלילי ואינו מקבל ערכים שליליים.

סעיף ד(4)

תשובה:

3k−63k-63k−6

∫03[3g(x+2)−2]dx=3∫03g(x+2) dx−∫032 dx\int_0^3\left[3g(x+2)-2\right]dx=3\int_0^3g(x+2)\,dx-\int_0^32\,dx∫03​[3g(x+2)−2]dx=3∫03​g(x+2)dx−∫03​2dx
g(x+2)g(x+2)g(x+2) היא הזזה של ggg שמאלה ב-2. כאשר xxx עובר מ-0 ל-3, הביטוי x+2x+2x+2 עובר מ-2 ל-5, ולכן:
∫03g(x+2) dx=∫25g(t) dt=k\int_0^3g(x+2)\,dx=\int_2^5g(t)\,dt=k∫03​g(x+2)dx=∫25​g(t)dt=k
∫032 dx=2⋅3=6\int_0^32\,dx=2\cdot3=6∫03​2dx=2⋅3=6.
סה"כ: 3k−63k-63k−6.
טעות נפוצה: לכתוב ∫032 dx=2\int_0^32\,dx=2∫03​2dx=2 (לשכוח את אורך הקטע) ולקבל 3k−23k-23k−2.

שאלה 2 · סדרה הנדסית: מכפלת האיברים הצמודים לאיבר האמצעי, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופי

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא ana_nan​ ומנתה היא qqq.

א.

הוכיחו כי לכל nnn טבעי מתקיים: a2⋅a2n=an⋅an+2a_2\cdot a_{2n}=a_n\cdot a_{n+2}a2​⋅a2n​=an​⋅an+2​.

בעבור 2k+12k+12k+1 האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים הצמודים לאיבר האמצעי (האיבר שלפניו והאיבר שאחריו) שווה: −1,536⋅a2-1{,}536\cdot a_2−1,536⋅a2​. נתון: a2k−2=−384a_{2k-2}=-384a2k−2​=−384.

ב.

מצאו את qqq (שתי אפשרויות).

נתון: a1=3a_1=3a1​=3.

ג(1).

קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את התשובה.

ג(2).

מצאו את kkk.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: 1a1,1a2,1a3,1a4,…\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldotsa1​1​,a2​1​,a3​1​,a4​1​,….

ד.

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.

בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי-זוגיים כך שמתקבלת הסדרה C שלפניכם: −1a1,1a2,−1a3,1a4,…-\frac1{a_1},\frac1{a_2},-\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots−a1​1​,a2​1​,−a3​1​,a4​1​,….

ה.

מצאו את סכום הסדרה C.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

הוכחה

לפי an=a1qn−1a_n=a_1q^{n-1}an​=a1​qn−1:
אגף שמאל: a2⋅a2n=a1q⋅a1q2n−1=a12q2na_2\cdot a_{2n}=a_1q\cdot a_1q^{2n-1}=a_1^2q^{2n}a2​⋅a2n​=a1​q⋅a1​q2n−1=a12​q2n.
אגף ימין: an⋅an+2=a1qn−1⋅a1qn+1=a12q2na_n\cdot a_{n+2}=a_1q^{n-1}\cdot a_1q^{n+1}=a_1^2q^{2n}an​⋅an+2​=a1​qn−1⋅a1​qn+1=a12​q2n.
האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה לכל nnn טבעי.
טעות נפוצה: לכתוב a2=a1q2a_2=a_1q^2a2​=a1​q2 (המעריך הוא המקום עצמו) ולקבל באגף שמאל a12q2n+1a_1^2q^{2n+1}a12​q2n+1, שאינו שווה לאגף ימין.

סעיף ב

תשובה:

q=2q=2q=2 או q=−2q=-2q=−2

ב-2k+12k+12k+1 איברים האיבר האמצעי הוא ak+1a_{k+1}ak+1​ (kkk איברים לפניו ו-kkk אחריו). האיברים הצמודים לו הם aka_kak​ ו-ak+2a_{k+2}ak+2​.
לפי סעיף א עם n=kn=kn=k: ak⋅ak+2=a2⋅a2ka_k\cdot a_{k+2}=a_2\cdot a_{2k}ak​⋅ak+2​=a2​⋅a2k​. לכן a2⋅a2k=−1536⋅a2a_2\cdot a_{2k}=-1536\cdot a_2a2​⋅a2k​=−1536⋅a2​, ומאחר ש-a2≠0a_2\neq0a2​=0:
a2k=−1536a_{2k}=-1536a2k​=−1536
a2k=a2k−2⋅q2a_{2k}=a_{2k-2}\cdot q^2a2k​=a2k−2​⋅q2, ולכן:
q2=−1536−384=4⇒q=2  או  q=−2q^2=\frac{-1536}{-384}=4\quad\Rightarrow\quad q=2\ \ \text{או}\ \ q=-2q2=−384−1536​=4⇒q=2  או  q=−2
טעות נפוצה: לכתוב a2k=a2k−2⋅qa_{2k}=a_{2k-2}\cdot qa2k​=a2k−2​⋅q ולקבל q=4q=4q=4 - בין המקומות יש שני צעדים.

סעיף ג(1)

תשובה:

לא עולה ולא יורדת (q=−2q=-2q=−2)

a2k=a1q2k−1=3q2k−1=−1536a_{2k}=a_1q^{2k-1}=3q^{2k-1}=-1536a2k​=a1​q2k−1=3q2k−1=−1536, ולכן q2k−1=−512<0q^{2k-1}=-512<0q2k−1=−512<0.
2k−12k-12k−1 אי-זוגי, וחזקה אי-זוגית של מספר חיובי היא חיובית. לכן q<0q<0q<0: q=−2q=-2q=−2, והאפשרות q=2q=2q=2 נפסלת.
q<0q<0q<0: סימני האיברים מתחלפים (3,−6,12,−24,…3,-6,12,-24,\ldots3,−6,12,−24,…), ולכן הסדרה לא עולה ולא יורדת.
טעות נפוצה: לבחור q=2q=2q=2 ("המנה החיובית") ולענות שהסדרה עולה - אז a2k=3⋅22k−1a_{2k}=3\cdot2^{2k-1}a2k​=3⋅22k−1 חיובי, בסתירה ל-a2k=−1536a_{2k}=-1536a2k​=−1536.

סעיף ג(2)

תשובה:

k=5k=5k=5

(−2)2k−1=−512=(−2)9⇒2k−1=9⇒k=5(-2)^{2k-1}=-512=(-2)^9\quad\Rightarrow\quad2k-1=9\quad\Rightarrow\quad k=5(−2)2k−1=−512=(−2)9⇒2k−1=9⇒k=5
בדיקה: a10=3⋅(−2)9=−1536a_{10}=3\cdot(-2)^9=-1536a10​=3⋅(−2)9=−1536 ו-a8=3⋅(−2)7=−384a_8=3\cdot(-2)^7=-384a8​=3⋅(−2)7=−384, כנתון.
טעות נפוצה: להשוות 2k=92k=92k=9 ולקבל k=4.5k=4.5k=4.5, שאינו טבעי - המעריך של a2ka_{2k}a2k​ הוא 2k−12k-12k−1.

סעיף ד

תשובה:

הוכחה

a1≠0a_1\neq0a1​=0 ו-q≠0q\neq0q=0, ולכן B מוגדרת. נסמן bn=1anb_n=\frac1{a_n}bn​=an​1​:
bn+1bn=1an+11an=anan+1=1q\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac1{a_{n+1}}}{\frac1{a_n}}=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac1qbn​bn+1​​=an​1​an+1​1​​=an+1​an​​=q1​
היחס קבוע, ולכן B סדרה הנדסית שמנתה 1q=−12\frac1q=-\frac12q1​=−21​ ואיברה הראשון 13\frac1331​.
טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולכתוב שמנת B היא 12\frac1221​ - ההופכי של −2-2−2 הוא −12-\frac12−21​; סימני האיברים של B מתחלפים כמו ב-A.

סעיף ה

תשובה:

SC=−23S_C=-\frac23SC​=−32​

cn=(−1)n⋅1anc_n=(-1)^n\cdot\frac1{a_n}cn​=(−1)n⋅an​1​, והיחס בין איברים עוקבים:
cn+1cn=−anan+1=−1q=−1−2=12\frac{c_{n+1}}{c_n}=-\frac{a_n}{a_{n+1}}=-\frac1q=-\frac1{-2}=\frac12cn​cn+1​​=−an+1​an​​=−q1​=−−21​=21​
C סדרה הנדסית: c1=−1a1=−13c_1=-\frac1{a_1}=-\frac13c1​=−a1​1​=−31​, והמנה 12\frac1221​ (כל האיברים שליליים: −13,−16,−112,…-\frac13,-\frac16,-\frac1{12},\ldots−31​,−61​,−121​,…). ∣12∣<1\left|\frac12\right|<1​21​​<1, ולכן:
SC=−131−12=−23S_C=\frac{-\frac13}{1-\frac12}=-\frac23SC​=1−21​−31​​=−32​
טעות נפוצה: לקחת עבור C את מנת B (−12-\frac12−21​) ולקבל −131+12=−29\frac{-\frac13}{1+\frac12}=-\frac291+21​−31​​=−92​.

שאלה 3 · ברנולי: משחק בן 6 שלבים עם ניקוד שונה לכל שלב - מציאת p, ניקוד מצטבר והסתברות מותנית

במשחק מחשב יש 6 שלבים. ההסתברות לעבור כל אחד מן השלבים היא ppp, בלי תלות בשלבים האחרים (שחקן מנסה את כל 6 השלבים). ידוע כי ההסתברות ששחקן יעבור לפחות שלב אחד היא 0.999271.

א.

מצאו את ppp.

ב.

מצאו את ההסתברות ששחקן יעבור 4 שלבים בדיוק.

מספר הנקודות שמקבלים על מעבר שלב זהה למספר השלב: על מעבר שלב 1 מקבלים נקודה אחת, על מעבר שלב 2 - שתי נקודות, וכן הלאה.

ג.

מצאו את ההסתברות ששחקן יצבור 19 נקודות לפחות.

ד.

מצאו את ההסתברות ששחקן יצבור 6 נקודות בדיוק.

ידוע ששחקן מסוים עבר 2 שלבים בדיוק.

ה.

מצאו את ההסתברות שהוא צבר 6 נקודות בדיוק.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

p=0.7p=0.7p=0.7

״לפחות שלב אחד״ הוא המשלים של ״אף שלב״:
1−(1−p)6=0.999271 ⇒ (1−p)6=0.000729 ⇒ 1−p=0.0007296=0.31-(1-p)^6=0.999271\ \Rightarrow\ (1-p)^6=0.000729\ \Rightarrow\ 1-p=\sqrt[6]{0.000729}=0.31−(1−p)6=0.999271 ⇒ (1−p)6=0.000729 ⇒ 1−p=60.000729​=0.3
לכן p=0.7p=0.7p=0.7.
טעות נפוצה: לכתוב את המשלים כ-1−p61-p^61−p6 (״לא כל השלבים״), לפתור p6=0.000729p^6=0.000729p6=0.000729 ולענות p=0.3p=0.3p=0.3.

סעיף ב

תשובה:

0.3241350.3241350.324135

P(4)=(64)⋅0.74⋅0.32=15⋅0.2401⋅0.09=0.324135P(4)=\binom64\cdot0.7^4\cdot0.3^2=15\cdot0.2401\cdot0.09=0.324135P(4)=(46​)⋅0.74⋅0.32=15⋅0.2401⋅0.09=0.324135
טעות נפוצה: לשכוח את המקדם (64)\binom64(46​) ולענות 0.74⋅0.32=0.0216090.7^4\cdot0.3^2=0.0216090.74⋅0.32=0.021609.

סעיף ג

תשובה:

0.2184910.2184910.218491

הניקוד המרבי: 1+2+…+6=211+2+\ldots+6=211+2+…+6=21. 19 נקודות לפחות פירושו הפסד של 2 נקודות לכל היותר: כל השלבים (21), כולם חוץ משלב 1 (20), או כולם חוץ משלב 2 (19).
P=0.76+2⋅0.3⋅0.75=0.117649+0.100842=0.218491P=0.7^6+2\cdot0.3\cdot0.7^5=0.117649+0.100842=0.218491P=0.76+2⋅0.3⋅0.75=0.117649+0.100842=0.218491
טעות נפוצה: לשכוח את האפשרות שנכשלים רק בשלב 2, ולענות 0.76+0.3⋅0.75=0.168070.7^6+0.3\cdot0.7^5=0.168070.76+0.3⋅0.75=0.16807.

סעיף ד

תשובה:

0.01890.01890.0189

מונים את קבוצות השלבים שסכום מספריהן 6: {6}\{6\}{6}, {1,5}\{1,5\}{1,5}, {2,4}\{2,4\}{2,4}, {1,2,3}\{1,2,3\}{1,2,3}.
שלב אחד: 0.7⋅0.35=0.0017010.7\cdot0.3^5=0.0017010.7⋅0.35=0.001701. כל זוג: 0.72⋅0.34=0.0039690.7^2\cdot0.3^4=0.0039690.72⋅0.34=0.003969. שלשה: 0.73⋅0.33=0.0092610.7^3\cdot0.3^3=0.0092610.73⋅0.33=0.009261.
P=0.001701+2⋅0.003969+0.009261=0.0189P=0.001701+2\cdot0.003969+0.009261=0.0189P=0.001701+2⋅0.003969+0.009261=0.0189
טעות נפוצה: לשכוח שאפשר לצבור 6 נקודות ממעבר של שלב 6 לבדו, ולענות 0.0171990.0171990.017199.

סעיף ה

תשובה:

215\frac{2}{15}152​

בהינתן 2 הצלחות בדיוק, כל אחד מ-(62)=15\binom62=15(26​)=15 הזוגות של שלבים שעברו שווה הסתברות (0.72⋅0.340.7^2\cdot0.3^40.72⋅0.34 לכל זוג).
זוגות שסכומם 6: {1,5}\{1,5\}{1,5} ו-{2,4}\{2,4\}{2,4}. לכן ההסתברות 215\frac{2}{15}152​.
טעות נפוצה: לספור את כל הצירופים מסעיף ד שנותנים 6 נקודות (כולל {6}\{6\}{6} ו-{1,2,3}\{1,2,3\}{1,2,3}), ולענות 415\frac{4}{15}154​.

שאלה 4 · משולש שווה-שוקיים: מקבילים לשוקיים, דלתון ומרובע בר-חסימה

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, BA=BCBA=BCBA=BC. הנקודות L ו-K נמצאות על הבסיס AC. דרך הנקודה K העבירו ישר המקביל לשוק BA, והוא חותך את השוק BC בנקודה D. דרך הנקודה L העבירו ישר המקביל לשוק BC, והוא חותך את השוק BA בנקודה E.
נתון: AL=LK=KCAL=LK=KCAL=LK=KC.
ABCLKDE

א.

חשבו את: BDDC\frac{BD}{DC}DCBD​.

הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.

ב.

הוכיחו כי המרובע BDGE הוא דלתון.

נתון: AC=24AC=24AC=24. היקף המרובע EDKL הוא 34.

ג.

חשבו את אורך הקטע BG.

ד.

האם קיימת נקודה F שנמצאת על הישר BG שעבורה המרובע BDFE הוא בר-חסימה במעגל? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

BDDC=2\frac{BD}{DC}=2DCBD​=2

נסמן AL=LK=KC=tAL=LK=KC=tAL=LK=KC=t, כך ש-AK=2tAK=2tAK=2t ו-AC=3tAC=3tAC=3t.
DK∥BADK\parallel BADK∥BA. לפי משפט תאלס במשולש ABC (הישר KD מקביל לצלע AB):
BDDC=AKKC=2tt=2\frac{BD}{DC}=\frac{AK}{KC}=\frac{2t}{t}=2DCBD​=KCAK​=t2t​=2
טעות נפוצה: לכתוב BDDC=KCAC=13\frac{BD}{DC}=\frac{KC}{AC}=\frac13DCBD​=ACKC​=31​ - היחס 13\frac1331​ הוא DCBC\frac{DC}{BC}BCDC​, לא BDDC\frac{BD}{DC}DCBD​.

סעיף ב

תשובה:

הוכחה

BE=BDBE=BDBE=BD: באותו אופן, EL∥BCEL\parallel BCEL∥BC נותן BEEA=CLLA=2\frac{BE}{EA}=\frac{CL}{LA}=2EABE​=LACL​=2. לכן BE=23BABE=\frac23BABE=32​BA ו-BD=23BCBD=\frac23BCBD=32​BC, ומאחר ש-BA=BCBA=BCBA=BC, BE=BDBE=BDBE=BD.
EDKL טרפז שווה-שוקיים: BEBA=BDBC\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}BABE​=BCBD​, ולכן לפי המשפט ההפוך לתאלס ED∥ACED\parallel ACED∥AC. המשולש CDK דומה למשולש CBA ביחס KCAC=13\frac{KC}{AC}=\frac13ACKC​=31​, ולכן DK=13BADK=\frac13BADK=31​BA; באותו אופן EL=13BCEL=\frac13BCEL=31​BC, ולכן EL=DKEL=DKEL=DK. ED=23AC=2t≠LK=tED=\frac23AC=2t\neq LK=tED=32​AC=2t=LK=t, כך שזה טרפז ולא מקבילית, ושוקיו EL ו-DK שוות.
GE=GDGE=GDGE=GD: המשולשים ELK ו-DKL חופפים (צ.צ.צ: EL=DKEL=DKEL=DK, LKLKLK משותפת, והאלכסונים בטרפז שווה-שוקיים שווים EK=DLEK=DLEK=DL). לכן ∠GKL=∠GLK\angle GKL=\angle GLK∠GKL=∠GLK, המשולש GLK שווה-שוקיים ו-GL=GKGL=GKGL=GK. מכאן GE=EK−GK=DL−GL=GDGE=EK-GK=DL-GL=GDGE=EK−GK=DL−GL=GD.
שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (BE=BDBE=BDBE=BD, GE=GDGE=GDGE=GD) - BDGE דלתון.
טעות נפוצה: לטעון ש-EDKL מקבילית "כי ED∥LKED\parallel LKED∥LK ו-ELELEL, DKDKDK שוות" - EL ו-DK אינן מקבילות (אחת מקבילה ל-BC והשנייה ל-BA), ו-ED=2LKED=2LKED=2LK.

סעיף ג

תשובה:

BG=8BG=8BG=8

AC=24AC=24AC=24, ולכן LK=8LK=8LK=8 ו-ED=23⋅24=16ED=\frac23\cdot24=16ED=32​⋅24=16.
EL=DKEL=DKEL=DK, ומההיקף: 16+8+2DK=3416+8+2DK=3416+8+2DK=34, כלומר DK=5DK=5DK=5. DK=13BADK=\frac13BADK=31​BA, ולכן BA=15BA=15BA=15.
נוריד את הגובה BM (AM=MC=12AM=MC=12AM=MC=12): BM=152−122=9BM=\sqrt{15^2-12^2}=9BM=152−122​=9.
גובה הטרפז EDKL הוא גובה הנקודה D מעל הבסיס: DCBC=13\frac{DC}{BC}=\frac13BCDC​=31​, ולכן הגובה הוא 13BM=3\frac13BM=331​BM=3.
המשולשים GED ו-GKL דומים (ED∥LKED\parallel LKED∥LK) ביחס EDLK=2\frac{ED}{LK}=2LKED​=2, ולכן G מחלקת את גובה הטרפז ביחס 2:12:12:1 - המרחק שלה מהבסיס הוא 13⋅3=1\frac13\cdot3=131​⋅3=1.
G נמצאת על BM: GE=GDGE=GDGE=GD ו-BE=BDBE=BDBE=BD, ולכן גם G וגם B על האנך האמצעי של ED, שהוא ציר הסימטריה BM.
BG=9−1=8BG=9-1=8BG=9−1=8
טעות נפוצה: להניח ש-G באמצע גובה הטרפז (כמו מרכז של מלבן), כלומר בגובה 1.5, ולקבל BG=7.5BG=7.5BG=7.5 - באלכסוני טרפז היחס הוא יחס הבסיסים.

סעיף ד

תשובה:

כן

לכל נקודה F על הישר BG (ציר הסימטריה): BE=BDBE=BDBE=BD, BFBFBF משותפת ו-∠EBF=∠DBF\angle EBF=\angle DBF∠EBF=∠DBF, ולכן המשולשים BEF ו-BDF חופפים ו-∠BEF=∠BDF\angle BEF=\angle BDF∠BEF=∠BDF.
BDFE בר-חסימה אם ורק אם ∠BEF+∠BDF=180∘\angle BEF+\angle BDF=180^\circ∠BEF+∠BDF=180∘, כלומר ∠BDF=90∘\angle BDF=90^\circ∠BDF=90∘.
האנך לשוק BC בנקודה D אינו מקביל לישר BG (הזווית ∠DBG\angle DBG∠DBG חדה), ולכן הוא חותך את הישר BG בנקודה F, ושם ∠BDF=∠BEF=90∘\angle BDF=\angle BEF=90^\circ∠BDF=∠BEF=90∘. התשובה: כן.
(בנתוני סעיף ג נקודה זו נמצאת על המשך BM מתחת לבסיס, 7237\frac23732​ יחידות מתחת ל-M - מחוץ למשולש, אבל על הישר BG.)
טעות נפוצה: לחשב שהאנך ל-BC ב-D חותך את BM מתחת לבסיס, ולענות "לא" כי הנקודה מחוץ למשולש - השאלה היא על הישר BG, לא על הקטע.

שאלה 5 · טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון

נתון טרפז ABCD (AB∥DC)(AB\parallel DC)(AB∥DC), החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∠CDE=α\angle CDE=\alpha∠CDE=α, AC=kAC=kAC=k.
ABCDE

א(1).

מצאו את זוויות המשולש ACE (הביעו באמצעות α\alphaα אם יש צורך).

א(2).

הביעו באמצעות α\alphaα ו-kkk את אורכי הצלעות AB ו-DC.

נתון כי שטח המשולש ABE גדול פי 2 משטח המשולש DCE.

ב.

מצאו את גודל הזווית α\alphaα.

ג.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו אורך התיכון לצלע EC במשולש AEC הוא 454\sqrt545​.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א(1)

תשובה:

∠EAC=2α−90∘\angle EAC=2\alpha-90^\circ∠EAC=2α−90∘, ∠ACE=90∘\angle ACE=90^\circ∠ACE=90∘, ∠AEC=180∘−2α\angle AEC=180^\circ-2\alpha∠AEC=180∘−2α

∠CDE\angle CDE∠CDE זווית חיצונית למרובע החסום ABCD, ולכן ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α. הטרפז החסום שווה שוקיים, ולכן גם ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α.
AB קוטר, ולכן הזווית ההיקפית הנשענת עליו ישרה: ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘.
במשולש ABC: ∠CAB=90∘−α\angle CAB=90^\circ-\alpha∠CAB=90∘−α, ולכן
∠EAC=∠DAB−∠CAB=α−(90∘−α)=2α−90∘\angle EAC=\angle DAB-\angle CAB=\alpha-(90^\circ-\alpha)=2\alpha-90^\circ∠EAC=∠DAB−∠CAB=α−(90∘−α)=2α−90∘
∠ACE\angle ACE∠ACE צמודה ל-∠ACB\angle ACB∠ACB: ∠ACE=90∘\angle ACE=90^\circ∠ACE=90∘.
∠AEC=180∘−90∘−(2α−90∘)=180∘−2α\angle AEC=180^\circ-90^\circ-(2\alpha-90^\circ)=180^\circ-2\alpha∠AEC=180∘−90∘−(2α−90∘)=180∘−2α.
טעות נפוצה: לבלבל בין ∠EAC\angle EAC∠EAC (בין AE ל-AC) לבין ∠CAB\angle CAB∠CAB (בין AC ל-AB), לכתוב ∠EAC=90∘−α\angle EAC=90^\circ-\alpha∠EAC=90∘−α ולקבל ∠AEC=α\angle AEC=\alpha∠AEC=α.

סעיף א(2)

תשובה:

AB=ksin⁡αAB=\frac{k}{\sin\alpha}AB=sinαk​, DC=ksin⁡(2α−90∘)sin⁡αDC=\frac{k\sin(2\alpha-90^\circ)}{\sin\alpha}DC=sinαksin(2α−90∘)​ (כלומר −kcos⁡2αsin⁡α-\frac{k\cos2\alpha}{\sin\alpha}−sinαkcos2α​)

במשולש ABC (לפי משפט הסינוסים, או ישירות במשולש ישר הזווית, שבו AC מול הזווית α\alphaα):
ABsin⁡90∘=ksin⁡α ⇒ AB=ksin⁡α\frac{AB}{\sin90^\circ}=\frac{k}{\sin\alpha}\ \Rightarrow\ AB=\frac{k}{\sin\alpha}sin90∘AB​=sinαk​ ⇒ AB=sinαk​
במשולש ACD: ∠ADC=180∘−α\angle ADC=180^\circ-\alpha∠ADC=180∘−α, ∠DAC=2α−90∘\angle DAC=2\alpha-90^\circ∠DAC=2α−90∘:
DCsin⁡(2α−90∘)=ksin⁡(180∘−α) ⇒ DC=ksin⁡(2α−90∘)sin⁡α=−kcos⁡2αsin⁡α\frac{DC}{\sin(2\alpha-90^\circ)}=\frac{k}{\sin(180^\circ-\alpha)}\ \Rightarrow\ DC=\frac{k\sin(2\alpha-90^\circ)}{\sin\alpha}=-\frac{k\cos2\alpha}{\sin\alpha}sin(2α−90∘)DC​=sin(180∘−α)k​ ⇒ DC=sinαksin(2α−90∘)​=−sinαkcos2α​
טעות נפוצה: במשולש ישר הזווית ABC לכתוב cos⁡α=ACAB\cos\alpha=\frac{AC}{AB}cosα=ABAC​ (AC הוא הניצב שמול α\alphaα, לא ליד) ולקבל AB=kcos⁡αAB=\frac{k}{\cos\alpha}AB=cosαk​.

סעיף ב

תשובה:

α=67.5∘\alpha=67.5^\circα=67.5∘

△DCE∼△ABE\triangle DCE\sim\triangle ABE△DCE∼△ABE (כי DC∥ABDC\parallel ABDC∥AB), ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: (ABDC)2=2\left(\frac{AB}{DC}\right)^2=2(DCAB​)2=2, ולכן ABDC=2\frac{AB}{DC}=\sqrt2DCAB​=2​.
ABDC=ksin⁡α⋅sin⁡αksin⁡(2α−90∘)=1sin⁡(2α−90∘)=2 ⇒ sin⁡(2α−90∘)=22\frac{AB}{DC}=\frac{k}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha}{k\sin(2\alpha-90^\circ)}=\frac{1}{\sin(2\alpha-90^\circ)}=\sqrt2\ \Rightarrow\ \sin(2\alpha-90^\circ)=\frac{\sqrt2}2DCAB​=sinαk​⋅ksin(2α−90∘)sinα​=sin(2α−90∘)1​=2​ ⇒ sin(2α−90∘)=22​​
2α−90∘2\alpha-90^\circ2α−90∘ זווית במשולש, ולכן 2α−90∘=45∘2\alpha-90^\circ=45^\circ2α−90∘=45∘ או 2α−90∘=135∘2\alpha-90^\circ=135^\circ2α−90∘=135∘, כלומר α=67.5∘\alpha=67.5^\circα=67.5∘ או α=112.5∘\alpha=112.5^\circα=112.5∘.
α\alphaα היא זווית בסיס במשולש ABE, ולכן α<90∘\alpha<90^\circα<90∘: הפתרון 112.5∘112.5^\circ112.5∘ נפסל.
α=67.5∘\alpha=67.5^\circα=67.5∘.
טעות נפוצה: לכתוב ABDC=2\frac{AB}{DC}=2DCAB​=2 (יחס השטחים במקום שורשו); אז sin⁡(2α−90∘)=12\sin(2\alpha-90^\circ)=\frac12sin(2α−90∘)=21​ ומקבלים α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.

סעיף ג

תשובה:

k=8k=8k=8

עבור α=67.5∘\alpha=67.5^\circα=67.5∘: ∠EAC=2⋅67.5∘−90∘=45∘\angle EAC=2\cdot67.5^\circ-90^\circ=45^\circ∠EAC=2⋅67.5∘−90∘=45∘, ∠AEC=180∘−135∘=45∘\angle AEC=180^\circ-135^\circ=45^\circ∠AEC=180∘−135∘=45∘, ∠ACE=90∘\angle ACE=90^\circ∠ACE=90∘.
המשולש AEC ישר זווית ושווה שוקיים: EC=AC=kEC=AC=kEC=AC=k.
נסמן ב-M את אמצע EC: CM=k2CM=\frac k2CM=2k​. במשולש ACM הזווית C ישרה, ולפי משפט פיתגורס:
AM2=k2+k24=5k24 ⇒ AM=52k=45 ⇒ k=8AM^2=k^2+\frac{k^2}4=\frac{5k^2}4\ \Rightarrow\ AM=\frac{\sqrt5}{2}k=4\sqrt5\ \Rightarrow\ k=8AM2=k2+4k2​=45k2​ ⇒ AM=25​​k=45​ ⇒ k=8
טעות נפוצה: לחשוב שהתיכון שווה למחצית היתר AE (זה נכון רק לתיכון היוצא מקודקוד הזווית הישרה); AE=2kAE=\sqrt2kAE=2​k, ומקבלים 22k=45\frac{\sqrt2}2k=4\sqrt522​​k=45​, כלומר k=410≈12.65k=4\sqrt{10}\approx12.65k=410​≈12.65.

שאלה 6 · חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$

נתונה הפונקציה: f(x)=x3+1x3f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}f(x)=x3+x31​.

א(1).

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א(2).

האם הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו את התשובה.

א(3).

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

נתונות שתי פונקציות: f′(x)f'(x)f′(x) ו-g(x)g(x)g(x). f′(x)f'(x)f′(x) היא פונקציית הנגזרת של f(x)f(x)f(x), ו-g(x)g(x)g(x) מקיימת: g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x). הפונקציות f′(x)f'(x)f′(x) ו-g(x)g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום כמו הפונקציה f(x)f(x)f(x).
כל אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות: f(x)f(x)f(x), f′(x)f'(x)f′(x) ו-g(x)g(x)g(x).
גרף II
גרף IIII
גרף IIIIII

ב.

לכל אחת מן הפונקציות כתבו איזה גרף מתאר אותה. נמקו את התשובה.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים: x=12x=\frac12x=21​ ו-x=2x=2x=2.

ה.

נתון: a>1a>1a>1 הוא פרמטר. חשבו את: ∫1aag(x)dx\int_{\frac1a}^{a}g(x)dx∫a1​a​g(x)dx.

נתונה הפונקציה: h(x)=∫1xf′(t)dth(x)=\int_1^x f'(t)dth(x)=∫1x​f′(t)dt. נתון כי הפונקציה h(x)h(x)h(x) מוגדרת בתחום 12≤x\frac12\le x21​≤x.

ו.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה h(x)h(x)h(x), וקבעו את סוגן.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א(1)

תשובה:

x≠0x\neq0x=0

x3x^3x3 מוגדר לכל xxx, ו-1x3\frac{1}{x^3}x31​ מוגדר כשהמכנה שונה מאפס: x≠0x\neq0x=0.
תחום ההגדרה: x≠0x\neq0x=0.
טעות נפוצה: לענות 'כל xxx' כי fff נראית כמו 'פולינום' - 1x3=x−3\frac{1}{x^3}=x^{-3}x31​=x−3 אינו מוגדר ב-0.

סעיף א(2)

תשובה:

הפונקציה היא אי-זוגית

התחום x≠0x\neq0x=0 סימטרי סביב 0.
f(−x)=(−x)3+1(−x)3=−x3−1x3=−f(x)f(-x)=(-x)^3+\frac{1}{(-x)^3}=-x^3-\frac{1}{x^3}=-f(x)f(−x)=(−x)3+(−x)31​=−x3−x31​=−f(x)
לכן fff אי-זוגית.
טעות נפוצה: לכתוב (−x)3=x3(-x)^3=x^3(−x)3=x3 (כמו בחזקה זוגית) ולהסיק ש-fff זוגית.

סעיף א(3)

תשובה:

עולה: x<−1x<-1x<−1, x>1x>1x>1; יורדת: −1<x<0-1<x<0−1<x<0, 0<x<10<x<10<x<1

f′(x)=3x2−3x4=3(x6−1)x4f'(x)=3x^2-\frac{3}{x^4}=\frac{3(x^6-1)}{x^4}f′(x)=3x2−x43​=x43(x6−1)​
x4>0x^4>0x4>0 בתחום, ולכן הסימן לפי x6−1x^6-1x6−1: חיובי עבור ∣x∣>1|x|>1∣x∣>1, שלילי עבור 0<∣x∣<10<|x|<10<∣x∣<1, ו-f′=0f'=0f′=0 ב-x=±1x=\pm1x=±1.
xxxx<−1x<-1x<−1−1-1−1−1<x<0-1<x<0−1<x<00000<x<10<x<10<x<1111x>1x>1x>1
f′(x)f'(x)f′(x)+++0−-−לא מוגדרת−-−0+++
f(x)f(x)f(x)↗מקסימום↘↘מינימום↗
עולה: x<−1x<-1x<−1, x>1x>1x>1. יורדת: −1<x<0-1<x<0−1<x<0, 0<x<10<x<10<x<1. (מקסימום (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2), מינימום (1,2)(1,2)(1,2).)
טעות נפוצה: לגזור 1x3\frac{1}{x^3}x31​ כ-13x2\frac{1}{3x^2}3x21​, לקבל f′=3x2+13x2>0f'=3x^2+\frac{1}{3x^2}>0f′=3x2+3x21​>0 ולהסיק ש-fff עולה בכל התחום.

$x$	$x<-1$	$-1$	$-1<x<0$	$0$	$0<x<1$	$1$	$x>1$
$f'(x)$	$+$	0	$-$	לא מוגדרת	$-$	0	$+$
$f(x)$	↗	מקסימום	↘		↘	מינימום	↗

סעיף ב

תשובה:

f(x)→f(x)\tof(x)→ III, f′(x)→f'(x)\tof′(x)→ I, g(x)→g(x)\tog(x)→ II

f′(x)=3x2−3x4f'(x)=3x^2-\frac{3}{x^4}f′(x)=3x2−x43​ זוגית, והגרף היחיד שסימטרי לציר ה-yyy הוא I. (גם: f′→−∞f'\to-\inftyf′→−∞ ליד 0, מתאפסת ב-±1\pm1±1 ושואפת ל-+∞+\infty+∞.)
fff אי-זוגית ואינה מתאפסת (x3+1x3=0x^3+\frac1{x^3}=0x3+x31​=0 פירושו x6=−1x^6=-1x6=−1); יש לה מקסימום ב-(−1,−2)(-1,-2)(−1,−2) ומינימום ב-(1,2)(1,2)(1,2). גרף III: ענף שמאלי שלילי עם מקסימום, ענף ימני חיובי עם מינימום, בלי חיתוך עם ציר ה-xxx - זה fff.
g=f⋅f′g=f\cdot f'g=f⋅f′ היא מכפלה של אי-זוגית בזוגית, ולכן אי-זוגית, ומתאפסת ב-x=±1x=\pm1x=±1. גרף II חותך את ציר ה-xxx משני צדי 0 - זה ggg. (ב-0<x<10<x<10<x<1: f>0f>0f>0, f′<0f'<0f′<0, ולכן g<0g<0g<0, כמו בגרף II.)
טעות נפוצה: לשייך את f′f'f′ לגרף II כי גם f′f'f′ מתאפסת ב-±1\pm1±1 - אבל f′f'f′ זוגית, וגרף II אינו סימטרי לציר ה-yyy.

סעיף ג

תשובה:

(−1,0)(-1,0)(−1,0), (1,0)(1,0)(1,0)

g=f⋅f′g=f\cdot f'g=f⋅f′ מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס.
f(x)=0f(x)=0f(x)=0: x6=−1x^6=-1x6=−1 - אין פתרון.
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0: x6=1x^6=1x6=1, כלומר x=±1x=\pm1x=±1.
נקודות החיתוך: (−1,0)(-1,0)(−1,0), (1,0)(1,0)(1,0).
טעות נפוצה: להוסיף את (0,0)(0,0)(0,0) כי ggg אי-זוגית - ggg אינה מוגדרת ב-0.

סעיף ד

תשובה:

S=396964≈62.02S=\frac{3969}{64}\approx62.02S=643969​≈62.02

(12f2)′=f⋅f′=g\left(\frac12f^2\right)'=f\cdot f'=g(21​f2)′=f⋅f′=g, ולכן 12f2\frac12f^221​f2 היא פונקציה קדומה של ggg.
ggg שלילית ב-12<x<1\frac12<x<121​<x<1 וחיובית ב-1<x<21<x<21<x<2, ולכן מפצלים ב-x=1x=1x=1.
f(12)=18+8=658f\left(\tfrac12\right)=\frac18+8=\frac{65}{8}f(21​)=81​+8=865​, f(1)=2f(1)=2f(1)=2, f(2)=8+18=658f(2)=8+\frac18=\frac{65}{8}f(2)=8+81​=865​.
∫1/21g dx=22−(658)22=4−4225642=−3969128\int_{1/2}^{1}g\,dx=\frac{2^2-\left(\frac{65}{8}\right)^2}{2}=\frac{4-\frac{4225}{64}}{2}=-\frac{3969}{128}∫1/21​gdx=222−(865​)2​=24−644225​​=−1283969​
∫12g dx=(658)2−222=3969128\int_{1}^{2}g\,dx=\frac{\left(\frac{65}{8}\right)^2-2^2}{2}=\frac{3969}{128}∫12​gdx=2(865​)2−22​=1283969​
S=3969128+3969128=396964≈62.02S=\frac{3969}{128}+\frac{3969}{128}=\frac{3969}{64}\approx62.02S=1283969​+1283969​=643969​≈62.02
טעות נפוצה: לקחת כפונקציה קדומה את f2(x)f^2(x)f2(x) בלי החצי, ולקבל S=396932≈124.03S=\frac{3969}{32}\approx124.03S=323969​≈124.03.

סעיף ה

תשובה:

000

0<1a<a0<\frac1a<a0<a1​<a, ולכן הקטע אינו כולל את 0.
∫1/aag(x)dx=f2(a)−f2(1a)2\int_{1/a}^{a}g(x)dx=\frac{f^2(a)-f^2\left(\frac1a\right)}{2}∫1/aa​g(x)dx=2f2(a)−f2(a1​)​
f(1a)=1a3+11/a3=1a3+a3=f(a)f\left(\tfrac1a\right)=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{1/a^3}=\frac{1}{a^3}+a^3=f(a)f(a1​)=a31​+1/a31​=a31​+a3=f(a)
לכן האינטגרל שווה ל-0.
טעות נפוצה: לקחת כפונקציה קדומה את 12(f′(x))2\frac12\left(f'(x)\right)^221​(f′(x))2 ולקבל 12[(3a2−3a4)2−(3a2−3a4)2]≠0\frac12\left[\left(3a^2-\frac{3}{a^4}\right)^2-\left(\frac{3}{a^2}-3a^4\right)^2\right]\neq021​[(3a2−a43​)2−(a23​−3a4)2]=0.

סעיף ו

תשובה:

max⁡(12,498)\max\left(\frac12,\frac{49}{8}\right)max(21​,849​), min⁡(1,0)\min(1,0)min(1,0)

h(x)=∫1xf′(t)dt=f(x)−f(1)=x3+1x3−2h(x)=\int_1^xf'(t)dt=f(x)-f(1)=x^3+\frac{1}{x^3}-2h(x)=∫1x​f′(t)dt=f(x)−f(1)=x3+x31​−2, ו-h′(x)=f′(x)h'(x)=f'(x)h′(x)=f′(x).
בתחום x≥12x\ge\frac12x≥21​: h′<0h'<0h′<0 עבור 12<x<1\frac12<x<121​<x<1 ו-h′>0h'>0h′>0 עבור x>1x>1x>1.
ב-x=1x=1x=1 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום, h(1)=0h(1)=0h(1)=0.
בקצה x=12x=\frac12x=21​ הפונקציה יורדת ממנו, ולכן זה מקסימום קצה: h(12)=658−2=498h\left(\frac12\right)=\frac{65}{8}-2=\frac{49}{8}h(21​)=865​−2=849​.
נקודות הקיצון: max⁡(12,498)\max\left(\frac12,\frac{49}{8}\right)max(21​,849​), min⁡(1,0)\min(1,0)min(1,0).
טעות נפוצה: למצוא רק את min⁡(1,0)\min(1,0)min(1,0) מהשוואת h′h'h′ לאפס, ולשכוח את קיצון הקצה (12,498)\left(\frac12,\frac{49}{8}\right)(21​,849​).

שאלה 7 · פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח

נתונה הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום: x≤ax\le ax≤a, x≠0x\neq0x=0. aaa הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרת בתחום: x<ax<ax<a, x≠0x\neq0x=0. לפונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) יש שלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים שמשוואותיהן: x=0x=0x=0, x=ax=ax=a, y=0y=0y=0. בתחום: x<0x<0x<0 פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) יורדת. הישר x=0x=0x=0 הוא אסימפטוטה גם לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). f(a)=0f(a)=0f(a)=0.
f′(x)
a

א(1).

מצאו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (הביעו את תשובתכם באמצעות aaa, אם יש צורך). נמקו.

א(2).

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x)? נמקו.

נתון כי הישר: y=0y=0y=0 הוא אסימפטוטה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), בהתאם לתשובתכם לתת סעיף א(2).

נתון כי אחד מן הביטויים IV-I שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x): I. a−xx2\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}x2a−x​​ II. x−ax2\frac{\sqrt{x-a}}{x^2}x2x−a​​ III. a−xx3\frac{\sqrt{a-x}}{x^3}x3a−x​​ IV. x−ax3\frac{\sqrt{x-a}}{x^3}x3x−a​​.

ג.

איזה מן הביטויים IV-I מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x)? נמקו.

ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה: x=−1x=-1x=−1, הוא: −234-\frac{23}4−423​.

ד.

מצאו את הערך של aaa.

ה.

הציבו a=3a=3a=3 וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה (f(x))2(f(x))^2(f(x))2, על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר: x=1x=1x=1.

◂ פתרון מלא לשאלה 7

סעיף א(1)

תשובה:

עלייה: אין; ירידה: x<0x<0x<0 ו-0<x<a0<x<a0<x<a

לפי הסרטוט גרף f′f'f′ כולו מתחת לציר ה-xxx: f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 גם עבור x<0x<0x<0 וגם עבור 0<x<a0<x<a0<x<a.
לכן fff יורדת בכל אחד מהקטעים x<0x<0x<0 ו-0<x<a0<x<a0<x<a, ואין לה תחומי עלייה.
טעות נפוצה: לקרוא את המונוטוניות של הגרף המצויר (f′f'f′ עולה בתחילת הקטע 0<x<a0<x<a0<x<a) ולענות ש-fff עולה שם - העלייה של f′f'f′ קובעת קעירות, לא עלייה של fff.

סעיף א(2)

תשובה:

נקודת פיתול אחת

נקודות הפיתול של fff הן נקודות הקיצון של f′f'f′.
עבור x<0x<0x<0: f′f'f′ יורדת (נתון) - אין קיצון.
עבור 0<x<a0<x<a0<x<a: f′f'f′ עולה מ-−∞-\infty−∞ למקסימום ויורדת ל-−∞-\infty−∞ - קיצון אחד, ולכן נקודת פיתול אחת.
טעות נפוצה: לספור גם את x=0x=0x=0, שבו הקעירות מתחלפת (מ-∩\cap∩ משמאל ל-∪\cup∪ מימין), ולענות 2 - x=0x=0x=0 אינו בתחום ההגדרה.

סעיף ב

תשובה:

ענף שמאלי: יורד מהאסימפטוטה y=0y=0y=0 (מתחת לציר) ל-−∞-\infty−∞ ליד x=0x=0x=0, קעור כלפי מטה; ענף ימני: יורד מ-+∞+\infty+∞ ליד x=0x=0x=0 ל-(a,0)(a,0)(a,0), עם נקודת פיתול אחת ומשיק אנכי ב-x=ax=ax=a

x<0x<0x<0: fff יורדת ו-f→0f\to0f→0 כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, ולכן f<0f<0f<0 בכל הקטע; f′f'f′ יורדת - קעורה כלפי מטה; ליד x=0x=0x=0: f→−∞f\to-\inftyf→−∞.
0<x≤a0<x\le a0<x≤a: fff יורדת אל f(a)=0f(a)=0f(a)=0, ולכן f>0f>0f>0 בקטע ו-f→+∞f\to+\inftyf→+∞ ליד 0+0^+0+. קעורה כלפי מעלה עד המקסימום של f′f'f′ וכלפי מטה אחריו; משיק אנכי ב-(a,0)(a,0)(a,0).
סקיצה אפשרית:
a
טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מעל ציר ה-xxx - פונקציה יורדת ששואפת ל-0 כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞ חייבת להיות שלילית.

סעיף ג

תשובה:

ביטוי III

II ו-IV מוגדרים רק עבור x≥ax\ge ax≥a - נפסלים.
I: a−xx2\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}x2a−x​​ חיובי לכל x<0x<0x<0, אבל fff שלילית בתחום x<0x<0x<0 (סעיף ב) - נפסל.
III: a−xx3\frac{\sqrt{a-x}}{x^3}x3a−x​​ שלילי עבור x<0x<0x<0, חיובי עבור 0<x<a0<x<a0<x<a ומתאפס ב-aaa - מתאים.
טעות נפוצה: לבחור את I, כי הוא מוגדר ב-x≤ax\le ax≤a ויש לו אסימפטוטה x=0x=0x=0 - בלי לבדוק את הסימן משמאל ל-0.

סעיף ד

תשובה:

a=3a=3a=3

f(x)=(a−x)12x−3f(x)=(a-x)^{\frac12}x^{-3}f(x)=(a−x)21​x−3:
f′(x)=−12a−x x3−3a−xx4=−x−6(a−x)2x4a−x=5x−6a2x4a−xf'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{a-x}\,x^3}-\frac{3\sqrt{a-x}}{x^4}=\frac{-x-6(a-x)}{2x^4\sqrt{a-x}}=\frac{5x-6a}{2x^4\sqrt{a-x}}f′(x)=−2a−x​x31​−x43a−x​​=2x4a−x​−x−6(a−x)​=2x4a−x​5x−6a​
f′(−1)=−5−6a2a+1=−234⇒5+6a=232a+1f'(-1)=\frac{-5-6a}{2\sqrt{a+1}}=-\frac{23}4\quad\Rightarrow\quad5+6a=\frac{23}2\sqrt{a+1}f′(−1)=2a+1​−5−6a​=−423​⇒5+6a=223​a+1​
נסמן s=a+1>0s=\sqrt{a+1}>0s=a+1​>0, a=s2−1a=s^2-1a=s2−1: 6s2−1=232s6s^2-1=\frac{23}2s6s2−1=223​s, כלומר 12s2−23s−2=012s^2-23s-2=012s2−23s−2=0.
s=2s=2s=2 או s=−112s=-\frac1{12}s=−121​ (נפסל). a+1=4a+1=4a+1=4, ולכן a=3a=3a=3.
טעות נפוצה: למצוא s=2s=2s=2 ולענות a=s2=4a=s^2=4a=s2=4 - שוכחים ש-s2=a+1s^2=a+1s2=a+1.

סעיף ה

תשובה:

142405≈0.351\frac{142}{405}\approx0.351405142​≈0.351

(f(x))2=3−xx6=3x−6−x−5(f(x))^2=\frac{3-x}{x^6}=3x^{-6}-x^{-5}(f(x))2=x63−x​=3x−6−x−5, אי-שלילית ב-x≤3x\le3x≤3 ומתאפסת ב-x=3x=3x=3: התחום בין x=1x=1x=1 ל-x=3x=3x=3.
S=∫13(3x−6−x−5)dx=[−35x5+14x4]13=(−1405+1324)−(−35+14)=11620+720=142405≈0.351S=\int_1^3\left(3x^{-6}-x^{-5}\right)dx=\left[-\frac3{5x^5}+\frac1{4x^4}\right]_1^3=\left(-\frac1{405}+\frac1{324}\right)-\left(-\frac35+\frac14\right)=\frac1{1620}+\frac7{20}=\frac{142}{405}\approx0.351S=∫13​(3x−6−x−5)dx=[−5x53​+4x41​]13​=(−4051​+3241​)−(−53​+41​)=16201​+207​=405142​≈0.351
טעות נפוצה: לטעות בסימן של ∫x−5dx\int x^{-5}dx∫x−5dx (לכתוב +x−44+\frac{x^{-4}}4+4x−4​) ולקבל 3845≈0.844\frac{38}{45}\approx0.8444538​≈0.844.

שאלה 8 · פונקציית שורש $x 6 - x^{2}$ : תחום, סימן, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי

נתונה הפונקציה: f(x)=x6−x2f(x)=x\sqrt{6-x^2}f(x)=x6−x2​.

א(1).

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א(2).

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ידוע כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש שתי נקודות קיצון פנימיות ונקודת פיתול אחת.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). הנקודה C היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם החלק החיובי של ציר ה-xxx. מן הנקודה A העבירו שני אנכים: אנך אחד לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך נוסף לישר x=6x=\sqrt6x=6​ החותך אותו בנקודה D.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן ABCD הוא מקסימלי.

◂ פתרון מלא לשאלה 8

סעיף א(1)

תשובה:

−6≤x≤6-\sqrt6\le x\le\sqrt6−6​≤x≤6​

6−x2≥06-x^2\ge06−x2≥0, כלומר x2≤6x^2\le6x2≤6: −6≤x≤6-\sqrt6\le x\le\sqrt6−6​≤x≤6​.
טעות נפוצה: לפתור x2≤6x^2\le6x2≤6 כמו משוואה לינארית ולכתוב x≤6x\le\sqrt6x≤6​ - אבל גם x=−3x=-3x=−3, למשל, נותן 6−9<06-9<06−9<0.

סעיף א(2)

תשובה:

חיובית: 0<x<60<x<\sqrt60<x<6​; שלילית: −6<x<0-\sqrt6<x<0−6​<x<0

f(x)=0f(x)=0f(x)=0 כאשר x=0x=0x=0 או x=±6x=\pm\sqrt6x=±6​.
בפנים התחום השורש חיובי, ולכן הסימן כסימן xxx: חיובית ב-0<x<60<x<\sqrt60<x<6​, שלילית ב-−6<x<0-\sqrt6<x<0−6​<x<0.
טעות נפוצה: לכתוב חיובית ב-0<x≤60<x\le\sqrt60<x≤6​ - ב-x=6x=\sqrt6x=6​ הפונקציה שווה 0.

סעיף ב

תשובה:

מ-(−6,0)(-\sqrt6,0)(−6​,0) יורדת למינימום, עולה דרך הראשית (נקודת הפיתול) למקסימום ויורדת ל-(6,0)(\sqrt6,0)(6​,0)

f(−x)=−x6−x2=−f(x)f(-x)=-x\sqrt{6-x^2}=-f(x)f(−x)=−x6−x2​=−f(x) והתחום סימטרי - הפונקציה אי-זוגית, והגרף סימטרי ביחס לראשית.
חיתוכים: (−6,0)(-\sqrt6,0)(−6​,0), (0,0)(0,0)(0,0), (6,0)(\sqrt6,0)(6​,0). בין 0 ל-6\sqrt66​ הפונקציה חיובית ומתאפסת בקצוות - הקיצון שם מקסימום; בין −6-\sqrt6−6​ ל-0 שלילית - מינימום. אלה שתי נקודות הקיצון הפנימיות.
נקודת הפיתול היחידה היא הראשית: בפונקציה אי-זוגית, אם יש נקודת פיתול ב-x=px=px=p יש גם ב-x=−px=-px=−p, ולכן נקודת פיתול יחידה חייבת להיות ב-x=0x=0x=0.
-3-2-1123-4-3-2-11234maxmin(V6,0)(-V6,0)
(הקיצונים, אם רוצים לחשב: f′(x)=2(3−x2)6−x2f'(x)=\frac{2(3-x^2)}{\sqrt{6-x^2}}f′(x)=6−x2​2(3−x2)​, ולכן max⁡(3,3)\max(\sqrt3,3)max(3​,3) ו-min⁡(−3,−3)\min(-\sqrt3,-3)min(−3​,−3).)
טעות נפוצה: לצייר את הגרף ממשיך מחוץ ל-[−6,6][-\sqrt6,\sqrt6][−6​,6​] אל ±∞\pm\infty±∞ - הפונקציה מוגדרת רק בקטע סגור.

סעיף ג

תשובה:

A(2,22)A\left(\sqrt2,2\sqrt2\right)A(2​,22​)

C(6,0)C(\sqrt6,0)C(6​,0). נסמן A(x,x6−x2)A\left(x,x\sqrt{6-x^2}\right)A(x,x6−x2​), 0<x<60<x<\sqrt60<x<6​. AB=x6−x2AB=x\sqrt{6-x^2}AB=x6−x2​, BC=6−xBC=\sqrt6-xBC=6​−x:
P(x)=2(6−x)+2x6−x2P(x)=2(\sqrt6-x)+2x\sqrt{6-x^2}P(x)=2(6​−x)+2x6−x2​
(x6−x2)′=6−x2−x26−x2=6−2x26−x2\left(x\sqrt{6-x^2}\right)'=\sqrt{6-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{6-x^2}}=\frac{6-2x^2}{\sqrt{6-x^2}}(x6−x2​)′=6−x2​−6−x2​x2​=6−x2​6−2x2​, ולכן:
P′(x)=−2+2(6−2x2)6−x2P'(x)=-2+\frac{2(6-2x^2)}{\sqrt{6-x^2}}P′(x)=−2+6−x2​2(6−2x2)​
P′=0P'=0P′=0: 6−2x2=6−x26-2x^2=\sqrt{6-x^2}6−2x2=6−x2​. מעלים בריבוע:
36−24x2+4x4=6−x2⇒4x4−23x2+30=0⇒x2=2 או x2=15436-24x^2+4x^4=6-x^2\quad\Rightarrow\quad4x^4-23x^2+30=0\quad\Rightarrow\quad x^2=2\ \text{או}\ x^2=\frac{15}{4}36−24x2+4x4=6−x2⇒4x4−23x2+30=0⇒x2=2 או x2=415​
בדיקה: x2=154x^2=\frac{15}{4}x2=415​ נותן 6−2x2=−1.5<06-2x^2=-1.5<06−2x2=−1.5<0 - נפסל. x2=2x^2=2x2=2: 6−4=2=46-4=2=\sqrt46−4=2=4​ ✓, ו-x=2x=\sqrt2x=2​.
P′(1)=−2+85>0P'(1)=-2+\frac{8}{\sqrt5}>0P′(1)=−2+5​8​>0, P′(2)=−2−42<0P'(2)=-2-\frac{4}{\sqrt2}<0P′(2)=−2−2​4​<0 - מקסימום.
f(2)=2⋅4=22f(\sqrt2)=\sqrt2\cdot\sqrt4=2\sqrt2f(2​)=2​⋅4​=22​. A(2,22)A\left(\sqrt2,2\sqrt2\right)A(2​,22​).
טעות נפוצה: לקחת BC=xBC=xBC=x במקום 6−x\sqrt6-x6​−x: אז P′=2+2f′=0P'=2+2f'=0P′=2+2f′=0, המשוואה 6−2x2=−6−x26-2x^2=-\sqrt{6-x^2}6−2x2=−6−x2​, והפתרון x2=154x^2=\frac{15}{4}x2=415​ - מקבלים A(152,3154)A\left(\frac{\sqrt{15}}{2},\frac{3\sqrt{15}}{4}\right)A(215​​,4315​​).

שאלה 1 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ג(3)

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

סעיף ד(3)

סעיף ד(4)

שאלה 2 · סדרה הנדסית: מכפלת האיברים הצמודים לאיבר האמצעי, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופי

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 3 · ברנולי: משחק בן 6 שלבים עם ניקוד שונה לכל שלב - מציאת p, ניקוד מצטבר והסתברות מותנית

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 4 · משולש שווה-שוקיים: מקבילים לשוקיים, דלתון ומרובע בר-חסימה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 6 · חקירת x3+x31​, זיהוי גרפים של f, f′ ו-f⋅f′, ואינטגרל של f⋅f′

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף א(3)

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

סעיף ו

שאלה 7 · פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 8 · פונקציית שורש x6−x2​: תחום, סימן, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 6 · חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$

שאלה 8 · פונקציית שורש $x 6 - x^{2}$ : תחום, סימן, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי