מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 6 ברמת בגרות

בסיס, $n=1$: אגף שמאל $\frac{3+1}{2}=2$, אגף ימין $\frac{1\cdot2^2}{2}=2$. מתקיים.

הנחה: בעבור $n=k$ מתקיים $2+7+\ldots+\frac{3k^2+k}{2}=\frac{k(k+1)^2}{2}$.

צריך להוכיח בעבור $n=k+1$: הסכום שווה ל-$\frac{(k+1)(k+2)^2}{2}$.

האיבר ה-$(k+1)$: $\frac{3(k+1)^2+(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}$. מוסיפים אותו להנחה ומוציאים $(k+1)$:

קיבלנו את הנדרש, ולפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף את האיבר ה-$k$-י, $\frac{3k^2+k}{2}$, במקום את האיבר ה-$(k+1)$, ולקבל $\frac{k(k^2+5k+2)}{2}$ - ביטוי שאינו שווה ל-$\frac{(k+1)(k+2)^2}{2}$.

$f'$ עולה היכן ש-$f''>0$ ויורדת היכן ש-$f''<0$.

לפי הסרטוט: בענף השמאלי $f''<0$ ב-$x<a$, $f''>0$ ב-$a<x<b$ ו-$f''<0$ ב-$b<x<0$. בענף הימני $f''<0$ ב-$0<x<d$ ו-$f''>0$ ב-$x>d$.

$x=0$ אינו בתחום, ולכן שני קטעי הירידה $b<x<0$ ו-$0<x<d$ נפרדים.

עלייה: $a<x<b$, $x>d$. ירידה: $x<a$, $b<x<0$, $0<x<d$.

טעות נפוצה: לקרוא את העלייה והירידה של $f''$ במקום את הסימן שלה, ולענות ש-$f'$ עולה ב-$x<c$ וב-$x>0$ ויורדת ב-$c<x<0$.

$h'(x)=0$ כאשר $f''(x)=e$.

ענף שמאלי: הערך הגדול ביותר של $f''$ בענף הוא $e$, ב-$x=c$. לכן $h'\le0$ בכל הענף, ומתאפסת רק ב-$c$ בלי החלפת סימן - אין קיצון.

ענף ימני: $f''$ עולה ושואפת ל-$k$, ולכן $f''(x)<k<e$ לכל $x>0$, כלומר $h'<0$ - אין אפסים לנגזרת.

לכן $h$ יורדת בכל אחד מהתחומים $x<0$ ו-$x>0$, ואין לה נקודות קיצון.

פיתול: $h''=f'''$. בענף השמאלי $f''$ עולה עד $c$ ויורדת אחריה, ולכן $h''$ מחליפה סימן ב-$x=c$ - נקודת פיתול. בענף הימני $f''$ עולה כל הזמן ($h''>0$) - אין פיתול.

התשובה: אין נקודות קיצון, ויש נקודת פיתול אחת, ב-$x=c$.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$x=c$ היא נקודת קיצון כי $h'(c)=0$, ולענות שיש ל-$h$ נקודת קיצון אחת - $h'$ שלילית משני צדי $c$.

$f(x)-m$ הוא הזזה של גרף $f$ ב-$m$ יחידות כלפי מטה. נקודת המינימום עוברת ל-$(2,-4-m)$, מתחת לציר ה-$x$.

הערך המוחלט משקף את החלק שמתחת לציר: המינימום $(2,-4-m)$ הופך ל-$(2,4+m)$, ומשני צדיו הגרף יורד אל נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ - נקודת מקסימום.

התשובה: $(2,4+m)$.

טעות נפוצה: לא לשקף את החלק השלילי ולכתוב ש-$(2,-4-m)$ היא נקודת מינימום של $g$.

קודם $|f(x)|$: החלק שבין $x=-2$ ל-$x=6$ משתקף כלפי מעלה. המינימום $(2,-4)$ הופך למקסימום $(2,4)$, ובנקודות החיתוך $(-2,0)$, $(6,0)$ נוצרות נקודות מינימום (״שפיץ״).

אחר כך $-m$: הזזה של כל הגרף ב-$m$ כלפי מטה.

מינימום: $(-2,-m)$, $(6,-m)$. מקסימום: $(2,4-m)$.

טעות נפוצה: לא לזהות את נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ כנקודות קיצון של $|f|$, ולענות שיש ל-$h$ רק נקודת מקסימום $(2,4-m)$.

I. $g$ היא ערך מוחלט, ולכן $g(x)\ge0$ - החלק הראשון נכון. אבל $h(-2)=|0|-m=-m<0$, כלומר $h$ אינה חיובית לכל $x$. הטענה אינה נכונה.

II. ערכי $g$: מינימום 0 בשתי נקודות, מקסימום מקומי $4+m$, ובקצוות $g\to\infty$. מתקיים $0<4<4+m$, ולכן הישר $y=4$ חותך את $g$ בארבע נקודות.

ערכי $h$: מינימום $-m$, מקסימום מקומי $4-m<4$, ובקצוות $h\to\infty$. הישר $y=4$ גבוה מהמקסימום המקומי, ולכן הוא חותך רק את שני הענפים החיצוניים - שתי נקודות.

זה נכון לכל $0<m<3$, ולכן הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שגם $h$ חיובית ״כי יש בה ערך מוחלט״, ולקבוע שטענה I נכונה - החיסור של $m$ נעשה אחרי הערך המוחלט.

$AD$ קוטר, ולכן $\angle ACD=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

$AH$ גובה, ולכן $\angle AHB=90^\circ$.

$\angle ADC$ ו-$\angle ABC$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AC$ (הקודקודים $B$ ו-$D$ באותו צד של המיתר), ולכן $\angle ADC=\angle ABH$.

לפי ז.ז: $\triangle ADC\sim\triangle ABH$, בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $D\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow H$.

טעות נפוצה: לנמק $\angle ADC=\angle ACB$ - הזווית $\angle ACB$ נשענת על הקשת $AB$; הזווית ההיקפית שנשענת על הקשת $AC$ היא $\angle ABC$.

לפי ההתאמה: היתר $AD$ (מול הזווית הישרה $C$) מתאים ליתר $AB$ (מול הזווית הישרה $H$). יחס הדמיון $\frac{AD}{AB}$.

$\angle ABD=90^\circ$ (נשענת על הקוטר), ו-$\angle ADB=\angle ACB=50^\circ$ (זוויות היקפיות על הקשת $AB$).

במשולש $ABD$: $AB=AD\sin50^\circ$.

טעות נפוצה: לא להעלות בריבוע ולענות $\frac{1}{\sin50^\circ}\approx1.305$.

האיברים מתחלפים בסימן, ולכן $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ הוא מנה של שני מספרים בעלי סימנים הפוכים: $q<0$. טענה III נפסלת.

$|a_{n+1}|=|q|\cdot|a_n|$, והערך המוחלט קטן מאיבר לאיבר, ולכן $|q|<1$. טענה I ($|q|>1$) נפסלת.

לכן $-1<q<0$ - טענה II נכונה.

טעות נפוצה: לקרוא "הערך המוחלט קטן" כ"הסדרה יורדת", להסיק ש-$0<q<1$ ולבחור בטענה III - אבל בטענה III כל האיברים באותו סימן.

$a_{n+1}=a_nq$ ו-$a_{n+2}=a_nq^2$, ולכן

לפי סעיף א $q<0$, ולכן $1-q+q^2>1>0$, ו-$b_n\neq0$. מחלקים:

המנה קבועה, ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{n+1}=a_n+q$ (כמו בסדרה חשבונית), לקבל $b_n=a_n+q$ ו"להוכיח" שהמנה היא $\frac{a_{n+1}+q}{a_n+q}$, שאינה קבועה.

$|q|<1$, ולכן לשתי הסדרות יש סכום:

$S_b=1.56\,S_a$, ולכן:

$q=1.4$ או $q=-0.4$. לפי סעיף א $-1<q<0$, ולכן $q=-0.4$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוון של "גדול פי 1.56" ולכתוב $S_a=1.56\,S_b$, כלומר $1-q+q^2=\frac{1}{1.56}\approx0.641$. הדיסקרימיננטה של $q^2-q+0.359=0$ שלילית ($1-1.436<0$), ומסיקים בטעות שאין $q$ מתאים.

לפי סעיף ב, $b_n=a_n\left(1-q+q^2\right)$, ו-$a_n\neq0$:

הערך אינו תלוי ב-$n$, ולכן הסדרה קבועה.

טעות נפוצה: להציב $q=-0.4$ ולחשב $1-q+q^2=1-0.4+0.16=0.76$ (לשכוח ש-$-q=+0.4$), ולקבל $c_n=0.38$.

כל האיברים שווים ל-0.78:

טעות נפוצה: לחלק ב-1.56 (בלי הגורם 2 שבמכנה) ולקבל $k=29.5$, שאינו מספר טבעי.

לאחר ההחלפה הסדרה היא $-0.78,\ 0.78,\ -0.78,\ 0.78,\ \ldots$

ב-59 המקומות הראשונים יש 30 מקומות אי-זוגיים ($1,3,\ldots,59$) ו-29 מקומות זוגיים:

טעות נפוצה: לחשוב שהאיברים מתבטלים בזוגות עד הסוף ולענות 0 - אבל 59 אי-זוגי, והאיבר האחרון (שלילי) נשאר בלי זוג.

השקית משתנה רק אחרי כדור כחול (כ): נשארים בה 6 כדורים, 2 כחולים ו-4 אדומים. אחרי אדום (א) היא חוזרת למצבה.

בדיוק כדור אחד הונח בצד = בדיוק כחול אחד בשלוש ההוצאות:

כ-א-א: $\frac37\cdot\frac46\cdot\frac46=\frac{4}{21}$.

א-כ-א: $\frac47\cdot\frac37\cdot\frac46=\frac{8}{49}$.

א-א-כ: $\frac47\cdot\frac47\cdot\frac37=\frac{48}{343}$.

טעות נפוצה: לחשב כאילו כל ההוצאות עם החזרה: $3\cdot\frac37\cdot\left(\frac47\right)^2=\frac{144}{343}\approx0.420$.

מבין שלושת המסלולים של "בדיוק כדור אחד", רק במסלול א-כ-א הכדור השני הונח בצד.

טעות נפוצה: לענות $\frac{8}{49}\approx0.163$ - ההסתברות של המסלול עצמו, בלי לחלק בהסתברות המאורע הידוע.

המשלים: אף כדור לא הונח בצד - כל $n$ הכדורים אדומים.

כל עוד יוצא אדום הוא מוחזר, והשקית לא משתנה, ולכן בכל הוצאה ההסתברות לאדום היא $\frac47$.

טעות נפוצה: לחשב את המשלים כ"כל הכדורים כחולים" ולקבל $1-\left(\frac37\right)^n$.

משקית אחת שלושה כחולים, ומהשנייה שלושה אדומים.

שלושה כחולים: $\frac37\cdot\frac26\cdot\frac15=\frac{1}{35}$.

שלושה אדומים: $\left(\frac47\right)^3=\frac{64}{343}$.

שתי אפשרויות לבחור את השקית שממנה הונחו הכדורים:

טעות נפוצה: לשכוח את הכפל ב-2 ולענות $\frac{64}{12005}\approx0.0053$.

$EABF$ חסום במעגל, ולכן $\angle EAB+\angle EFB=180^\circ$. $\angle EAB=\angle DAB=90^\circ$, ולכן $\angle EFB=90^\circ$, ו-$\angle BFC=90^\circ$ (צמודה לה על הישר $EC$).

במשולשים $DAB$ ו-$BFC$:

$\angle DAB=\angle BFC=90^\circ$.

$\angle ADB=\angle DBC$ (מתחלפות בין הבסיסים המקבילים $AD\parallel BC$).

לכן $\Delta DAB\sim\Delta BFC$ (ז.ז), בהתאמה $D\leftrightarrow B$, $A\leftrightarrow F$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לנמק $\angle ADB=\angle DBC$ ב"זוויות הבסיס בטרפז שוות" - הטרפז אינו שווה-שוקיים; השוויון נובע מזוויות מתחלפות בין הבסיסים המקבילים $AD\parallel BC$.

$DE\parallel BC$. במשולשים $DEF$ ו-$BCF$: $\angle DEF=\angle BCF$ (מתחלפות), $\angle DFE=\angle BFC$ (קודקודיות), ולכן $\Delta DEF\sim\Delta BCF$.

$AD=2DE$ ו-$BC=2AD=4DE$, ולכן:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$AD$ במקום ב-$BC$ (כמו במלבן) ולקבל $\frac{DE}{AD}=\frac12$ - בטרפז הבסיסים אינם שווים.

$\Delta DEF\sim\Delta BCF$ ביחס $\frac{BC}{DE}=4$, ולכן $S_{BFC}=4^2\cdot S=16S$.

ל-$DEF$ ול-$DFC$ גובה משותף מ-$D$ לישר $EC$, ולכן $\frac{S_{DFC}}{S_{DEF}}=\frac{FC}{EF}=4$, כלומר $S_{DFC}=4S$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס בין המשולשים בעלי הגובה המשותף ולכתוב $S_{DFC}=\frac S4$.

$S_{DBC}=S_{DFC}+S_{BFC}=4S+16S=20S$.

למשולשים $DAB$ ו-$DBC$ אותו גובה - המרחק $AB$ בין הבסיסים המקבילים - ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

טעות נפוצה: להניח, כמו במלבן, ש-$S_{DAB}=S_{DBC}=20S$, ולקבל $k=\sqrt{\frac{20}{16}}=\frac{\sqrt5}{2}$ - בטרפז $AD\neq BC$.

בדמיון $\Delta DAB\sim\Delta BFC$ הצלע $DB$ מתאימה לצלע $BC$, ולכן $\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{10}}4$.

$BC=2AD=4a$, ולכן:

טעות נפוצה: להציב $BC=2a$ (לבלבל בין $BC$ ל-$AD$) ולקבל $BD=\frac{\sqrt{10}}{2}a$.

$\angle EAB=90^\circ$ זווית היקפית, ולכן $EB$ קוטר המעגל החוסם את $EABF$.

במשולש $DAB$ (ישר-זווית ב-$A$): $AB^2=BD^2-AD^2=10a^2-4a^2=6a^2$.

במשולש $EAB$: $EB^2=EA^2+AB^2=a^2+6a^2=7a^2$, ולכן $EB=\sqrt7\cdot a$.

טעות נפוצה: לענות ברדיוס במקום בקוטר: $\frac{\sqrt7}{2}a$.

$ABCD$ חסום במעגל, ולכן $\angle ABC=180°-\angle ADC=60°$.

במשולש $ABC$: $\angle BCA=180°-60°-\alpha=120°-\alpha$.

$O$ על חוצי הזוויות של המשולש $ABC$:

$\angle OAC=\frac{\alpha}2$, $\angle OCA=\frac{120°-\alpha}2=60°-\frac{\alpha}2$.

טעות נפוצה: לחשוב שבמרובע חסום זוויות נגדיות שוות ($\angle ABC=120°$) - מקבלים $\angle OCA=30°-\frac{\alpha}2$ ו-$\angle AOC=150°$.

במשולש $ABC$, החסום במעגל שרדיוסו $R$: $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$, ולכן $AC=2R\sin60°=R\sqrt3$.

משפט הסינוסים במשולש $AOC$: