מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 10 בדרך לבגרות

$AB\parallel CD$: $\sphericalangle A+\sphericalangle D=180^\circ$ (חד-צדדיות), ולכן $\sphericalangle D=110^\circ$.

מרובע חסום: $\sphericalangle A+\sphericalangle C=180^\circ$, ולכן $\sphericalangle C=110^\circ$; וגם $\sphericalangle B+\sphericalangle D=180^\circ$, ולכן $\sphericalangle B=70^\circ$.

$\sphericalangle A=\sphericalangle B=70^\circ$ - זוויות הבסיס $AB$ שוות, ולכן הטרפז שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשוב שבמרובע חסום זוויות נגדיות שוות (כמו במקבילית) ולכתוב $\sphericalangle C=70^\circ$ - בטרפז כזה $\sphericalangle C+\sphericalangle D=140^\circ$, וזה סותר את $AB\parallel CD$.

בסיס: $n=1$: $5-1=4$, מתחלק ב-4.

הנחה: $5^k-1$ מתחלק ב-4.

צעד: $5^{k+1}-1=5\cdot5^k-1=5\left(5^k-1\right)+5-1=5\left(5^k-1\right)+4$.

$5\left(5^k-1\right)$ מתחלק ב-4 לפי ההנחה, וגם 4 מתחלק ב-4 - לכן $5^{k+1}-1$ מתחלק ב-4.

לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב $5^{k+1}-1=5\left(5^k-1\right)$ ולסיים - אבל $5\left(5^k-1\right)=5^{k+1}-5$, וחסר בצעד המחובר $4$.

לכן $f$ אי-זוגית.

טעות נפוצה: לבדוק רק נקודה אחת, למשל $f(2)=f(-2)=0$, ולהסיק ש-$f$ זוגית - שוויון בנקודה אחת אינו מוכיח דבר; צריך לבדוק $f(-x)$ לכל $x$.

$g(1)=1-4+4=1$, $g(-1)=-1+4+4=7$.

$g(-1)\neq g(1)$, ולכן $g$ אינה זוגית. $g(-1)\neq-g(1)=-1$, ולכן $g$ אינה אי-זוגית.

$g$ לא זוגית ולא אי-זוגית.

טעות נפוצה: לחשוב שהוספת קבוע לפונקציה אי-זוגית משאירה אותה אי-זוגית, ולענות "אי-זוגית" - אבל אז היה צריך להתקיים $g(-1)=-1$.

$x^2+4\ge4>0$, ולכן השורש מוגדר ושונה מ-0 לכל $x$.

$\sqrt{x^2+4}=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}$, ולכן $f(x)=\frac{x}{|x|}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}}$.

כאשר $x\to\infty$: $\frac{x}{|x|}=1$ ו-$f\to1$. כאשר $x\to-\infty$: $\frac{x}{|x|}=-1$ ו-$f\to-1$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{x^2}=x$ גם עבור $x$ שלילי, ולקבל אסימפטוטה אחת $y=1$ בשני הצדדים.

$f$ עולה ומוגדרת לכל $x$, עם אסימפטוטות $y=\pm1$ (סעיף ד(1)).

סרטוט ב פסול (אסימפטוטות אנכיות - אין כאלה), סרטוט ג פסול (פונקציה יורדת), סרטוט ד פסול (שואף ל-0 בשני הצדדים ויש לו קיצון). נשאר סרטוט א.

טעות נפוצה: לבחור בסרטוט ד כי גם הוא עובר דרך הראשית ועולה סביבה - בלי לבדוק את ההתנהגות באינסוף ($y=\pm1$ ולא $y=0$).

$a_2+a_3+\dots+a_{2n+1}=q\left(a_1+a_2+\dots+a_{2n}\right)$: כל איבר בסכום השמאלי גדול פי $q$ מהאיבר שלפניו, ובשני הסכומים $2n$ איברים.

נתון שהסכום השמאלי גדול פי 2 מהסכום הימני, ולכן $q=2$.

טעות נפוצה: לכתוב את הקשר הפוך, $a_1+\dots+a_{2n}=q\left(a_2+\dots+a_{2n+1}\right)$, ולקבל $q=\frac12$.

בסדרה $2n+1$ איברים, והאמצעי הוא $a_{n+1}$: לפניו $n$ איברים ($a_1,\dots,a_n$) ואחריו $n$ איברים ($a_{n+2},\dots,a_{2n+1}$).

$a_{n+2}=q^{n+1}a_1$, $a_{n+3}=q^{n+1}a_2$, וכן הלאה, ולכן:

$2^{n+1}=64=2^6$, כלומר $n+1=6$ ו-$n=5$.

טעות נפוצה: לכתוב $2^n=64$ (לשכוח שגם האיבר האמצעי מפריד בין הקבוצות) ולקבל $n=6$.

$a_{k+1}=2a_k$, ולכן $a_k+a_{k+1}=3a_k$ ו-$b_k=\frac1{3a_k}$.

היחס קבוע, ולכן B הנדסית עם מנה $\frac12$.

טעות נפוצה: לפצל את השבר, $\frac1{a_k+a_{k+1}}=\frac1{a_k}+\frac1{a_{k+1}}$, ולקבל $b_k=\frac1{a_k}+\frac1{2a_k}=\frac3{2a_k}$ במקום $\frac1{3a_k}$.

$b_1=\frac1{3a_1}$, ומנת B היא $\frac12$ ($|q|<1$, הסדרה מתכנסת):

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$1-q$, לכתוב $b_1=\frac49$, ולקבל $a_1=\frac34$.

גברים משתמשים: $0.3\cdot800=240$; נשים משתמשות: $0.45\cdot1200=540$.

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות מתוך הנשים בלבד, $\frac{660}{1200}=0.55$. השאלה היא על תושב אקראי מכלל התושבים.

ההסתברות שתושב אקראי משתמש בתחבורה ציבורית: $\frac{780}{2000}=0.39$. העיר גדולה מאוד, ולכן אלה 4 ניסויי ברנולי עם $p=0.39$.

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom42=6$ ולקבל $0.39^2\cdot0.61^2\approx0.0566$ - זו ההסתברות לסדר מסוים אחד בלבד.

המאורע המשלים: אף אחד מהארבעה לא משתמש, בהסתברות $0.61^4\approx0.1385$.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.39^4\approx0.9769$ - זה המשלים של "כולם משתמשים", לא של "אף אחד לא משתמש".

"בדיוק 2" מוכל ב"לפחות אחד", ולכן החיתוך הוא "בדיוק 2":

טעות נפוצה: להשתמש במכנה במשלים הלא נכון, $1-0.39^4\approx0.9769$, ולקבל $\frac{0.3396}{0.9769}\approx0.3476$.

יש 4 מקומות אפשריים למשתמש היחיד, ולכל אחד מהם אותה הסתברות: $0.39\cdot0.61^3$.

טעות נפוצה: לענות $0.39$ - ההסתברות שהראשון משתמש, בלי להתחשב בכך שידוע שיש בדיוק משתמש אחד.

$\angle EAB=90^\circ$ (זווית של מלבן), ו-$\angle EFB=90^\circ$ (כי $CE\perp BD$).

$\angle EAB$ ו-$\angle EFB$ הן זוויות נגדיות במרובע $EABF$, וסכומן $180^\circ$ - לכן אפשר לחסום אותו במעגל.

טעות נפוצה: לחבר את $\angle EAB$ ו-$\angle ABF$ - הן זוויות סמוכות במרובע, לא נגדיות; הזווית הנגדית ל-$\angle EAB$ היא $\angle EFB$.

$DE\parallel BC$ (צלעות נגדיות במלבן). $\angle DEF=\angle BCF$ (מתחלפות), $\angle DFE=\angle BFC$ (קודקודיות), ולכן $\Delta DEF\sim\Delta BCF$ (ז.ז).

$BC=AD=9$, ולכן:

טעות נפוצה: לקחת את היחס $\frac{DE}{EA}=\frac36=\frac12$ - הצלע המתאימה ל-$DE$ במשולש $BCF$ היא $BC$.

יחס הדמיון בין $BCF$ ל-$DEF$ הוא 3, ויחס השטחים הוא ריבועו: $S_{BFC}=9S$.

ל-$DEF$ ול-$DFC$ גובה משותף מ-$D$, ולכן $\frac{S_{DFC}}{S}=\frac{FC}{EF}=3$: $S_{DFC}=3S$.

טעות נפוצה: להפוך את יחס הדמיון ולכתוב $S_{BFC}=\frac S9$.

במשולש $DAB$ (ישר-זווית ב-$A$): $BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{81+27}=\sqrt{108}=6\sqrt3$.

$\angle EAB=90^\circ$ זווית היקפית במעגל החוסם את $EABF$, ולכן $EB$ קוטר.

$EA=9-3=6$, ולכן $EB=\sqrt{EA^2+AB^2}=\sqrt{36+27}=\sqrt{63}=3\sqrt7$.

טעות נפוצה: להציב $DE=3$ במקום $EA$ ולקבל $EB=\sqrt{9+27}=6$.

$\angle ABF$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AF$, ולכן היא ישרה.

במשולש $ABF$: $\angle AFB=180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\angle AFB$ היא זווית מרכזית ולכתוב $\angle AFB=2\alpha$.

הזווית בין המשיק $EB$ למיתר $BF$ שווה לזווית ההיקפית על הקשת $BF$: $\angle EBF=\angle BAF=\alpha$.

באותו אופן, בין המשיק $EF$ למיתר $FB$: $\angle EFB=\alpha$. (או: $\angle EFB=90^\circ-\angle AFB=\alpha$, כי $EF\perp AF$.)

טעות נפוצה: לקחת $\angle EFB=\angle AFB=90^\circ-\alpha$ ולקבל $\angle BEF=90^\circ$.

$\angle BOF$ מרכזית על הקשת $BF$: $\angle BOF=2\alpha$. $OE$ חוצה אותה (המשולשים $OBE$ ו-$OFE$ חופפים: ישרי-זווית, $OB=OF$, $OE$ משותף), ולכן $\angle EOF=\alpha$.

במשולש ישר-הזווית $OFE$: $EF=R\tan\alpha$, ו-$BE=EF$ (משיקים מנקודה אחת):

טעות נפוצה: להציב את הזווית המרכזית כולה, $6\tan40^\circ\approx5.03$.

$BE=EF\approx2.184$, והזווית ביניהן $\angle BEF=180^\circ-40^\circ=140^\circ$:

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\cdot BE\cdot EF$ כאילו הזווית ב-$E$ ישרה, ולקבל $\approx2.38$.

המכנה מתאפס ב-$x=0$ והמונה שם $-4\neq0$: אסימפטוטה $x=0$.

$f(-x)=\frac{(-x)^2-4}{-x}=-\frac{x^2-4}x=-f(x)$, והתחום סימטרי - אי-זוגית.

$x^2-4=0$: $x=\pm2$. אין חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$ אינו בתחום).

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במונה ולכתוב נקודת חיתוך $(0,-4)$ - $x=0$ אינו בתחום.

$f(x)=x-4x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1+4x^{-2}=1+\frac4{x^2}$.

$f'(x)>0$ לכל $x\neq0$: $f$ עולה בכל אחד מהקטעים $x<0$ ו-$x>0$, ואין לה נקודות קיצון.

טעות נפוצה: לגזור $-\frac4x$ כ-$-\frac4{x^2}$, לקבל $f'=1-\frac4{x^2}$ ולמצוא "קיצון" ב-$x=\pm2$.

ליד $x=0$ המונה $-4$: כאשר $x\to0^-$, $f\to+\infty$; כאשר $x\to0^+$, $f\to-\infty$.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f\approx x$, כלומר $f\to\pm\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף הימני מתחיל מ-$+\infty$ ליד $x=0$ - בצד ימין המונה שלילי והמכנה חיובי, ולכן $f\to-\infty$.

$f$ עולה בכל ענף ואין לה קיצון, ולכן $|f|$ יכולה לקבל קיצון רק באפסים של $f$: שם $|f|=0$, הערך הקטן ביותר האפשרי - מינימום (חוד).

$g=|f|-3$, ולכן נקודות המינימום של $g$: $(\pm2,-3)$.

טעות נפוצה: להסיק ש"$f$ עולה ולכן אין ל-$g$ נקודות קיצון" - הערך המוחלט יוצר חוד בכל נקודה שבה $f$ מחליפה סימן.

$g=0$ כאשר $|f(x)|=3$, כלומר $f(x)=3$ או $f(x)=-3$.

$\frac{x^2-4}x=3$: $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$.

$\frac{x^2-4}x=-3$: $x^2+3x-4=0$, $x=1$ או $x=-4$.

טעות נפוצה: לפתור רק $f(x)=3$ ולקבל רק $(4,0)$ ו-$(-1,0)$.

$s'(x)=g(x)$.

בתחום $x>1$: $g$ מתאפסת ב-$x=1$ וב-$x=4$, ובין שתי הנקודות היא מגיעה למינימום $-3$ ב-$x=2$ - לכן $g<0$ עבור $1<x<4$, ו-$g>0$ עבור $x>4$.

$s$ יורדת עד $x=4$ ועולה אחריו: ב-$x=4$ מינימום.

טעות נפוצה: לענות שהקיצון של $s$ הוא ב-$x=2$ (נקודת הקיצון של $g$) - שם $g=-3\neq0$ ו-$s$ עדיין יורדת.

התחום סימטרי סביב 0, ו-$f(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=-\sin x\cdot\cos x=-f(x)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sin(-x)=\sin x$ ולקבל $f(-x)=f(x)$, כלומר "זוגית" - $\sin$ היא הפונקציה האי-זוגית, $\cos$ הזוגית.

$\sin x\cos x=0$: $\sin x=0$ נותן $x=0$, ו-$\cos x=0$ נותן $x=\pm\frac{\pi}{2}$ (קצוות התחום).

טעות נפוצה: לענות רק $(0,0)$.

נגזרת מכפלה: $f'(x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x$.