מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 9 בדרך לבגרות

$n=1$: אגף שמאל הוא האיבר הראשון בלבד, $\frac45$. אגף ימין: $1-\frac15=\frac45$. שווים.

$n=2$: אגף שמאל $\frac45+\frac4{25}=\frac{20}{25}+\frac4{25}=\frac{24}{25}$. אגף ימין: $1-\frac1{25}=\frac{24}{25}$. שווים.

טעות נפוצה: לכתוב עבור $n=2$ באגף שמאל רק את האיבר השני $\frac4{25}$ במקום את סכום שני האיברים הראשונים, ולהסיק שהטענה לא נכונה.

שלב הבסיס: נבדק בסעיף א(1) עבור $n=1$.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac45+\ldots+\frac4{5^k}=1-\frac1{5^k}$.

שלב הצעד: מוסיפים את האיבר הבא $\frac4{5^{k+1}}$, ומרחיבים $\frac1{5^k}=\frac5{5^{k+1}}$:

זו הטענה עבור $n=k+1$, ולכן לפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac1{5^k}=\frac1{5^{k+1}}$ (בלי להרחיב פי 5) - מקבלים $1+\frac3{5^{k+1}}$, ומסיקים בטעות שהצעד נכשל.

הישרים AD ו-BE נחתכים ב-M, ולכן $\angle AMB$ ו-$\angle EMD$ קודקודיות ושוות: $\angle AMB=\alpha$.

במשולש EDM ($\angle D=90^\circ$, EM יתר): $DM=EM\cos\alpha$.

במשולש ABM ($\angle B=90^\circ$, AM יתר): $BM=AM\cos\alpha$.

מאחר ש-$EM=BM$: $\frac{DM}{\cos\alpha}=AM\cos\alpha$, ולכן $\cos^2\alpha=\frac{DM}{AM}$.

טעות נפוצה: לכתוב במשולש ABM $BM=\frac{AM}{\cos\alpha}$ (כאילו BM היתר) - מקבלים $DM=AM$, וזה סותר את הסרטוט.

לפי ב(1): $\cos^2\alpha=\frac{DM}{AM}=\frac12$.

$\alpha$ חדה, ולכן $\cos\alpha=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$ ו-$\alpha=45^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולפתור $\cos\alpha=\frac12$ - מקבלים $\alpha=60^\circ$.

$BC\parallel MD$ ו-$CD\parallel BM$, ולכן BCDM מקבילית, וצלעות נגדיות בה שוות: $BC=DM=5$.

$AM=10$, ולכן $AD=10+5=15$.

$BM=AM\cos45^\circ=10\cdot\frac{\sqrt2}2=5\sqrt2$, והגובה (המרחק של B מ-AD): $h=BM\sin45^\circ=5\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}2=5$.

טעות נפוצה: לקחת את BM עצמו כגובה הטרפז - מקבלים $\frac{15+5}2\cdot5\sqrt2\approx70.7$. BM אינו מאונך לבסיסים.

לשתי הפונקציות אפסים ב-$x=0$ וב-$x=2$.

$f(x)=x^2(x-2)$: ב-$x=0$ שורש כפול - $x^2$ אינו מחליף סימן, ולכן הגרף נוגע בציר בראשית (מקסימום, כי ליד 0 $f<0$). המעלה 3: משמאל $-\infty$ ומימין $+\infty$. זה גרף II.

$g(x)=x^3(x-2)$: ב-$x=0$ שורש מריבוי 3 - הגרף חוצה את הציר ונעשה שם אופקי. המעלה 4: שני הקצוות ל-$+\infty$. זה גרף I.

טעות נפוצה: לחשוב שהחזקה האי-זוגית $x^3$ גורמת לנגיעה בראשית, ולהחליף בין הגרפים - שורש מריבוי אי-זוגי מחליף סימן, ולכן הגרף חוצה את הציר.

השטח הסגור נמצא בין האפסים $x=0$ ל-$x=2$, ושם $f(x)=x^2(x-2)\le0$, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

$f(x)=x^3-2x^2$:

השטח: $\frac43$.

טעות נפוצה: לכתוב $\int2x^2dx=x^3$ (לשכוח לחלק ב-3) - מקבלים $\left[\frac{x^4}4-x^3\right]_0^2=4-8=-4$, ועונים שהשטח 4.

$g'(x)=f(x)$, ולכן $g$ עולה איפה ש-$f>0$ ויורדת איפה ש-$f<0$.

לפי הסרטוט: $f>0$ ב-$0<x<1$, $f<0$ ב-$1<x<3$, $f>0$ ב-$x>3$.

$x=1$: $g$ עוברת מעלייה לירידה - מקסימום. $x=3$: מירידה לעלייה - מינימום.

$x=0$ קצה התחום ו-$g$ עולה מיד אחריו - מינימום בקצה.

טעות נפוצה: להפוך את הסוגים (מינימום ב-$x=1$ ומקסימום ב-$x=3$) - לחשוב ש-$g$ יורדת איפה שהגרף של $f$ יורד, במקום לפי הסימן של $f$.

$g(1)=\int_0^1f(t)\,dt$, ו-$f>0$ בקטע, ולכן $g(1)$ שווה לשטח: $g(1)=3$.

בקטע $1\le x\le3$ הגרף מתחת לציר, ולכן האינטגרל שם הוא $-4$:

טעות נפוצה: לחבר את השטחים, $g(3)=3+4=7$ - שטח שמתחת לציר נכנס לאינטגרל בסימן שלילי.

$a_4=a_2\cdot q^2$ (שני צעדים), ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_2\cdot q$ ולקבל $q=9$.

$a_2=a_1q$, ולכן $a_1=\frac{a_2}{q}=\frac6q$.

$a_2=6>0$, ולכן $a_1<0$ רק אם $q<0$. לכן $q=-3$, ו-$a_1=\frac{6}{-3}=-2$.

(עבור $q=3$ היה מתקבל $a_1=2>0$, בסתירה לנתון.)

טעות נפוצה: לבחור $q=3$ ולחשב $a_1=2$ - האיבר הראשון חיובי, בסתירה לנתון $a_1<0$.

$q=-3<0$, ולכן סימני האיברים מתחלפים: $-2,\ 6,\ -18,\ 54,\ldots$

$a_2>a_1$ אבל $a_3<a_2$, ולכן הסדרה לא עולה ולא יורדת.

טעות נפוצה: לענות "יורדת" כי $q<1$ - מנה שלילית יוצרת סדרה מתחלפת, לא יורדת.

נסמן $b_n=\frac1{a_n}$ (אף איבר של A אינו 0). היחס בין שני איברים עוקבים:

היחס קבוע, ולכן B הנדסית, ומנתה $-\frac13$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולכתוב שמנת B היא $\frac13$ - ההופכי של $-3$ הוא $-\frac13$, וסימני האיברים של B מתחלפים ($-\frac12,\frac16,-\frac1{18},\ldots$).

מנת B היא $-\frac13$, ו-$\left|-\frac13\right|<1$, ולכן B מתכנסת ויש לה סכום (לעומת A, שמנתה $-3$ ואין לה סכום).

האיבר הראשון של B: $\frac1{a_1}=-\frac12$.

טעות נפוצה: להציב במכנה $1-\frac13$ (לשכוח את סימן המנה) ולקבל $\frac{-\frac12}{\frac23}=-\frac34$.

המשלים: כל השלושה מנגנים, או כל השלושה אינם מנגנים:

טעות נפוצה: להפחית רק את המקרה "כולם מנגנים" ולקבל $1-0.343=0.657$.

נסמן: C - חבר מקהלה, N - מנגן.

32.5% מהתלמידים מנגנים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של 70% ו-20% בלי לשקלל לפי גודל הקבוצות, ולקבל 45%.

$P(C\cap\bar N)=0.25\cdot0.3=0.075$, ומתוך 400 תלמידים: $400\cdot0.075=30$.

טעות נפוצה: לקחת 30% מכל התלמידים ולענות 120.

התלמידים שאינם מנגנים: 30 חברי מקהלה ו-$400\cdot0.6=240$ שאינם חברים - 270 בסך הכול.

בדיוק אחד חבר מקהלה - הראשון או השני:

טעות נפוצה: לחשב רק את הסדר "הראשון חבר, השני לא" ולקבל $\approx0.099$.

$\angle EAB$ היא זווית בין המשיק $AE$ למיתר $AB$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית $\angle ACB=\alpha$ הנשענת על הקשת $AB$.

$\angle ABC=2\alpha$ היא זווית חיצונית למשולש $AEB$: $2\alpha=\angle AEB+\angle EAB=\angle AEB+\alpha$, ולכן $\angle AEB=\alpha$.

טעות נפוצה: להשתמש בסכום הזוויות במשולש $AEB$ עם $\angle ABC=2\alpha$ עצמה (במקום הזווית הצמודה לה, $\angle ABE$), ולקבל $\angle AEB=180^\circ-3\alpha$.

במשולש $AEC$: $\angle AEC=\alpha=\angle ACE$, ולכן הצלעות שמולן שוות: $AC=AE$.

במשולש $AEB$: $\angle AEB=\alpha=\angle EAB$, ולכן $AB=EB$.

טעות נפוצה: לכתוב במשולש $AEB$ ש-$AE=AB$ - הזוויות השוות הן ב-$E$ וב-$A$, והצלעות שמולן הן $AB$ ו-$EB$.

הזווית $E$ משותפת, ו-$\angle EAB=\alpha=\angle ECA$, ולכן $\triangle EAB\sim\triangle ECA$ (ז.ז), בהתאמה $E\leftrightarrow E$, $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow A$.

לפי ב: $EA=AC=12$, $EB=AB=9$. מהדמיון: $\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}$, ולכן $EC=\frac{EA^2}{EB}=\frac{144}{9}=16$.

$BC=EC-EB=16-9=7$.

טעות נפוצה: להתאים את $EB$ ל-$EC$ ואת $AB$ ל-$AC$ ($\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}$), לקבל $EC=12$ ולכן $BC=3$.

במשולש $ABC$: הצלע $AC$ מול $\angle B=2\alpha$, והצלע $AB$ מול $\angle C=\alpha$:

$2\cos\alpha=\frac{12}{9}=\frac43$, ולכן $\cos\alpha=\frac23$.

טעות נפוצה: להתאים כל צלע לזווית שלידה במקום לזווית שמולה, לכתוב $\frac{AC}{AB}=\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha}$ ולקבל $\cos\alpha=\frac38$.

יחס הדמיון $\frac{AB}{CA}=\frac{9}{12}=\frac34$, ולכן $\frac{S_{EAB}}{S_{ECA}}=\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}$.

(בדיקה: לשני המשולשים גובה משותף מ-$A$, ו-$\frac{EB}{EC}=\frac{9}{16}$.)

$S_{ABC}=S_{ECA}-S_{EAB}=\frac{7}{16}S_{ECA}$.

טעות נפוצה: לקחת את יחס הדמיון עצמו כיחס השטחים, $\frac34$, ולקבל $\frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=\frac14$.

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: $\sphericalangle OBD=\sphericalangle OCD=90^\circ$. אלה זוויות נגדיות במרובע, וסכומן $180^\circ$ - המרובע בר-חסימה.

במעגל החוסם, הזווית ההיקפית $\sphericalangle OBD=90^\circ$ נשענת על המיתר $OD$; זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן $OD$ קוטר.

טעות נפוצה: לבחור את $BC$ כקוטר כי הוא מחבר את קודקודי הזוויות הישרות - הזוויות הישרות נשענות על $OD$.

$\sphericalangle OBC=\sphericalangle OBD-\sphericalangle DBC=90^\circ-\alpha$. המשולש $OBC$ שווה שוקיים ($OB=OC=R$), ולכן $\sphericalangle BOC=180^\circ-2(90^\circ-\alpha)=2\alpha$.

$OD$ חוצה את $\sphericalangle BOC$ (המשולשים $OBD$, $OCD$ חופפים לפי שלוש צלעות), ולכן $\sphericalangle BOD=\alpha$.

במשולש ישר הזווית $OBD$:

טעות נפוצה: לעצור ב-$\sphericalangle BOC=2\alpha$ ולהשתמש בה במשולש $OBD$; מקבלים $OD=\frac{R}{\cos2\alpha}$.

$A$ על המשך $OC$, ולכן $\sphericalangle BOA=\sphericalangle BOC=2\alpha$. במשולש $OBA$ הזווית $\sphericalangle OBA=90^\circ$ (משיק ורדיוס), ולכן $\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha$.

$OA$ הוא היתר במשולש $OBA$, ו-$OB$ ניצב ליד הזווית $2\alpha$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $OA=R\cos2\alpha$ - יוצא שהיתר קצר מהרדיוס, אף ש-$A$ מחוץ למעגל.

מציבים $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$:

$\frac{1-\sqrt{33}}{8}\approx-0.59$ נפסל: $\alpha$ חדה (בסרטוט $2\alpha$ זווית חדה במשולש $OBA$, כלומר $\alpha<45^\circ$).

$\cos\alpha=\frac{1+\sqrt{33}}{8}\approx0.843$, $\alpha\approx32.53^\circ$ (ואכן $\alpha<45^\circ$).

טעות נפוצה: להציב $\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha$ (זהות שגויה); מקבלים $4\cos^2\alpha+\cos\alpha-2=0$, $\cos\alpha\approx0.593$ ו-$\alpha\approx53.6^\circ$ - זווית שבה $A$ כלל לא קיימת.

$f$ זוגית - הגרף שלה סימטרי לציר ה-$y$, ולכן לכל נקודה $(x,y)$ על הגרף גם $(-x,y)$ עליו.

מינימום: $(\pm2,-4)$. חיתוך עם ציר ה-$x$: $(\pm4,0)$. ב-$x=0$: $f$ עולה משמאל ויורדת מימין - מקסימום $(0,-1)$.

טעות נפוצה: לשקף לראשית במקום לציר ה-$y$ (כמו בפונקציה אי-זוגית) ולרשום מקסימום $(-2,4)$ וחיתוך $(-4,0)$.

$g'=-f$. $f<0$ ב-$-4<x<4$, ולכן שם $g'>0$ ו-$g$ עולה. ב-$|x|>4$: $f>0$, $g'<0$, $g$ יורדת.

ב-$x=-4$ $g$ עוברת מירידה לעלייה - מינימום; ב-$x=4$ מעלייה לירידה - מקסימום.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס (לעבוד עם $g'=f$) ולקבל מקסימום ב-$x=-4$ ומינימום ב-$x=4$.

$g''>0\iff f'<0\iff f$ יורדת: $x<-2$ ו-$0<x<2$ (מסעיף א). שם $g$ קעורה כלפי מעלה.

$g''<0\iff f$ עולה: $-2<x<0$ ו-$x>2$ - קעורה כלפי מטה.