מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 11 בדרך לבגרות

הביטוי מכיל את האיברים מהמקום ה-4 עד המקום ה-10. $S_{10}$ מכיל את האיברים מהמקום ה-1 עד ה-10, ומהם צריך להוריד את שלושת האיברים הראשונים ($S_3$):

טעות נפוצה: להחסיר את $S_4$ (כי הביטוי "מתחיל באיבר הרביעי") ולהוריד כך גם את $4\cdot9$: $S_4=70$, ומקבלים $825-70=755$.

האיבר הכללי בסכום הוא $k(2k+1)$, והאיבר האחרון באגף שמאל, $(n+1)(2n+3)$, מתקבל עבור $k=n+1$: $(n+1)\left(2(n+1)+1\right)=(n+1)(2n+3)$. לכן באגף שמאל יש $n+1$ איברים, והוא שווה ל-$S_{n+1}$.

מציבים $n+1$ במקום $n$:

ולכן $C=9$. בדיקה עם $n=1$: $1\cdot3+2\cdot5=13$, ו-$\frac{2\cdot3\cdot13}{6}=13$.

טעות נפוצה: לבדוק עם $n=1$ אבל לשים באגף שמאל רק את $1\cdot3$: $3=\frac{2\cdot3\cdot(4+C)}{6}$, ומקבלים $C=-1$.

$OA\perp AE$ (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה), ולכן:

$OA=OB$ (רדיוסים), ולכן המשולש $AOB$ שווה שוקיים ו-$\angle OBA=55^\circ$:

(הזווית המרכזית כפולה מהזווית בין המשיק למיתר.)

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית המרכזית שווה לזווית בין המשיק למיתר, $\angle AOB=35^\circ$, ולקבל $\angle OAB=72.5^\circ$.

הזווית המרכזית של הקשת הקטנה $AB$ היא $70^\circ$ (סעיף ב(1)), ולכן הקשת היא $\frac{70}{360}$ מההיקף:

טעות נפוצה: להשתמש בזווית $35^\circ$ במקום בזווית המרכזית, ולקבל יחס $\frac{7}{72}$ וקשת באורך $\frac{7\pi}{4}\approx5.5$.

מוציאים $x^2$ כגורם משותף בתוך השורש:

לכן $f(x)=\frac{|x|}{2x}\sqrt{9+\frac4{x^2}}$.

עבור $x>0$: $|x|=x$, ו-$\frac{|x|}{2x}=\frac12$.

עבור $x<0$: $|x|=-x$, ו-$\frac{|x|}{2x}=-\frac12$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{x^2}=x$ לכל $x$, ולקבל את הביטוי $\frac12\sqrt{9+\frac4{x^2}}$ גם עבור $x<0$ - ביטוי חיובי, אף ש-$f(x)<0$ לכל $x<0$.

אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=0$ והמונה שם $\sqrt4=2\neq0$, ולכן $x=0$.

אופקיות, לפי סעיף ג(1): כאשר $x\to\infty$, $\frac4{x^2}\to0$ ו-$f(x)\to\frac12\sqrt9=1.5$. כאשר $x\to-\infty$, $f(x)\to-\frac12\sqrt9=-1.5$.

האסימפטוטות: $x=0$, $y=1.5$, $y=-1.5$.

טעות נפוצה: לחלק מונה ומכנה ב-$x$ "בתוך השורש" בלי לשים לב לסימן, ולקבל רק $y=1.5$.

$f(x-1)$ הוא הגרף של $f$ מוזז ימינה ב-1: האסימפטוטה האנכית זזה ל-$x=1$, והאופקיות לא משתנות.

הכפלה ב-2 מותחת אנכית: האסימפטוטות האופקיות הופכות ל-$y=3$ ו-$y=-3$ (האנכית לא משתנה).

המרחק בין האסימפטוטות האופקיות: $3-(-3)=6$.

טעות נפוצה: להזיז את האסימפטוטה האנכית לכיוון הלא נכון ולכתוב $x=-1$.

פונקציה קדומה של $f$: $F(x)=\frac{x^4}{4}-2x^2$. לכן:

טעות נפוצה: לשכוח את הגבול התחתון ולכתוב $g(t)=\frac{t^4}{4}-2t^2$. אז $g(-2)=-4$, אף ש-$g(-2)=\int_{-2}^{-2}f(x)\,dx$ חייב להיות 0.

$g'(t)=f(t)=t(t-2)(t+2)$. בתחום $0<t<2$: $t>0$, $t-2<0$, $t+2>0$, ולכן $g'(t)<0$ ו-$g$ יורדת. בתחום $-2<t<0$: $g'(t)>0$ ו-$g$ עולה.

$g(t)=\frac{(t^2-4)^2}{4}$ הוא ריבוע חלקי 4, ולכן $g(t)\ge0$ לכל $t$: אין ערכים שבהם $g$ שלילית. (גם בלי הנוסחה: $g(-2)=0$, ומאי-זוגיות $f$ גם $g(2)=0$; $g$ עולה ואחר כך יורדת, ולכן אינה יורדת מתחת ל-0.)

טעות נפוצה: לחפש היכן $f$ יורדת במקום היכן $f$ שלילית: $f'(x)=3x^2-4<0$ נותן $-\frac{2}{\sqrt3}<t<\frac{2}{\sqrt3}$.

$g''(t)=f'(t)=3t^2-4$. מתאפסת כאשר $t^2=\frac43$, $t=\pm\frac{2}{\sqrt3}$ (בתוך התחום), ומחליפה שם סימן (פרבולה עם שני שורשים פשוטים).

נקודות הפיתול: $\left(-\frac{2}{\sqrt3},\frac{16}{9}\right)$ ו-$\left(\frac{2}{\sqrt3},\frac{16}{9}\right)$ - אלה בדיוק נקודות הקיצון של $f$.

טעות נפוצה: לחפש את נקודות הפיתול של $g$ במקום שבו $f=0$ (נקודות הקיצון של $g$), ולקבל את $(0,4)$.

$S_1=5$, $S_2=8+6=14$, $S_3=18+9=27$.

$a_1=S_1=5$, $a_2=S_2-S_1=9$, $a_3=S_3-S_2=13$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$S_n$ הוא האיבר עצמו ולכתוב $a_2=S_2=14$.

עבור $n\ge2$:

עבור $n=1$: $a_1=S_1=5$, וגם $4\cdot1+1=5$. לכן הנוסחה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לפתוח $2(n-1)^2$ כ-$2n^2-2n+2$ (לשכוח להכפיל ב-2 את האיבר האמצעי), ולקבל $a_n=2n+1$ - נוסחה שנותנת $a_1=3$ במקום 5.

$a_{n+1}-a_n=\big(4(n+1)+1\big)-(4n+1)=4$ לכל $n$. ההפרש קבוע, ולכן הסדרה חשבונית עם $d=4$.

טעות נפוצה: לקחת את המקדם של $n^2$ בנוסחת הסכום ($2$) כהפרש. ההפרש הוא פי 2 ממנו: $d=4$.

$b_1=a_1=5$, $q=\frac{d}{2}=2$.

$2^m-1=255$, כלומר $2^m=256=2^8$, ולכן $m=8$.

טעות נפוצה: לכתוב $S_m=5\cdot2^m$ (לשכוח את ה-$-1$), לקבל $2^m=255$ ולהסיק שאין $m$ שלם.

$c_1=5$, $q=\frac14$. $|q|<1$, ולכן הסכום קיים:

$c_1>0$ ו-$0<q<1$: כל איבר הוא רבע מקודמו וכולם חיוביים, ולכן הסדרה יורדת.

טעות נפוצה: לחשב את הסכום כ-$\frac{5}{1+\frac14}=4$ (סימן שגוי במכנה).

המשלים: יעל אינה יודעת אף אחת משתי השאלות. יש 18 שאלות שאינה יודעת:

טעות נפוצה: לחשב כאילו הפתק מוחזר, $1-\left(\frac{18}{30}\right)^2=\frac{16}{25}$ - אבל בפתק השני נשארו רק 29 שאלות, מהן 17 שאינה יודעת.

מסלול אחד, למשל "יודעת, יודעת, לא יודעת":

השאלה שאינה יודעת יכולה להיות ראשונה, שנייה או שלישית - 3 מסלולים עם אותה הסתברות:

טעות נפוצה: לחשב מסלול אחד בלבד ולענות $\frac{99}{1015}$.

יעל מתקבלת אם היא עונה נכון על 2 או על 3 שאלות:

טעות נפוצה: לחשב "לפחות אחת" במקום "לפחות שתיים", $1-\frac{18\cdot17\cdot16}{30\cdot29\cdot28}=\frac{811}{1015}$.

אם יעל התקבלה ולא ידעה את הראשונה, היא ידעה את השנייה ואת השלישית:

טעות נפוצה: להתעלם מהמידע שהתקבלה ולענות $\frac{18}{30}=\frac35$.

$OB=OC$ (רדיוסים), ולכן המשולש OBC שווה-שוקיים, ו-OE הוא התיכון לבסיס BC. במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה: $OE\perp BC$.

באותו אופן $OA=OC$ ו-OD תיכון לבסיס AC במשולש OAC: $OD\perp AC$.

(במילים אחרות: הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר.)

טעות נפוצה: לנמק "$OE\perp BC$ כי OE מקביל ל-AC" - כדי להשתמש בכך צריך קודם להוכיח ש-OE קטע אמצעים וש-$\angle ACB=90^\circ$; הנימוק הישיר הוא המשולש שווה-השוקיים.

AB קוטר, ולכן $\angle ACB=90^\circ$ (זווית היקפית על קוטר), כלומר $\angle ECD=90^\circ$.

לפי סעיף א: $\angle OEC=90^\circ$ ו-$\angle ODC=90^\circ$.

במרובע CEOD שלוש זוויות ישרות, ולכן גם הרביעית ישרה ($360^\circ-3\cdot90^\circ$), והמרובע מלבן.

טעות נפוצה: להסיק "מלבן" משתי הזוויות הישרות ב-E וב-D בלבד - מרובע עם שתי זוויות נגדיות ישרות הוא בר-חסימה, אבל לא בהכרח מלבן; צריך גם את $\angle C=90^\circ$.

במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה. נסמן ב-M את אמצע האלכסון OC; הוא גם אמצע האלכסון ED, ו-$MC=MO=ME=MD=\frac{OC}2$.

לכן ארבע הנקודות נמצאות על מעגל שמרכזו M (אמצע OC) ורדיוסו $\frac{OC}2$.

טעות נפוצה: לבחור את O כמרכז המעגל, כי O הוא מרכז המעגל הגדול - אבל $OC\neq OE$, ולכן E ו-C אינן במרחק שווה מ-O.

$\ell$ משיק למעגל הגדול ב-C, ולכן $\ell\perp OC$.

לפי סעיף ג מרכז המעגל הקטן M נמצא על OC, ולכן MC רדיוס של המעגל הקטן המונח על OC, ו-$\ell\perp MC$.

ישר העובר בקצה רדיוס ומאונך לו הוא משיק, ולכן $\ell$ משיק למעגל הקטן בנקודה C.

טעות נפוצה: לבלבל בין הקוטר AB לרדיוס בנקודת ההשקה ולכתוב $\ell\perp AB$. המשיק ב-C מאונך לרדיוס OC, ורק כך אפשר לקשר אותו לרדיוס MC של המעגל הקטן.

במשולש $ACD$ הזווית $C$ ישרה ו-$M$ אמצע היתר $AD$.

התיכון ליתר שווה למחצית היתר: $CM=\frac{AD}{2}=\frac{25}{2}=12.5$.

טעות נפוצה: לחשב את $CM$ כמחצית הניצב $AC$, $\frac{24}{2}=12$ - התיכון יוצא מקודקוד הזווית הישרה אל אמצע היתר, ושווה למחצית היתר.

במשולש $ADB$: $M$ אמצע $AD$, $E$ אמצע $AB$, ולכן $ME$ קטע אמצעים - מקביל לצלע השלישית $DB$ ושווה למחציתה.

$ME=\frac{25}{2}=12.5=CM$.

טעות נפוצה: לכתוב $ME=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16$ - קטע האמצעים במשולש $ADB$ מקביל ל-$DB$, לא לכל הצלע $BC$.

$AC=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$.

$\cos\sphericalangle ADC=\frac{7}{25}$, ולכן $\sphericalangle ADC\approx73.74^\circ$.

$\sphericalangle ADC$ זווית חיצונית למשולש שווה השוקיים $ADB$: $\sphericalangle ABC=\frac{73.74^\circ}{2}\approx36.87^\circ$.

(בדיקה: $\tan\sphericalangle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{24}{32}=\frac34$, ו-$\arctan\frac34\approx36.87^\circ$.)

טעות נפוצה: לחשב $\tan\sphericalangle ABC=\frac{AC}{DB}=\frac{24}{25}$ ולקבל $\sphericalangle ABC\approx43.83^\circ$ - הניצב שליד הזווית $B$ במשולש $ABC$ הוא כל $BC=32$.

המשולש $ADB$ שווה שוקיים ($AD=DB$), ו-$DE$ התיכון לבסיס $AB$. במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה, ולכן $DE\perp AB$.

במרובע $ACDE$: $\sphericalangle ACD=90^\circ$ ו-$\sphericalangle AED=90^\circ$ - זוויות נגדיות שסכומן $180^\circ$, ולכן המרובע בר חסימה.

טעות נפוצה: להסתמך על $\sphericalangle ACD=90^\circ$ ו-$\sphericalangle CAE=\sphericalangle CAB\approx53.13^\circ$ (זוויות סמוכות) ולהסיק שהמרובע אינו בר חסימה - התנאי נוגע לזוויות נגדיות.

$AB=\sqrt{24^2+32^2}=40$, ולכן $EB=20$.

במשולש ישר הזווית $DEB$: $DE=\sqrt{DB^2-EB^2}=\sqrt{625-400}=15$.

טעות נפוצה: לחשב $DE=\sqrt{DB^2+EB^2}=\sqrt{625+400}\approx32.02$, כאילו $DB$ ניצב - במשולש $DEB$ הזווית הישרה ב-$E$, ולכן $DB$ הוא היתר.

המכנה מתאפס כאשר $x^2=9$, כלומר $x=\pm3$. שם המונה $\pm12\ne0$, ולכן $x=3$ ו-$x=-3$ אסימפטוטות אנכיות.

מעלת המונה 1 קטנה ממעלת המכנה 4, ולכן $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לפתור $x^2=9$ ולקחת רק $x=3$, ולקבל אסימפטוטה אנכית אחת - גם $x=-3$ מאפס את המכנה.

המונה שלילי לכל $x$, ולכן $f'$ שלילית היכן ש-$(x^2-9)^3>0$, כלומר $x<-3$ או $x>3$, וחיובית ב-$-3<x<3$.

עלייה: $-3<x<3$; ירידה: $x<-3$ ו-$x>3$.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס במונה ולהסיק עלייה ב-$x<-3$ וב-$x>3$ וירידה ב-$-3<x<3$.

$f(0)=0$, ו-$f$ חיובית עבור $x>0$ ושלילית עבור $x<0$ (המכנה ריבוע).

משלבים עם סעיפים א-ב:

טעות נפוצה: לשרטט את הענף הימני מתחת לציר ה-$x$ - עבור $x>3$ המונה והמכנה חיוביים, ולכן $f>0$.