מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 5 בדרך לבגרות

$n=1$: אגף שמאל 2, אגף ימין $\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2$.

$n=2$: אגף שמאל $2+6=8$, אגף ימין $\frac{2\cdot3\cdot4}{3}=8$.

האיבר הכללי הוא $n(n+1)$, ולכן האיבר ה-$(k+1)$ מתקבל בהצבת $k+1$ במקום $n$: $(k+1)(k+2)$.

טעות נפוצה: להציב $k+1$ רק בגורם הראשון של האיבר הכללי ולכתוב שהאיבר הבא הוא $(k+1)k$.

הבסיס נבדק בסעיף הקודם.

הנחה: $2+6+\ldots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$. צריך להוכיח: $2+6+\ldots+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

מוסיפים להנחה את האיבר $(k+1)(k+2)$ ומוציאים את $(k+1)(k+2)$ כגורם משותף:

לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לחבר $\frac{k}{3}+1$ כ-$\frac{k+1}{3}$ ולקבל $\frac{(k+1)^2(k+2)}{3}$ - שאינו שווה לביטוי הנדרש.

$f'$ עולה היכן ש-$f''>0$ ויורדת היכן ש-$f''<0$.

לפי הסרטוט $f''>0$ בין נקודות החיתוך, ו-$f''<0$ מחוץ להן.

עלייה: $a<x<b$; ירידה: $x<a$, $x>b$.

טעות נפוצה: לקרוא את העלייה והירידה של $f''$ עצמה, ולענות ש-$f'$ עולה ב-$x<c$ ויורדת ב-$x>c$.

לפי ב(1): $f'$ יורדת עד $a$ ועולה אחריה - מינימום ב-$x=a$.

$f'$ עולה עד $b$ ויורדת אחריה - מקסימום ב-$x=b$.

טעות נפוצה: להפוך את הסוגים ולענות מקסימום ב-$x=a$ ומינימום ב-$x=b$ - ב-$a$ הגרף של $f''$ עובר משלילי לחיובי, כלומר $f'$ עוברת מירידה לעלייה.

$e$ הוא הערך הגדול ביותר של $f''$, ולכן $h'(x)=f''(x)-e\le0$ לכל $x$, ושוויון רק ב-$x=c$.

הנגזרת אינה מחליפה סימן, ולכן $h$ יורדת לכל $x$ ואין לה נקודות קיצון.

$h''=f'''$: $f''$ עולה עבור $x<c$ ויורדת עבור $x>c$, כלומר $h''$ עוברת מחיובי לשלילי ב-$x=c$ - נקודת פיתול.

טעות נפוצה: לחשוב שנקודת פיתול של $h$ דורשת החלפת סימן של $h'$ עצמה, ולענות שאין ל-$h$ נקודת פיתול - פיתול נקבע לפי החלפת סימן של $h''=f'''$.

$f(x)+1=x^2-3$: פרבולה עם מינימום $(0,-3)$ ואפסים $x=\pm\sqrt3$.

הערך המוחלט משקף את החלק שבין $-\sqrt3$ ל-$\sqrt3$: המינימום הופך למקסימום $(0,3)$, ובאפסים נוצרות נקודות מינימום $(\pm\sqrt3,0)$.

טעות נפוצה: לקחת את האפסים של $f$ במקום של $f+1$, ולענות שנקודות המינימום הן $(\pm2,0)$.

$|f(x)|=|x^2-4|$: מקסימום $(0,4)$ (המינימום של $f$ אחרי שיקוף), ומינימום באפסים $(\pm2,0)$.

הוספת 1 מזיזה הכל ביחידה למעלה: מקסימום $(0,5)$, מינימום $(\pm2,1)$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודות ה״שפיץ״ באפסים ולענות שיש ל-$h$ רק נקודת מקסימום $(0,5)$.

$g$: המקסימום המקומי הוא 3, ו-$4>3$, ולכן הישר חותך רק את שני הענפים החיצוניים: 2 נקודות ($x^2-3=4$, $x=\pm\sqrt7$).

$h$: $1<4<5$, ולכן הישר חותך את $h$ ארבע פעמים: $|x^2-4|=3$, כלומר $x^2=7$ או $x^2=1$: $x=\pm\sqrt7,\pm1$.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$y=4$ חותך גם את $g$ בארבע נקודות כי הוא מעל המינימום, בלי להשוות למקסימום המקומי 3.

$\angle ACD$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AD$, ולכן היא ישרה.

$F$ על המשך $CB$, ולכן $\angle ABF=180^\circ-\angle ABC$. במרובע החסום $ABCD$ הזוויות $B$ ו-$D$ נגדיות, ולכן $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$. מכאן $\angle ABF=\angle ADC$.

טעות נפוצה: לנמק $\angle ABF=\angle ADC$ כ״זוויות היקפיות על אותה קשת״ - הזווית $\angle ABF$ אינה זווית היקפית (הצלע $BF$ אינה מיתר).

$\angle ACD=90^\circ=\angle AFB$ (הזווית $F$ ישרה לפי הנתון), ו-$\angle ADC=\angle ABF$ לפי ד(1).

לפי ז.ז המשולשים דומים: לזווית הישרה $C$ מתאימה $F$, ולזווית $D$ מתאימה $B$: $A\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow F$, $D\leftrightarrow B$.

טעות נפוצה: להתאים לפי סדר האותיות בשמות המשולשים כפי שהם כתובים בציור, $C\leftrightarrow B$ ו-$D\leftrightarrow F$ - ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות.

$\angle ABD=90^\circ$ (נשענת על הקוטר). במשולש $ABD$: $AB=AD\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5$.

היתר $AD$ מתאים ליתר $AB$, ולכן יחס הדמיון הוא $\frac{AD}{AB}=\frac{10}{5}=2$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $2^2=4$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון עצמו ולענות שיחס השטחים הוא 2.

ההפרש קבוע, ולכן B חשבונית שהפרשה $d$.

$b_1=a_2=a_1+d$.

טעות נפוצה: לכתוב $b_1=a_1$ (להתחיל את B מהאיבר הראשון של A) - לפי ההגדרה $b_1=a_{1+1}=a_2$.

מפרקים הפרש ריבועים:

לפי א, $b_{k+1}=b_k+d$, ולכן $b_k-b_{k+1}=-d$:

טעות נפוצה: לכתוב $b_k-b_{k+1}=d$ ולקבל $b_k^2-b_{k+1}^2=d(b_k+b_{k+1})$ - אבל B עולה, ולכן $b_k^2-b_{k+1}^2$ שלילי כשהאיברים חיוביים.

מחלקים את הסכום לעשרה זוגות: $(b_1^2-b_2^2)+(b_3^2-b_4^2)+\ldots+(b_{19}^2-b_{20}^2)$.

לפי ב, כל זוג שווה ל-$-d$ כפול סכום שני האיברים שבו. מוציאים את $-d=-2$ כגורם משותף:

טעות נפוצה: לחשוב שבסכום יש רק 10 איברים (כי יש 10 זוגות), לכתוב $-2\,T_{10}=-160$, ולקבל $5(2b_1+18)=80$, כלומר $b_1=-1$.

$a_1=b_1-d=-15-2=-17$.

האיברים $a_1, a_3, a_5, \ldots$ הם סדרה חשבונית עם איבר ראשון $-17$ והפרש $2d=4$.

סכום $m$ איברים ממנה:

חיובי כאשר $2m-19>0$, כלומר $m>9.5$. המספר הטבעי הקטן ביותר: $m=10$ (הסכום $10\cdot1=10$; עבור $m=9$ הסכום $-9$).

טעות נפוצה: לקחת לתת-הסדרה את ההפרש $d=2$ במקום $2d=4$, לקבל $m(m-18)>0$, ולענות 19 איברים.

שני המסלולים של 'בדיוק אחד': עבר ואז נכשל ($0.7\cdot0.2$), נכשל ואז עבר ($0.3\cdot p$).

טעות נפוצה: לספור רק את המסלול 'נכשל ואז עבר', $0.3p=0.2$, ולקבל $p=\frac23$.

עבר בשניהם: $0.7\cdot0.8=0.56$.

נכשל בשניהם: $0.3\cdot(1-0.2)=0.3\cdot0.8=0.24$.

(בדיקה: $0.56+0.24+0.2=1$.)

טעות נפוצה: לכפול ב-$p$ במקום ב-$1-p$ בענף של מי שנכשל בראשון, ולקבל $0.3\cdot0.2=0.06$.

עבר לפחות אחד: $1-0.24=0.76$.

מי שקיבל תעודה עבר את שניהם, ובפרט לפחות אחד, ולכן החיתוך הוא 'עבר בשניהם':

טעות נפוצה: להתנות במאורע 'עבר את הראשון' ולחשב $\frac{0.56}{0.7}=0.8$.

כל תלמיד מקבל תעודה בהסתברות $0.56$ (ולא מקבל בהסתברות $0.44$), בלי תלות באחרים. לפי נוסחת ברנולי:

טעות נפוצה: לשכוח את $\binom32$ ולענות $0.56^2\cdot0.44\approx0.138$.

$E$ אמצע הקשת $BC$, ולכן הקשתות $BE$ ו-$EC$ שוות. הזוויות ההיקפיות $\angle BAE$ ו-$\angle EAC$ נשענות על הקשתות האלה, ולכן הן שוות: $AE$ חוצה את הזווית $BAC$.

טעות נפוצה: להסיק ש-$F$ אמצע $BC$ (ש-$AE$ תיכון) - $E$ היא אמצע הקשת ולא של המיתר; $AE$ חוצה זווית, ו-$F$ מחלקת את $BC$ ביחס $AB:AC$.

$\angle AEG$ היא זווית בין המשיק $EG$ למיתר $EA$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית על הקשת $AE$ מצדו השני של המיתר: $\angle AEG=\angle ACE$.

לפי א, $\angle EAG=\angle BAE=\angle EAC$. שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta ACE\sim\Delta AEG$ (ז.ז).

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בהתאמה $\Delta ACE\sim\Delta AGE$ - הזווית ב-$C$ שווה לזווית ב-$E$ (לא ב-$G$), ולכן $C$ מתאים ל-$E$.

טעות נפוצה: לכתוב $AC=\frac{AG^2}{AE}=\frac{64}{4\sqrt6}=\frac{8\sqrt6}{3}\approx6.5$ - בהתאמה הנכונה $AE$ מתאים גם ל-$AC$ וגם ל-$AG$.

$\angle GEB$ היא זווית בין המשיק למיתר $EB$, ולכן $\angle GEB=\angle BAE$.

$\angle EBC$ ו-$\angle EAC$ הן זוויות היקפיות על הקשת $EC$, ולכן הן שוות.

לפי א $\angle BAE=\angle EAC$, ולכן $\angle GEB=\angle EBC$ - זוויות מתחלפות בין $GE$ ל-$BC$, ולכן $BC\parallel GE$.

טעות נפוצה: לראות ב-$\angle GEB$ ו-$\angle EBC$ זוויות מתאימות ולחפש אותן באותו צד של החותך - הן נמצאות משני צדי $BE$, ולכן הן מתחלפות.

לפי ד, $BF\parallel GE$. במשולש $AGE$, לפי משפט תאלס:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{AF}{FE}=\frac{AB}{AG}$ (חלק מול שלם), ולקבל $AF=\frac37AE=\frac{12\sqrt6}{7}$ - צריך $\frac{AF}{FE}=\frac{AB}{BG}$ או $\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AG}$.

גובה משותף מ-$A$: יחס השטחים הוא $\frac{BF}{FC}$. לפי משפט חוצה הזווית $\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac6{12}=\frac12$.

טעות נפוצה: לקחת את ריבוע היחס, $\frac14$, כאילו המשולשים דומים.

AO חוצה את הזווית BAC (מרכז מעגל המשיק לשתי שוקי זווית נמצא על חוצה הזווית), ולכן $\angle OAE=\beta$.

$OE\perp AC$ ו-$OE=R$. במשולש ישר-הזווית AEO: $\sin\beta=\frac{R}{AO}$, ולכן $AO=\frac{R}{\sin\beta}$.

במשולש AOB הזווית שליד O ישרה, $\angle OAB=\beta$, ו-AB הוא היתר:

טעות נפוצה: לכתוב $\sin\beta\cos\beta=\sin2\beta$ (בלי החצי) ולקבל $AB=\frac{R}{\sin2\beta}$.

הזווית $2\beta$ חדה, ולכן $\cos2\beta>0$: $\cos2\beta=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$.

$2\beta\approx67.38^\circ$, ולכן $\beta\approx33.69^\circ$.

טעות נפוצה: לבחור את הזווית הקהה $2\beta\approx112.62^\circ$ ולקבל $\beta\approx56.31^\circ$ - הנתון אומר שהזווית BAC חדה.

במשולש AEO: $AE=\frac{R}{\tan\beta}=1.5R$. נתון $CE=2AE=3R$, ולכן $AC=AE+CE=4.5R$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-E אמצע AC ולקחת $AC=2AE=3R$ - מקבלים שטח $3R^2$.

עבור $R=6$: $AB=\frac{13}{6}\cdot6=13$, $AC=4.5\cdot6=27$, $\cos2\beta=\frac{5}{13}$.

משפט הקוסינוסים:

$BC=\sqrt{628}\approx25.06$.

טעות נפוצה: לכתוב במשפט הקוסינוסים $+2ab\cos\gamma$ במקום מינוס - מקבלים $BC^2=1168$ ו-$BC\approx34.18$.

$x^2+5>0$ לכל $x$, ולכן $f$ מוגדרת לכל $x$.

$\sqrt{x^2+5}=|x|\sqrt{1+\frac5{x^2}}$, ולכן $f(x)=\frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac5{x^2}}}$.

כאשר $x\to\infty$: $\frac{x}{|x|}=1$ ו-$f\to2$. כאשר $x\to-\infty$: $\frac{x}{|x|}=-1$ ו-$f\to-2$.

טעות נפוצה: לצמצם $\frac{2x}{\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{x}$ ולקבל אסימפטוטה אחת, $y=2$, בשני הכיוונים.