מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

בדיקה עבור $n=1$: $5-1=4$.

הנחה: $5^k-1=4m$, $m$ שלם.

צעד: $5^{k+1}-1=5\cdot5^k-1=5(5^k-1)+4=20m+4=4(5m+1)$, מתחלק ב-4.

לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב בצעד $5^{k+1}-1=5(5^k-1)$ - חסר המחובר $+4$ (עבור $k=1$: $24\ne20$).

תנאי הכרחי: הטענה צריכה להתקיים גם עבור $n=1$: $25+p$ מתחלק ב-20, כלומר $5+p$ מתחלק ב-20, כלומר $p=20t-5$ עבור $t$ שלם.

התנאי מספיק: לפי א(1), $5^n-1=4m$, ולכן

אם $5+p$ מתחלק ב-20, הסכום מתחלק ב-20 לכל $n$.

לכן המספרים המבוקשים הם בדיוק $p=20t-5$, $t$ שלם.

טעות נפוצה: לדרוש רק ש-$5+p$ יתחלק ב-4 (כמו בסעיף א(1)) ולקבל $p=4t-1$, למשל $p=3$ - אבל עבור $n=1$: $25+3=28$ אינו מתחלק ב-20.

הגורמים $(x^2+k)^2$ ו-$x^4$ אינם שליליים, ולכן סימן $f'$ נקבע לפי $x^2-k$, פרט לאפסים של $x^2+k$.

אם $k>0$: $x^2+k>0$, ו-$x^2-k$ מחליף סימן ב-$x=\pm\sqrt k$: חיובי עבור $|x|>\sqrt k$ ושלילי עבור $0<|x|<\sqrt k$. לכן מקסימום ב-$x=-\sqrt k$ ומינימום ב-$x=\sqrt k$.

אם $k<0$: $x^2-k>0$ לכל $x$, ו-$f'\ge0$. $f'$ מתאפסת ב-$x=\pm\sqrt{-k}$ (מהגורם $(x^2+k)^2$), אבל לא מחליפה שם סימן - אין קיצון.

לכן יש נקודות קיצון בדיוק כאשר $k>0$.

טעות נפוצה: לקבוע שעבור $k<0$ יש קיצון ב-$x=\pm\sqrt{-k}$ כי שם $f'=0$ - הגורם $(x^2+k)^2$ אינו מחליף סימן, ולכן אלה אינן נקודות קיצון.

הגורם $x^4-kx^2+2k^2=\left(x^2-\frac k2\right)^2+\frac{7k^2}{4}>0$ לכל $x$, ולכן סימן $f''$ הוא הסימן של $\frac{x^2+k}{x^5}$.

אם $k>0$: $x^2+k>0$, והסימן של $f''$ הוא הסימן של $x$ - הוא מתחלף רק ב-$x=0$, שאינה בתחום ההגדרה. לכן אין נקודות פיתול ($f$ קעורה כלפי מטה עבור $x<0$ וכלפי מעלה עבור $x>0$).

אם $k<0$: $x^2+k$ מתאפס ומחליף סימן ב-$x=\pm\sqrt{-k}$, ובשתי הנקודות האלה $f''$ מחליפה סימן (ב-$x=0$ היא מחליפה סימן שוב, אבל זו נקודה מחוץ לתחום). לכן שתי נקודות פיתול, ב-$x=\pm\sqrt{-k}$ - אלה בדיוק הנקודות שבהן $f'=0$ בלי קיצון (סעיף ב(1)).

טעות נפוצה: לספור עבור $k>0$ נקודת פיתול אחת ב-$x=0$, כי שם משתנה כיוון הקעירות - אבל $x=0$ אינה בתחום ההגדרה, ולכן אין שם נקודה על הגרף.

מחשבים את $h$ בנקודות השבירה (שטח מסומן):

$h(2)=2\cdot2=4$. $f$ חותכת את הציר ב-$x=3$: $h(3)=4+\frac{1\cdot2}{2}=5$, $h(4)=5-1=4$.

בקטע $4\le t\le6$: $f=-2$, ולכן $h(t)=4-2(t-4)$, ו-$h(t)=0$ כאשר $t=6$.

בקטע $6\le t\le7$: משולש מתחת לציר ששטחו 1, ולכן $h(7)=-1$. בקטע $7\le t\le8$: משולש מעל הציר ששטחו 1, ולכן $h(8)=-1+1=0$.

$h$ עולה בקטע $0<t<3$ ($h>0$ שם), יורדת בקטע $3<t<7$ (מתאפסת פעם אחת, ב-$t=6$) ועולה בקטע $7<t<8$ (מ-$-1$ ל-0).

הפתרונות: $t=6$ ו-$t=8$.

טעות נפוצה: להפסיק את החיפוש אחרי $t=6$ ולשכוח שהשטח שמעל הציר בקטע $7\le x\le8$ מחזיר את $h$ ל-0 - ולענות $t=6$ בלבד.

$h'(t)=f(t)$. $f$ עוברת מחיובית לשלילית ב-$t=3$ - מקסימום מקומי של $h$; ומשלילית לחיובית ב-$t=7$ - מינימום מקומי.

משווים לערכים בקצוות: $h(0)=0$, $h(8)=0$ (סעיף ג(1)).

$h(3)=5$, $h(7)=-1$ (סעיף ג(1)).

הערך הגדול ביותר: 5 (ב-$t=3$); הערך הקטן ביותר: $-1$ (ב-$t=7$).

טעות נפוצה: לחפש את המקסימום של $h$ היכן ש-$f$ מקסימלית ולענות $h(2)=4$ - המקסימום של $h$ הוא היכן ש-$f$ מחליפה סימן מחיובי לשלילי.

DB ו-DC הם שני משיקים מהנקודה D, ולכן $DB=DC$, והמשולש DBC שווה-שוקיים: $\angle DCB=\angle DBC=\frac{180^\circ-\delta}{2}=90^\circ-\frac{\delta}{2}$.

הזווית בין המשיק DC למיתר CB שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת CB: $\angle BAC=\angle DCB=90^\circ-\frac{\delta}{2}$.

באותו אופן מהנקודה E (המשיקים EA ו-EC): $\angle ABC=90^\circ-\frac{\varepsilon}{2}$.

$\angle F=180^\circ-\delta-\varepsilon$, ולכן $\angle ACB=90^\circ-\frac{\angle F}{2}=\frac{\delta+\varepsilon}{2}$ (או: $180^\circ$ פחות שתי הזוויות האחרות).

טעות נפוצה: להפעיל את הקשר של משולש המשיקים בכיוון ההפוך ולכתוב $\angle BAC=180^\circ-2\delta$ - הקשר הנכון הוא $\delta=180^\circ-2\angle BAC$.

לפי ד(1), כל זווית של המשולש ABC היא מהצורה $90^\circ-\frac{\theta}{2}$, כאשר $\theta$ היא זווית של המשולש DEF שמול נקודת ההשקה (ל-$\angle ACB$: $\theta=\angle F$).

כל זווית של משולש חיובית, $\theta>0$, ולכן $90^\circ-\frac{\theta}{2}<90^\circ$.

לכן שלוש הזוויות של ABC חדות - גם כש-DEF ישר-זווית או קהה-זווית (למשל $\delta=120^\circ$ נותן $\angle BAC=30^\circ$).

טעות נפוצה: לטעון ש-ABC חד-זווית רק כאשר DEF חד-זווית, ולכן "אם $\delta=120^\circ$ אז $\angle BAC$ קהה" - בפועל $\angle BAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

האיברים שונים מאפס, ולכן גם ריבועיהם שונים מאפס ואפשר לחלק.

המנה קבועה, ולכן זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1^2$ ומנה $q^2$.

טעות נפוצה: לכתוב שהמנה היא $2q$ (לבלבל בין העלאה בריבוע לכפל ב-2) - למשל עבור $1,3,9,\ldots$ הריבועים $1,9,81$ גדלים פי 9, לא פי 6.

מקרה $q\neq\pm1$:

לפי א, הריבועים הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1^2$ ומנה $q^2\neq1$:

הסדרה $a_1,-a_2,a_3,-a_4,\ldots$ היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $-q\neq1$ (האיבר ה-$k$ שלה הוא $(-1)^{k-1}a_k=a_1(-q)^{k-1}$). $n$ אי-זוגי, ולכן האיבר ה-$n$ שלה הוא $+a_n$, וסכומה:

(כי $n$ אי-זוגי ו-$(-q)^n=-q^n$.)

שווה לסכום הריבועים.

מקרה $q=1$: כל האיברים $a_1$; סכום הריבועים $na_1^2$, $S_n=na_1$, והסכום המתחלף ($n$ אי-זוגי) הוא $a_1$. המכפלה $na_1^2$.

מקרה $q=-1$: האיברים $a_1,-a_1,a_1,\ldots$; סכום הריבועים $na_1^2$, $S_n=a_1$ ($n$ אי-זוגי), והסכום המתחלף $a_1+a_1+\ldots+a_1=na_1$. המכפלה $na_1^2$.

טעות נפוצה: לחשב את הסכום המתחלף עם המנה $q$, כלומר כאילו הוא $S_n$, ולקבל באגף ימין $S_n^2=\frac{a_1^2(q^n-1)^2}{(q-1)^2}$, שאינו שווה לסכום הריבועים.

לפי ב(1), היחס בין סכום הריבועים לסכום המתחלף הוא $S_n$. לכן $S_n=508$.

$7$ אי-זוגי, כנדרש.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 4 ולפתור $2^n-1=508$, כלומר $2^n=509$ - ולענות שאין $n$ כזה.

$c_k=a_{2k-1}=a_1q^{2k-2}=a_1\left(q^2\right)^{k-1}$. לכן C היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $q^2$, וכל איבריה שונים מאפס.

ההוכחה בסעיף ב(1) השתמשה רק בכך שהסדרה הנדסית, שאיבריה שונים מאפס ושמספר האיברים אי-זוגי. לכן היא נכונה גם לסדרה C עם $m$ אי-זוגי:

מציבים $c_k=a_{2k-1}$ (האיבר האחרון $c_m=a_{2m-1}$, בסימן $+$ כי $m$ אי-זוגי) ומקבלים בדיוק את הנוסחה הנתונה. הנוסחה נכונה.

טעות נפוצה: לטעון שב-ב(1) האיברים צריכים להיות עוקבים בסדרה A, ולכן "אי אפשר להשתמש בו" ולענות שהנוסחה אינה נכונה - אבל C עצמה היא סדרה הנדסית, ו-ב(1) חל על כל סדרה הנדסית.

מפסיקים אחרי 2 הטלות כאשר שתי ההטלות הראשונות שונות: עץ-פלי או פלי-עץ:

זו פרבולה הפוכה בתחום $0<p<1$, והקדקוד שלה ב-$p=\frac{2}{4}=\frac12$:

טעות נפוצה: לספור רק את הסדר עץ-פלי ($p(1-p)$), ולקבל ערך מקסימלי $\frac14$.

מפסיקים אחרי 3 הטלות כאשר שתי הראשונות זהות והשלישית שונה מהן: עץ-עץ-פלי או פלי-פלי-עץ. נסמן $q=1-p$:

"עץ" מתקבל בהסתברות קטנה מחצי, ולכן $p=0.3$ (נפסל $p=0.7$).

טעות נפוצה: לבחור $p=0.7$ - הפתרון השני של המשוואה, שלא מקיים את התנאי $p<\frac12$.

מטילים יותר מ-4 פעמים בדיוק כאשר אחרי 4 הטלות עדיין לא התקבלו שתי התוצאות, כלומר ארבע ההטלות הראשונות זהות:

(בדיקה דרך המשלים: $1-P(2)-P(3)-P(4)=1-0.42-0.21-0.1218=0.2482$.)

טעות נפוצה: לספור רק את המקרה של ארבעה "פלי" (התוצאה השכיחה) ולקבל $0.7^4=0.2401$.

"יותר מ-3 הטלות" פירושו ששלוש ההטלות הראשונות זהות: $P=0.3^3+0.7^3=0.027+0.343=0.37$.

בתוך התנאי הזה, בהטלה הראשונה התקבל "עץ" רק אם בשלוש הראשונות התקבל "עץ":

טעות נפוצה: לענות $0.3^3=0.027$ - ההסתברות לשלושה "עץ" בהתחלה, בלי לחלק בהסתברות התנאי.

$\angle BCE=\angle CDE$: הזווית בין המשיק $BC$ למיתר $CE$ שווה לזווית ההיקפית $CDE$ שנשענת על אותה קשת $CE$.

$\angle CEB=\angle DCE$: זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $CD$ ו-$EB$ (הישר $EB$ הוא הישר $EA$), עם החותך $CE$.

לכן $\Delta CEB\sim\Delta DCE$ (ז.ז.), בהתאמה $C\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle CEB=\angle CDE$ (כאילו הן זוויות מתאימות) ולכתוב $\Delta CEB\sim\Delta EDC$ בהתאמה $B\leftrightarrow C$ - הטענה שגויה: $\angle CDE=\angle BCE=30^\circ$, ואילו $\angle CEB=\angle DCE$ גדולה ממנה.

המיתרים $CD$ ו-$EA$ מקבילים, ולכן הקשתות $CE$ ו-$DA$ שוות והטרפז $CDAE$ שווה-שוקיים.

$\angle KEA=\angle KAE$ (זוויות היקפיות על הקשתות השוות $DA$ ו-$CE$), ולכן $KE=KA=5$, ו-$KD=ED-KE=13-5=8$.

למשולשים $CKD$ ו-$CKE$ גובה משותף מ-$C$ לישר $ED$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולקבל $\frac58S$.

לפי סעיף א, $CB$ מתאימה ל-$DE$, ויחס הדמיון:

יחס השטחים: $\frac{49}{192}$.

$S_{DCE}=S+\frac85S=\frac{13}5S$.

טעות נפוצה: להכפיל ביחס הדמיון ולא בריבועו: $\frac7{\sqrt{192}}\cdot\frac{13}5S\approx1.31S$.

$\angle CKE$ זווית חיצונית למשולש $KEA$: $\angle CKE=\angle KEA+\angle KAE=2\angle CAE$ (לפי סעיף ב שתי הזוויות שוות ל-$\angle CAE$).

$\angle COE$ זווית מרכזית על הקשת $CE$, ו-$\angle CAE$ זווית היקפית על אותה קשת: $\angle COE=2\angle CAE$.

לכן $\angle COE=\angle CKE$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle CKE=\frac12\overset{\frown}{CE}$ כאילו $K$ על המעגל - $K$ בתוך המעגל, והזווית שווה למחצית סכום שתי הקשתות.

$\angle COE=2\cdot30^\circ=60^\circ$, ולפי סעיף ד גם $\angle CKE=60^\circ$.

שתי הנקודות באותו צד של הישר $CE$:

- $K$ נמצאת על הקטע $CA$, ולכן היא באותו צד של $CE$ כמו $A$.

•הזווית ההיקפית $\angle CAE=30^\circ$ חדה, ולכן $A$ על הקשת הגדולה $CE$; המרכז $O$ נמצא באותו צד של המיתר $CE$ כמו הקשת הגדולה (הזווית המרכזית $60^\circ<180^\circ$), כלומר באותו צד כמו $A$.

שתי נקודות שנמצאות באותו צד של הקטע $CE$ ורואות אותו באותה זווית נמצאות על מעגל אחד עם $C$ ו-$E$ (המשפט ההפוך לזוויות היקפיות). לכן $E$, $C$, $O$, $K$ על מעגל אחד.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle COE=\angle CAE=30^\circ$ (לשכוח שהזווית המרכזית כפולה) ולהסיק שהזוויות ב-$O$ וב-$K$ אינן שוות.

AO חוצה את הזווית BAC, ולכן $\angle OAE=\angle OAB=\beta$; $OE\perp AC$, $OE=R$.

במשולש AEO: $AO=\frac{R}{\sin\beta}$ ו-$AE=\frac{R}{\tan\beta}$. נתון $AE=CE$, ולכן $AC=\frac{2R}{\tan\beta}$.

במשולש AOB (ישר-זווית ב-O, היתר AB):

טעות נפוצה: לחשב את AC כאורך המשיק בלבד, $AC=\frac{R}{\tan\beta}$ - E היא אמצע AC, לא קצהו.

במשולש AOB: $BO=AO\tan\beta$, ולכן

$2\beta$ היא זווית במשולש, $0^\circ<2\beta<180^\circ$, ולכל זווית כזו הבנייה אפשרית. $\cos2\beta$ מקבל כל ערך בתחום $-1<\cos2\beta<1$, ולכן היחס מקבל כל ערך בתחום $0<2(1+\cos2\beta)<4$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\cos^2\beta=\frac{1-\cos2\beta}{2}$ (הנוסחה של $\sin^2\beta$) ולקבל יחס $2(1-\cos2\beta)$.