מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 4 בדרך לבגרות

בשני המחוברים שבאגף שמאל יש את הגורם $(k+1)(k+2)$. נכתוב את המחובר השני עם מכנה 3 ונוציא גורם משותף:

זה אגף ימין, כנדרש.

טעות נפוצה: במעבר למכנה משותף 3 לשכוח לכפול את $(k+1)(k+2)$ ב-3, כלומר לכתוב $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{(k+1)(k+2)}{3}$, ולקבל $\frac{(k+1)^2(k+2)}{3}$ - שאינו אגף ימין, ונדמה בטעות שהשוויון אינו נכון.

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $1\cdot2=2$, אגף ימין $\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2$. מתקיים.

הנחת האינדוקציה: בעבור $n=k$ מתקיים $1\cdot2+\ldots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.

צעד: האיבר ה-$(k+1)$ בסכום הוא $(k+1)(k+2)$. לפי ההנחה:

ולפי סעיף א(1) זה שווה ל-$\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ - אגף ימין של הטענה בעבור $n=k+1$.

לפי עקרון האינדוקציה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר ה-$(k+1)$ כ-$k(k+1)+1$ (להוסיף 1 לאיבר הקודם) במקום להציב $k+1$ במקום $n$ בביטוי $n(n+1)$ - ואז הצעד לא מגיע לאגף ימין.

$\sqrt{x+2}>0$ בעבור $x>-2$, ולכן הסימן של $f(x)$ נקבע לפי הגורם שלפני השורש.

לפי הסרטוט, בעבור $-2<x<0$ הגרף מתחת לציר ה-$x$ ($f(x)<0$), ובעבור $x>0$ הגרף מעל הציר.

הביטוי $x\sqrt{x+2}$ שלילי בעבור $-2<x<0$ וחיובי בעבור $x>0$ - מתאים.

הביטוי $-x\sqrt{x+2}$ חיובי בעבור $-2<x<0$ - לא מתאים.

לכן $f(x)=x\sqrt{x+2}$.

טעות נפוצה: להסתכל רק על הקצה השמאלי של התחום, לראות שהגרף 'יורד' שם, להסיק שהמקדם שלילי ולבחור $f(x)=-x\sqrt{x+2}$.

$g(x)=\left(x\sqrt{x+2}\right)^2=x^2(x+2)=x^3+2x^2$ (בתחום $x\ge-2$).

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2(x+2)=0$, כלומר $x=-2$ או $x=0$.

בתחום $g(x)\ge0$, ובעבור $x>0$ הגרף לא חוזר לציר. לכן השטח הסגור הוא בין $x=-2$ ל-$x=0$:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את הגורם שמתחת לשורש כאילו לא היה עליו שורש, כלומר לכתוב $g(x)=x^2(x+2)^2$, ולקבל $\int_{-2}^{0}x^2(x+2)^2dx=\frac{16}{15}$. אבל $\left(\sqrt{x+2}\right)^2=x+2$.

כאשר $f(x)=4$ המכנה $f(x)-4$ מתאפס והמונה 1 שונה מ-0, ולכן כשמתקרבים לנקודה כזו $|g(x)|\to\infty$ - אסימפטוטה אנכית.

מספר האסימפטוטות הוא מספר הפתרונות של $f(x)=4$:

בעבור $x<-2$ הפונקציה עולה מ-0 עד 5 ומקבלת את הערך 4 פעם אחת; בעבור $x>-2$ היא יורדת מ-5 אל 0 ומקבלת את הערך 4 עוד פעם אחת (בין $x=-2$ ל-$x=0$, כי $f(0)=2<4$).

לכן יש 2 אסימפטוטות אנכיות.

טעות נפוצה: לספור רק את נקודת החיתוך שבין $-2$ ל-0 (זו שליד הנקודה המסומנת $(0,2)$) ולענות 1.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f(x)\to0$, ולכן $g(x)\to\frac{1}{0-4}=-\frac14$.

האסימפטוטה האופקית: $y=-\frac14$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולענות $y=\frac14$.

$g(-2)=\frac{1}{f(-2)-4}=\frac{1}{5-4}=1$.

סביב $x=-2$ (בין שתי האסימפטוטות) $4<f(x)\le5$, ולכן $0<f(x)-4\le1$.

המכנה מקסימלי ב-$x=-2$, ולכן שם השבר $\frac{1}{f(x)-4}$ מינימלי: בכל נקודה אחרת בענף $g(x)>1$.

לכן $(-2,1)$ היא נקודת מינימום של $g(x)$.

טעות נפוצה: להעתיק את סוג הקיצון של $f$ ולענות 'מקסימום' - כשהמכנה גדל, השבר קטן.

$\angle ACB=90^\circ$, ולכן $AB$ הוא היתר - הצלע הארוכה ביותר.

הסדרה עולה, ולכן האיבר השלישי הוא הגדול ביותר - זה היתר $AB$.

האיבר הראשון הוא הצלע הקצרה $BC=2$, והאיבר השני הוא $AC$:

טעות נפוצה: לסדר את הצלעות לפי האותיות ($AB$ ראשון, $AC$ שני, $BC$ שלישי) ולכתוב $AB=2$ - אבל האיבר הראשון הוא הצלע הקצרה $BC$.

משפט פיתגורס ($AB$ היתר):

נציב $t=q^2>0$: $t^2-t-1=0$, ולכן $t=\frac{1+\sqrt5}{2}$ (הפתרון $\frac{1-\sqrt5}{2}$ שלילי ונפסל).

טעות נפוצה: למצוא $q$ במקום $q^2$ ולכתוב $AB=2q=2\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}\approx2.544$ - זה אורך $AC$.

לפי נוסחת האיבר הכללי: $a_t=a_1+(t-1)d$ ו-$a_{t+1}=a_1+td$.

באותו אופן (מציבים $t+1$ במקום $t$): $b_{t+1}=a_1+\left(t+\frac12\right)d$.

$b_{t+1}-b_t=d$ - קבוע, ולכן B חשבונית עם הפרש $d$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ($b_t=2a_1+(2t-1)d$), ולקבל ש'ההפרש' הוא $2d$.

$b_1=\frac{a_1+a_2}{2}$ ו-$b_{29}=\frac{a_{29}+a_{30}}{2}$, ולכן:

$a_2+a_{29}=(a_1+d)+(a_{30}-d)=a_1+a_{30}$, ולכן $b_1+b_{29}=\frac{2(a_1+a_{30})}{2}=a_1+a_{30}$.

טעות נפוצה: לכתוב $b_{29}=\frac{a_{30}+a_{31}}{2}$ (להזיז את האינדקס) ולקבל $b_1+b_{29}=a_1+a_{30}+d$ - $a_{31}$ בכלל לא בסדרה.

מסכום A: $1230=\frac{30(a_1+a_{30})}{2}=15(a_1+a_{30})$, ולכן $a_1+a_{30}=82$.

לפי סעיף ב גם $b_1+b_{29}=82$. ב-B יש 29 איברים:

טעות נפוצה: לחשב את $S_B$ עם 30 איברים ($15\cdot82=1230$) ולקבל שהסכומים שווים - ב-B יש איבר אחד פחות.

ב-A יש 30 איברים, והאמצעיים הם $a_{15}$ ו-$a_{16}$.

$a_{15}+a_{16}=(a_1+14d)+(a_{30}-14d)=a_1+a_{30}=82$.

טעות נפוצה: לענות 41 - זה ממוצע האיברים ($\frac{1230}{30}$), שהוא חצי מסכום שני האיברים האמצעיים.

הוצאה ראשונה: שוקולד (ש) $\frac25$, וניל (ו) $\frac35$.

אחרי ש: נשארות 4 עוגיות - 1 שוקולד ו-3 וניל. אחרי ו: הצנצנת חוזרת למצבה (2 שוקולד, 3 וניל).

בדיוק אחת נאכלה:

ש-ו: $\frac25\cdot\frac34=0.3$.

ו-ש: $\frac35\cdot\frac25=0.24$.

טעות נפוצה: לחשב כאילו גם השוקולד מוחזרת: $2\cdot\frac25\cdot\frac35=0.48$.

מבין שני המסלולים של "בדיוק אחת", העוגייה הראשונה נאכלה רק במסלול ש-ו:

טעות נפוצה: לענות $\frac25=0.4$ - ההסתברות שהעוגייה הראשונה היא שוקולד, בלי להתחשב במידע שנאכלה בדיוק אחת.

עוגיית וניל מוחזרת לצנצנת, ולכן כל עוד יוצאת וניל, הצנצנת נשארת עם 2 שוקולד ו-3 וניל, וההסתברות לוניל בהוצאה הבאה היא שוב $\frac35$.

המשלים של "לפחות אחת נאכלה" הוא "ארבע עוגיות וניל":

טעות נפוצה: לחשב את ארבע הוצאות הוניל כאילו הוניל לא מוחזרת: $\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13\cdot\frac02=0$, ולענות שמאיה תאכל עוגייה בוודאות (הסתברות 1).

צריך שתי הוצאות של שוקולד ואחת של וניל, בכל סדר:

ש-ש-ו: $\frac25\cdot\frac14\cdot1=0.1$ (אחרי שתי השוקולד נשארות רק 3 וניל).

ש-ו-ש: $\frac25\cdot\frac34\cdot\frac14=0.075$ (אחרי השוקולד הראשונה: 1 שוקולד מתוך 4).

ו-ש-ש: $\frac35\cdot\frac25\cdot\frac14=0.06$.

טעות נפוצה: לחשב רק את המסלול ש-ש-ו ולענות 0.1 - העוגייה שאינה שוקולד יכולה לצאת בכל אחד משלושת המקומות.

הזווית $P$ משותפת לשני המשולשים.

$\angle PAB$ היא זווית בין המשיק $PA$ למיתר $AB$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $AB$ מהצד השני: $\angle PAB=\angle ACB=\angle PCA$.

לפי ז.ז.: $\triangle PAB\sim\triangle PCA$, בהתאמה $P\leftrightarrow P$, $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לטעון $\angle PAB=\angle ABC$ (זווית היקפית שקודקודה ב-$B$, על קצה המיתר עצמו) - הזווית ההיקפית המתאימה צריכה להישען על הקשת $AB$, ולכן הקודקוד שלה ב-$C$.

מהדמיון: $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}$, ולכן $PA^2=PB\cdot PC$.

$PC=PB+BC=2+6=8$:

טעות נפוצה: להציב $BC$ במקום $PC$: $PA^2=2\cdot6=12$, $PA=2\sqrt3$.

יחס הדמיון: $k=\frac{PA}{PC}=\frac48=\frac12$. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות $\frac12$ - יחס הדמיון עצמו ולא ריבועו.

לפי סעיף ג, $S_{PCA}=4S_{PAB}$. המשולש $PCA$ מורכב מהמשולשים $PAB$ ו-$ABC$:

בדיקה בדרך אחרת: למשולשים $PAB$ ו-$ABC$ אותו גובה מ-$A$, ולכן $\frac{S_{PAB}}{S_{ABC}}=\frac{PB}{BC}=\frac26$, ו-$\frac{18}{3}=6$.

טעות נפוצה: לחלק את 18 ב-4 (יחס השטחים מסעיף ג) ולקבל $4.5$ - היחס $\frac14$ הוא בין $PAB$ ל-$PCA$, לא ל-$ABC$.

מרכז המעגל החסום נמצא על חוצי הזוויות, ולכן $\angle OCB=\frac{70^\circ}2=35^\circ$.

נסמן ב-$M$ את נקודת ההשקה עם $BC$: $OM\perp BC$ ו-$OM=2$.

במשולש ישר הזווית $OMC$:

טעות נפוצה: לא לחצות את הזווית ולחשב $CO=\frac{2}{\sin70^\circ}\approx2.13$.

במשולש $OMC$: $CM=\frac{2}{\tan35^\circ}\approx2.856$.

במשולש שווה שוקיים $M$ (נקודת ההשקה, על חוצה זווית הראש) היא אמצע הבסיס, ו-$AM\perp BC$.

במשולש ישר הזווית $AMC$ הזווית ליד $C$ היא $70^\circ$:

טעות נפוצה: לחלק ב-$\sin70^\circ$ במקום ב-$\cos70^\circ$ ($CM$ הוא הניצב שליד הזווית) - מקבלים $AC\approx3.04$.

גם $BO$ חוצה זווית בסיס: $\angle OBC=35^\circ$, ולכן $\angle COB=180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ$.

$BO=CO\approx3.487$ (המשולש $BOC$ שווה שוקיים), $K$ על המעגל ולכן $OK=2$, ו-$\angle COK=110^\circ$.

משפט הקוסינוסים במשולש $COK$:

$CK\approx4.57$.

טעות נפוצה: לשכוח ש-$\cos110^\circ$ שלילי ולחסר $4.77$ - מקבלים $CK\approx3.37$.

$BK=BO-OK\approx3.487-2=1.487$.

הגובה מ-$K$ לצלע $CB$: $h=BK\sin35^\circ\approx1.487\cdot0.574\approx0.853$.

$BC=2CM\approx5.71$, ולכן $BE=BC-CE\approx5.71-4.69=1.02$.

טעות נפוצה: לחשב את הגובה עם כל הקטע $BO\approx3.49$ (במקום $BK$) - מקבלים $h=2$, $CE=2$ ו-$BE\approx3.71$.

המכנה מתאפס ב-$x=0$ והמונה שם $-4\neq0$: אסימפטוטה $x=0$.

$f(-x)=\frac{(-x)^2-4}{-x}=-\frac{x^2-4}x=-f(x)$, והתחום סימטרי - אי-זוגית.

$x^2-4=0$: $x=\pm2$. אין חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$ אינו בתחום).

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במונה ולכתוב נקודת חיתוך $(0,-4)$ - $x=0$ אינו בתחום.

$f(x)=x-4x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1+4x^{-2}=1+\frac4{x^2}$.

$f'(x)>0$ לכל $x\neq0$: $f$ עולה בכל אחד מהקטעים $x<0$ ו-$x>0$, ואין לה נקודות קיצון.

טעות נפוצה: לגזור $-\frac4x$ כ-$-\frac4{x^2}$, לקבל $f'=1-\frac4{x^2}$ ולמצוא "קיצון" ב-$x=\pm2$.

ליד $x=0$ המונה $-4$: כאשר $x\to0^-$, $f\to+\infty$; כאשר $x\to0^+$, $f\to-\infty$.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f\approx x$, כלומר $f\to\pm\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף הימני מתחיל מ-$+\infty$ ליד $x=0$ - בצד ימין המונה שלילי והמכנה חיובי, ולכן $f\to-\infty$.

$f$ עולה בכל ענף ואין לה קיצון, ולכן $|f|$ יכולה לקבל קיצון רק באפסים של $f$: שם $|f|=0$, הערך הקטן ביותר האפשרי - מינימום (חוד).

$g=|f|-3$, ולכן נקודות המינימום של $g$: $(\pm2,-3)$.

טעות נפוצה: להסיק ש"$f$ עולה ולכן אין ל-$g$ נקודות קיצון" - הערך המוחלט יוצר חוד בכל נקודה שבה $f$ מחליפה סימן.

$g=0$ כאשר $|f(x)|=3$, כלומר $f(x)=3$ או $f(x)=-3$.

$\frac{x^2-4}x=3$: $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$.

$\frac{x^2-4}x=-3$: $x^2+3x-4=0$, $x=1$ או $x=-4$.