מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 6 בדרך לבגרות

$\sphericalangle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $AC$: $\sphericalangle ABC=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$.

$\sphericalangle BCD$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $BD$: $\sphericalangle BCD=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$.

$C$, $P$, $D$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle BPD$ היא זווית חיצונית של המשולש $BPC$, והיא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

(זו בדיוק מחצית סכום הקשתות: $\frac{80^\circ+120^\circ}{2}$.)

טעות נפוצה: להתייחס ל-$\sphericalangle BPD$ כאל זווית מרכזית ולכתוב שהיא שווה לקשת $BD$, כלומר $120^\circ$. $P$ אינו מרכז המעגל.

בסיס: עבור $n=1$ אגף שמאל הוא $\frac{1}{1\cdot2}=\frac12$, ואגף ימין הוא $\frac{1}{1+1}=\frac12$.

הנחה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac{1}{1\cdot2}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$.

צעד: צריך להראות שעבור $n=k+1$ הסכום שווה ל-$\frac{k+1}{k+2}$. האיבר שנוסף הוא $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$:

לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף בצעד שוב את $\frac{1}{k(k+1)}$ (האיבר האחרון שכבר נמצא בהנחה) ולקבל $\frac{k^2+1}{k(k+1)}$, שאינו שווה ל-$\frac{k+1}{k+2}$.

$f$ מוגדרת כששני השורשים מוגדרים: $x-2\ge0$ וגם $x+4\ge0$, כלומר $x\ge2$.

$h$ מוגדרת כאשר $(x-2)(x+4)\ge0$. זו פרבולה הפתוחה כלפי מעלה עם אפסים $-4$ ו-$2$, והיא אי-שלילית מחוץ לקטע שבין האפסים: $x\le-4$ או $x\ge2$.

טעות נפוצה: לקחת את התחום שבין האפסים ולכתוב שתחום ההגדרה של $h$ הוא $-4\le x\le2$ - שם הפרבולה שלילית.

פונקציות זהות צריכות אותו תחום הגדרה ואותם ערכים.

לפי ג(1), תחום ההגדרה של $h$ כולל את $x\le-4$, ושם $f$ אינה מוגדרת. למשל $h(-5)=\sqrt{(-7)\cdot(-1)}=\sqrt7$, ו-$\sqrt{-7}$ אינו מוגדר.

לכן הפונקציות אינן זהות (הן שוות רק בתחום $x\ge2$).

טעות נפוצה: להסתמך על הכלל $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ ולענות שהן זהות. הכלל נכון רק כאשר $a\ge0$ וגם $b\ge0$.

$h'(a)=f(a)$, ולכן $h$ עולה כאשר $f(a)>0$ ויורדת כאשר $f(a)<0$.

לפי הגרף $f(x)>0$ בתחום $-2<x<4$ ו-$f(x)<0$ בתחום $4<x\le5$.

$h$ מוגדרת עבור $a>-1$ (ועד $a=5$), ולכן $h$ עולה בתחום $-1<a<4$ ויורדת בתחום $4<a<5$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $a>-1$ ולכתוב ש-$h$ עולה בתחום $-2<a<4$.

$h$ קעורה כלפי מעלה כאשר $h''=f'>0$, כלומר כאשר $f$ עולה.

לפי הגרף, ל-$f$ מקסימום ב-$x=1$: $f$ עולה בתחום $-3<x<1$ ויורדת בתחום $1<x<5$.

עם התנאי $a>-1$: קעורה כלפי מעלה בתחום $-1<a<1$, וקעורה כלפי מטה בתחום $1<a<5$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוונים ולכתוב קעורה כלפי מעלה בתחום $1<a<5$ (שם $f$ יורדת) וכלפי מטה בתחום $-1<a<1$.

ההפרש קבוע, ולכן B חשבונית שהפרשה $d$.

$b_1=a_2=a_1+d$.

טעות נפוצה: לכתוב $b_1=a_1$ (להתחיל את B מהאיבר הראשון של A) - לפי ההגדרה $b_1=a_{1+1}=a_2$.

מפרקים הפרש ריבועים:

לפי א, $b_{k+1}=b_k+d$, ולכן $b_k-b_{k+1}=-d$:

טעות נפוצה: לכתוב $b_k-b_{k+1}=d$ ולקבל $b_k^2-b_{k+1}^2=d(b_k+b_{k+1})$ - אבל B עולה, ולכן $b_k^2-b_{k+1}^2$ שלילי כשהאיברים חיוביים.

מחלקים את הסכום לעשרה זוגות: $(b_1^2-b_2^2)+(b_3^2-b_4^2)+\ldots+(b_{19}^2-b_{20}^2)$.

לפי ב, כל זוג שווה ל-$-d$ כפול סכום שני האיברים שבו. מוציאים את $-d=-2$ כגורם משותף:

טעות נפוצה: לחשוב שבסכום יש רק 10 איברים (כי יש 10 זוגות), לכתוב $-2\,T_{10}=-160$, ולקבל $5(2b_1+18)=80$, כלומר $b_1=-1$.

$a_1=b_1-d=-15-2=-17$.

האיברים $a_1, a_3, a_5, \ldots$ הם סדרה חשבונית עם איבר ראשון $-17$ והפרש $2d=4$.

סכום $m$ איברים ממנה:

חיובי כאשר $2m-19>0$, כלומר $m>9.5$. המספר הטבעי הקטן ביותר: $m=10$ (הסכום $10\cdot1=10$; עבור $m=9$ הסכום $-9$).

טעות נפוצה: לקחת לתת-הסדרה את ההפרש $d=2$ במקום $2d=4$, לקבל $m(m-18)>0$, ולענות 19 איברים.

שני המסלולים של 'בדיוק אחד': עבר ואז נכשל ($0.7\cdot0.2$), נכשל ואז עבר ($0.3\cdot p$).

טעות נפוצה: לספור רק את המסלול 'נכשל ואז עבר', $0.3p=0.2$, ולקבל $p=\frac23$.

עבר בשניהם: $0.7\cdot0.8=0.56$.

נכשל בשניהם: $0.3\cdot(1-0.2)=0.3\cdot0.8=0.24$.

(בדיקה: $0.56+0.24+0.2=1$.)

טעות נפוצה: לכפול ב-$p$ במקום ב-$1-p$ בענף של מי שנכשל בראשון, ולקבל $0.3\cdot0.2=0.06$.

עבר לפחות אחד: $1-0.24=0.76$.

מי שקיבל תעודה עבר את שניהם, ובפרט לפחות אחד, ולכן החיתוך הוא 'עבר בשניהם':

טעות נפוצה: להתנות במאורע 'עבר את הראשון' ולחשב $\frac{0.56}{0.7}=0.8$.

כל תלמיד מקבל תעודה בהסתברות $0.56$ (ולא מקבל בהסתברות $0.44$), בלי תלות באחרים. לפי נוסחת ברנולי:

טעות נפוצה: לשכוח את $\binom32$ ולענות $0.56^2\cdot0.44\approx0.138$.

זוויות הבסיס: $\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$.

$\angle AEB=\angle ACB=70^\circ$ (זוויות היקפיות על הקשת $AB$).

$\angle BEC=\angle BAC=40^\circ$ (זוויות היקפיות על הקשת $BC$).

במרובע החסום $ABCE$: $\angle AEC=180^\circ-\angle ABC=110^\circ$, ולכן $\angle CED=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב שזוויות נגדיות במרובע חסום שוות, $\angle AEC=70^\circ$, ולקבל $\angle CED=110^\circ$.

במרובע החסום $ABCE$ הזוויות הנגדיות $\angle BAE$ ו-$\angle BCE$ משלימות: $\angle BAE=180^\circ-\angle BCE$.

$B$, $C$, $D$ על ישר אחד, ולכן גם $\angle ECD=180^\circ-\angle BCE$. מכאן $\angle ECD=\angle BAE$.

לפי סעיף א, $\angle AEB=\angle CED=70^\circ$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta AEB\sim\Delta CED$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לנמק את הדמיון בזוויות $\angle BEC=\angle BAC$ - אלה זוויות שאינן שייכות לשני המשולשים, ולכן הן לא מוכיחות את הדמיון.

מהדמיון, לפי ההתאמה $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $\frac{AE}{CE}=\frac{CD}{AB}=0.4$ - בסרטוט רואים ש-$AE$ ארוך מ-$CE$.

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לחשוב שיחס השטחים הוא פי 2 מיחס הדמיון (במקום ריבוע שלו), ולקבל $2\cdot2.5=5$.

$AE\perp BD$, ולכן המשולש $ABP$ ישר זווית ב-$P$, והיתר שלו $AB=10$.

$AP$ ניצב סמוך לזווית $\angle BAP=35^\circ$, ו-$BP$ ניצב מולה:

טעות נפוצה: להתייחס ל-$AB$ כאל ניצב ולכתוב $BP=AB\tan35^\circ\approx7.00$ - $AB$ מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר.

$BP=5\cdot PD$, ולכן $PD=\frac{BP}{5}\approx1.147$ ו-$BD=BP+PD=\frac65BP\approx6.883$.

$AP\perp BD$, ולכן $AP$ הוא הגובה לצלע $BD$ במשולש $ABD$:

טעות נפוצה: לקחת את $BP$ כבסיס במקום $BD$ ולקבל $\frac12\cdot5.74\cdot8.19\approx23.49$ - זה שטח המשולש $ABP$ בלבד.

במשולש ישר הזווית $APD$ (הזווית הישרה ב-$P$):

$BD$ תיכון לצלע $AC$, ולכן $D$ אמצע $AC$: $AC=2AD\approx16.54$.

טעות נפוצה: לחבר $AD=AP+PD\approx9.34$ (כאילו $A$, $P$ ו-$D$ על ישר אחד) ולקבל $AC\approx18.68$.

משפט הסינוסים המורחב במשולש $AEC$: $2R_{AEC}=\frac{AC}{\sin\angle AEC}$; במשולש $AEB$: $2R_{AEB}=\frac{AB}{\sin\angle AEB}$.

$\angle AEC+\angle AEB=180^\circ$ (זוויות צמודות), ולכן $\sin\angle AEC=\sin\angle AEB$. מחלקים:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ($\frac{AB}{AC}\approx0.605$) - המעגל החוסם את $AEC$ גדול יותר, כי מול אותו סינוס עומדת אצלו צלע ארוכה יותר.

$g'(1)=\frac1{\sqrt9}=\frac13$.

טעות נפוצה: לשכוח לכפול ב-$2x$ ולקבל שיפוע $\frac16$.

$\sqrt{x^2+8}=|x|\sqrt{1+\frac8{x^2}}$, ולכן $f(x)=\frac{x}{|x|}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac8{x^2}}}$.

$\frac8{x^2}\to0$, ולכן הגורם השני שואף ל-1. עבור $x>0$, $\frac x{|x|}=1$ ו-$f\to1$; עבור $x<0$, $\frac x{|x|}=-1$ ו-$f\to-1$.

טעות נפוצה: לצמצם $\frac{x}{\sqrt{x^2}}=1$ לכל $x$, ולקבל $y=1$ גם כאשר $x\to-\infty$.

עבור $0\le x\le1$, $f(x)\ge0$. לפי סעיף א, $g$ היא פונקציה קדומה של $f$:

טעות נפוצה: לנחש פונקציה קדומה $\frac12\sqrt{x^2+8}$ ("לחלק בנגזרת הפנימית") ולקבל $\frac{3-2\sqrt2}{2}\approx0.086$; הגזירה של $\sqrt{x^2+8}$ כבר נותנת בדיוק $f$.

$f(x)+1$ - הזזה של 1 למעלה: האסימפטוטות עוברות ל-$y=2$ ו-$y=0$, והגרף חותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,1)$. זה גרף I.

$f(x+1)$ - הזזה של 1 שמאלה: האסימפטוטות נשארות $y=\pm1$, והאפס עובר מ-$x=0$ ל-$x=-1$. זה גרף II.

טעות נפוצה: להחליף ביניהם, בטענה ש"$+1$" מזיז למעלה בשני המקרים - בתוך הסוגריים $+1$ מזיז את הגרף שמאלה.

הפונקציה מוגדרת כאשר $\cos x\ne0$. בתחום הנתון $\cos x=0$ ב-$x=\pm\frac{\pi}{2}$ וב-$x=\pm\frac{3\pi}{2}$ (קצות התחום).

תחום ההגדרה: $-\frac{3\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$, $x\ne\pm\frac{\pi}{2}$.

טעות נפוצה: להשאיר את קצות התחום ($\le$) - גם ב-$x=\pm\frac{3\pi}{2}$ מתקיים $\cos x=0$.

התחום סימטרי סביב $x=0$, ו-$\cos(-x)=\cos x$:

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(-x)=-\cos x$ (לבלבל עם $\sin$), לקבל $f(-x)=-2\cos x+\frac{1}{\cos^2x}\ne f(x)$ ולהסיק שהפונקציה אינה זוגית.

$\left[(\cos x)^{-2}\right]'=-2(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x)=\frac{2\sin x}{\cos^3x}$.