מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 7 בדרך לבגרות

מניחים ש-$4^n+1$ מתחלק ב-3. כותבים את הביטוי הבא בעזרתו:

$4(4^n+1)$ מתחלק ב-3 (לפי ההנחה), וגם 3 מתחלק ב-3, ולכן ההפרש מתחלק ב-3.

טעות נפוצה: לכתוב $4^{n+1}+1=4(4^n+1)$ (בלי $-3$) - השוויון הזה שגוי ($4\cdot4^n+4\ne4^{n+1}+1$).

$4+1=5$, $16+1=17$, $64+1=65$ - אף אחד מהם אינו מתחלק ב-3.

הטענה מסעיף א(1) היא רק שלב הצעד. בלי שלב בסיס (מקרה שבו הביטוי באמת מתחלק) היא לא מוכיחה דבר - וכאן אין בסיס כזה: הביטוי לעולם אינו מתחלק ב-3.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי הוכחנו את הצעד" - אינדוקציה צריכה גם בסיס.

$f(-x)=(-x)^4-6(-x)^2+1=x^4-6x^2+1=f(x)$ - זוגית.

$f'(x)=4x^3-12x$, ו-$f'(-x)=4(-x)^3-12(-x)=-4x^3+12x=-f'(x)$ - אי-זוגית.

טעות נפוצה: לחשב $(-x)^3=x^3$ ולקבל $f'(-x)=4x^3-12x=f'(x)$, כלומר "$f'$ זוגית".

$F(0)=\int_{-2}^{0}f(x)\,dx$, ו-$f>0$ בתחום $-2<x<0$ (הגרף מעל הציר), ולכן $F(0)>0$.

טעות נפוצה: לענות $F(0)=0$ "כי $a=0$" - $F(0)$ הוא השטח מ-$-2$ עד 0, לא ערך בראשית.

$F'(a)=f(a)$: $f>0$ ב-$-2<x<2$ ו-$f<0$ ב-$2<x\le3$.

לכן $F$ עולה ב-$-2<a<2$, יורדת ב-$2<a\le3$, ובנקודת המעבר $a=2$ יש לה מקסימום.

טעות נפוצה: לענות $a=0$ - שם יש מקסימום ל-$f$, לא ל-$F$.

בסדרה 9 איברים, ולכן האמצעי הוא $a_5$ (ארבעה לפניו וארבעה אחריו).

$a_1=4$, $a_5=4+4\cdot3=16$, $a_9=4+8\cdot3=28$. ההפרשים: $16-4=12$, $28-16=12$ - שווים, ולכן סדרה חשבונית.

טעות נפוצה: לקחת את $a_4=13$ כאמצעי - ההפרשים 9 ו-15, ומסיקים בטעות שאין סדרה חשבונית.

$a_5-a_1=4d$ ו-$a_9-a_5=4d$. ההפרשים שווים, וההפרש הוא $4d$.

טעות נפוצה: לענות $8d$ - זה ההפרש בין הראשון לאחרון.

$a_{n+1}=a_n\cdot\frac13$, ולכן:

מכאן:

המנה קבועה, ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $\frac13$ (כמו מנת $a_n$).

טעות נפוצה: לחשוב שכפל ב-$\frac43$ משנה את המנה ולענות שמנת $b_n$ היא $\frac43\cdot\frac13=\frac49$ - אבל כל האיברים מוכפלים באותו מספר, והמנה בין איברים עוקבים לא משתנה.

$b_1=a_1+a_2=12+4=16$, והמנה $\frac13$ (סעיף א), כלומר $|q|<1$ ויש סכום:

בדיקה: $S_a=\frac{12}{\frac23}=18$, ו-$S_b=\frac43\cdot18=24$.

טעות נפוצה: לחשוב שכל איבר של $a_n$ נספר פעמיים ב-$b_n$, ולענות $2\cdot18=36$ - האיבר $a_1$ מופיע רק ב-$b_1$, ולכן $S_b=2S_a-a_1=24$.

לפי סעיף א, $c_n=\frac{b_n}{a_n}=\frac{\frac43a_n}{a_n}=\frac43$ - אינו תלוי ב-$n$, ולכן הסדרה קבועה.

סכום $k$ האיברים הראשונים: $\frac43k=40$, ולכן $k=30$.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: $k=40\cdot\frac43\approx53.3$, שאינו מספר טבעי.

לאחר ההחלפה: $\frac43,\ -\frac43,\ \frac43,\ -\frac43,\ \ldots$

ב-30 המקומות הראשונים יש 15 מקומות אי-זוגיים ו-15 זוגיים, ולכן:

(15 זוגות, וסכום כל זוג הוא 0.)

טעות נפוצה: להחליף את הסימן של כל האיברים ולא רק של אלה שבמקומות הזוגיים, ולענות $-40$.

כל השאלות: $0.6^4=0.1296$.

״3 לכל היותר״ הוא המשלים של ״כל 4״: $1-0.1296=0.8704$.

טעות נפוצה: להשלים את ״אף תשובה נכונה״ במקום את ״כל התשובות נכונות״, ולענות $1-0.4^4=0.9744$.

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom42$ ולענות $0.0576$.

הניקוד המרבי $1+2+3+4=10$. 9 לפחות: כל השאלות (10) או כולן חוץ משאלה 1 (9).

טעות נפוצה: להכפיל את האפשרות ״שאלה אחת שגויה״ ב-4, כאילו כל שאלה שגויה נותנת 9 נקודות, ולקבל $0.1296+4\cdot0.0864=0.4752$.

צירופים שסכומם 5: $\{1,4\}$ ו-$\{2,3\}$ (אין שאלה בודדת או שלשה שסכומן 5).

בכל צירוף 2 נכונות ו-2 שגויות: $0.6^2\cdot0.4^2=0.0576$. לכן $2\cdot0.0576=0.1152$.

טעות נפוצה: למצוא רק את הצירוף $\{2,3\}$ ולענות $0.0576$.

בהינתן 2 תשובות נכונות, כל אחד מ-$\binom42=6$ הזוגות שווה הסתברות.

2 מהזוגות נותנים 5 נקודות, ולכן ההסתברות $\frac26=\frac13$. (בדיקה: $\frac{0.1152}{0.3456}=\frac13$.)

טעות נפוצה: לחלק את מספר הצירופים המתאימים (2) במספר השאלות (4) במקום במספר הזוגות האפשריים ($\binom42=6$), ולענות $\frac12$.

$BC$ קוטר, ולכן $\angle BAC=90^\circ$, ומכאן $\angle BAG=90^\circ$.

$\triangle BAG\cong\triangle BAC$ לפי צ.ז.צ: $GA=AC$, $\angle BAG=\angle BAC$, $BA$ משותפת.

מהחפיפה: $BG=BC$ ו-$\angle GBA=\angle CBA$.

טעות נפוצה: לנסות להוכיח $BG=BC$ מכך ש-$G$ ו-$C$ שתיהן "על המעגל" - $G$ מחוץ למעגל; השוויון נובע מהחפיפה.

במרובע החסום $ADBC$: $\angle ADB+\angle ACB=180^\circ$ (זוויות נגדיות).

$\angle GDA$ צמודה ל-$\angle ADB$, ולכן $\angle GDA=180^\circ-\angle ADB=\angle ACB=\angle GCB$.

יחד עם $\angle G$ המשותפת: $\Delta GBC\sim\Delta GAD$ (ז.ז.), בהתאמה $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle GDA=\angle GBC$ (זוויות מתאימות) כאילו $DA\parallel BC$ - הישרים אינם מקבילים.

$GA=6$, $GC=12$, ולפי א $GB=BC=10$.

מהדמיון: $\frac{GA}{GB}=\frac{GD}{GC}$, ולכן $GD=\frac{GA\cdot GC}{GB}=\frac{6\cdot12}{10}=7.2$.

יחס הדמיון $\frac{GA}{GB}=\frac{6}{10}=0.6$, ולכן $\frac{S_{GAD}}{S_{GBC}}=0.6^2=0.36$.

$S_{DBCA}=S_{GBC}-S_{GAD}=(1-0.36)S_{GBC}=0.64S_{GBC}$:

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים כיחס הדמיון עצמו (0.6 במקום 0.36), ולקבל $\frac{0.4}{0.6}=\frac23$.

$AB=\sqrt{10^2-6^2}=8$.

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן $\angle BCE=90^\circ$, ו-$CA$ הוא הגובה ליתר $BE$.

$AC^2=AB\cdot AE$: $36=8\cdot AE$, $AE=4.5$.

גובה משותף מ-$C$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $AC^2=AE\cdot BC$ (להחליף את $AB$ בקוטר), לקבל $AE=3.6$ ויחס $\frac{11.6}{8}=1.45$.

AD משיק ב-D, ולכן $OD\perp AD$ והמשולש ADO ישר-זווית ב-D.

$OD=R$ הוא הניצב שליד $\alpha$, ו-AO הוא היתר: $\cos\alpha=\frac{R}{AO}$, ולכן $AO=\frac{R}{\cos\alpha}$.

AD הוא הניצב שמול $\alpha$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $AD=\frac{R}{\tan\alpha}$ - טנגנס הוא הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה.

לפי סעיף א, עבור $\alpha=60^\circ$: $AO=\frac{R}{\cos60^\circ}=\frac{R}{\frac12}=2R$.

במשולש AOB: $AO=2R$, $OB=R$ והזווית ביניהן $\beta$. לפי משפט הקוסינוסים:

ולכן $AB=R\sqrt{5-4\cos\beta}$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{R}{\cos60^\circ}=\frac R2$ (לחלק ב-2 במקום לכפול), ולקבל $AB=R\sqrt{\frac54-\cos\beta}$.

מציבים בסעיף ב ומעלים בריבוע:

$\beta$ זווית במשולש, ולכן $\beta\approx41.41^\circ$.

(בדיקה: $\beta<\alpha=60^\circ$, כמו שצריך לנקודת החיתוך הקרובה.)

טעות נפוצה: לשכוח להעלות את $\sqrt2$ בריבוע ולכתוב $5-4\cos\beta=\sqrt2$, ומכאן $\cos\beta\approx0.896$ ו-$\beta\approx26.31^\circ$.

הזווית D במשולש ADO ישרה. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן היתר AO הוא קוטר של המעגל החוסם את המשולש.

לפי סעיף ב, $AO=2R$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב שהרדיוס שווה ליתר, $r=AO=2R$ - היתר הוא הקוטר של המעגל החוסם, לא הרדיוס.

המכנה מתאפס כאשר $x^2-4=0$, כלומר $x=2$ או $x=-2$.

תחום ההגדרה: $x\ne\pm2$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המונה ($8x=0$) ולכתוב $x\ne0$ - המונה מתאפס בנקודה שבה $f'=0$, לא בנקודה שבה $f'$ אינה מוגדרת.

$f'(x)=0$ רק כאשר $x=0$. סימן $(x^2-4)^3$ כסימן $x^2-4$ (חזקה אי-זוגית).

ב-$x=0$ הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ו-$f$ מוגדרת שם - מקסימום.

ב-$x=\pm2$ הסימן מתחלף, אבל $f$ אינה מוגדרת שם, ולכן אלה אינן נקודות קיצון. נקודת הקיצון היחידה היא ב-$x=0$.

טעות נפוצה: לסמן גם את $x=\pm2$ כנקודות מינימום, כי הנגזרת עוברת שם משלילית לחיובית - אבל שם $f$ אינה מוגדרת.

$f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}=-2\cdot\frac{-4x}{(x^2-4)^3}$, ולכן $f(x)=-\frac{2}{(x^2-4)^2}+C$.

כאשר $x\to\pm\infty$ השבר שואף ל-0, ולכן $f\to C$. האסימפטוטה $y=1$, ולכן $C=1$:

$f(0)=1-\frac{2}{16}=\frac78$. נקודת המקסימום: $\left(0,\frac78\right)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הקבוע ($C=0$) ולקבל $f(x)=-\frac{2}{(x^2-4)^2}$ ומקסימום $\left(0,-\frac18\right)$ - אז האסימפטוטה האופקית היא $y=0$ ולא $y=1$.

ב-$x=-2$ המכנה המצומצם מתאפס - אסימפטוטה אנכית $x=-2$.

ב-$x=2$ הגורם המתאפס הצטמצם: $h$ אינה מוגדרת שם, אבל $\frac{1}{(2+2)^2}=\frac1{16}$ - נקודת אי-רציפות סליקה $\left(2,\frac1{16}\right)$.

בגרף II האסימפטוטה משמאל לציר ה-$y$ והחור מימין - זה הגרף של $h$.

טעות נפוצה: לחשוב שהאסימפטוטה של $\frac{1}{(x+2)^2}$ היא $x=2$ ולבחור את גרף I.

גרף I מתאפס בשתי נקודות - ובהן לגרף II יש מקסימום ומינימום.

היכן שגרף II עולה (בתחילת התחום ובסופו) גרף I חיובי, והיכן שגרף II יורד - גרף I שלילי.

לכן $f(x)$ הוא גרף II ו-$f'(x)$ הוא גרף I.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כ-$f$ כי הוא מתחיל בערך חיובי - נקודת ההתחלה לא קובעת; בודקים אפסים מול קיצון.

הסימן של $f'$ הוא הסימן של $\cos x$: חיובי ב-$0\le x<\frac{\pi}2$, שלילי ב-$\frac{\pi}2<x<\frac{3\pi}2$, חיובי ב-$\frac{3\pi}2<x\le2\pi$.

$\max\left(\frac{\pi}2,\frac{1}{3}\right)$, $\min\left(\frac{3\pi}2,\frac{-1}{2-1}\right)=\min\left(\frac{3\pi}2,-1\right)$.

קצוות: $f$ עולה מ-$x=0$ - $\min(0,0)$; $f$ עולה עד $x=2\pi$ - $\max(2\pi,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודות הקצה ולענות רק $\max\left(\frac{\pi}2,\frac13\right)$ ו-$\min\left(\frac{3\pi}2,-1\right)$.

$g=0\iff\frac{\sin x}{2+\sin x}=0.2$:

בתחום: $x=\frac{\pi}6$, $x=\frac{5\pi}6$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון השני ולענות רק $\left(\frac{\pi}6,0\right)$.

אפסי $g$ הם מינימום: $\left(\frac{\pi}6,0\right)$, $\left(\frac{5\pi}6,0\right)$.

$x=\frac{\pi}2$: $f-0.2=\frac13-\frac15=\frac2{15}>0$ - נשאר מקסימום.

$x=\frac{3\pi}2$: $f-0.2=-1.2<0$ - השיקוף הופך את המינימום למקסימום: $\left(\frac{3\pi}2,1.2\right)$.