בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2026 מועד ב'

בעבור $n=2$ אגף שמאל הוא סכום שני האיברים הראשונים:

אגף ימין בעבור $n=2$:

השוויון מתקיים, ולכן $\frac{36}{b}=9$, כלומר $b=4$.

טעות נפוצה: להשוות את אגף ימין רק לאיבר האחרון ($2^3=8$) במקום לסכום כולו, ולקבל $\frac{36}{b}=8$, כלומר $b=4.5$.

צריך להוכיח: $1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ לכל $n$ טבעי.

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $1^3=1$, אגף ימין $\frac{1\cdot4}{4}=1$. מתקיים.

הנחת האינדוקציה: נניח שבעבור $n=k$ מתקיים $1^3+2^3+\ldots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

צעד: צריך להראות ש-$1^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

מציבים את ההנחה בסכום של $k$ האיברים הראשונים, ומוציאים גורם משותף $\frac{(k+1)^2}{4}$:

$k^2+4k+4=(k+2)^2$ - ריבוע שלם, ולכן הסכום הוא $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$, כנדרש.

לפי עקרון האינדוקציה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף לסכום את $k^3$ במקום את האיבר הבא $(k+1)^3$ - ואז מקבלים $\frac{k^2\left((k+1)^2+4k\right)}{4}$, שאינו $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$, ונדמה בטעות שהטענה אינה נכונה.

תחום ההגדרה: בביטויים III ו-IV יש $\sqrt{x-6}$, שמוגדר רק כאשר $x\ge6$. הפונקציה בסרטוט מוגדרת בתחום $x\le6$, ולכן III ו-IV נפסלים.

בביטויים I ו-II יש $\sqrt{6-x}$, שמוגדר כאשר $x\le6$ - מתאים.

סימן: לפי הסרטוט, בעבור $x<0$ הגרף מעל ציר ה-$x$ ($f(x)>0$), ובעבור $0<x<6$ הגרף מתחת לציר ($f(x)<0$).

$\sqrt{6-x}>0$ בעבור $x<6$, ולכן הסימן של הביטוי נקבע לפי הגורם שלפני השורש:

ב-I, $x\sqrt{6-x}<0$ בעבור $x<0$ - לא מתאים.

ב-II, $-x\sqrt{6-x}>0$ בעבור $x<0$ ו-$-x\sqrt{6-x}<0$ בעבור $0<x<6$ - מתאים.

לכן הביטוי II מייצג את $f(x)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק שהגרף עובר בראשית ובנקודה $(6,0)$ - שתי התכונות מתקיימות גם בביטוי I - ולבחור בביטוי I.

לפי סעיף ב(1): $g(x)=\left(-x\sqrt{6-x}\right)^2=x^2(6-x)=6x^2-x^3$, בתחום $x\le6$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2(6-x)=0$, כלומר $x=0$ או $x=6$.

בתחום ההגדרה $x^2\ge0$ ו-$6-x\ge0$, ולכן $g(x)\ge0$. בעבור $x<0$ הגרף לא חוזר לציר ה-$x$, ולכן השטח הסגור הוא רק בין $x=0$ ל-$x=6$, מעל הציר:

טעות נפוצה: לכתוב $\left(\sqrt{6-x}\right)^2=(6-x)^2$, כלומר $g(x)=x^2(6-x)^2$, ולקבל $\int_0^6x^2(6-x)^2dx=259.2$.

$g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$ אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס, כלומר כאשר $f(x)=2$. שם המונה (1) שונה מ-0, ולכן בכל נקודה כזו יש ל-$g$ אסימפטוטה אנכית.

נספור לפי הסרטוט את הפתרונות של $f(x)=2$ (נקודות החיתוך של הגרף עם הישר $y=2$):

בעבור $x<3$ הפונקציה עולה מ-0 (האסימפטוטה) עד 4, ולכן מקבלת את הערך 2 פעם אחת. מאחר ש-$f(0)=1<2$, הנקודה הזו בין $x=0$ ל-$x=3$.

בעבור $x>3$ הפונקציה יורדת מ-4 אל 0, ולכן מקבלת את הערך 2 עוד פעם אחת.

יש שני פתרונות, ולכן ל-$g(x)$ יש 2 אסימפטוטות המאונכות לציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטות אנכיות היכן ש-$f(x)=0$ (כמו ב-$\frac{1}{f(x)}$) - ל-$f$ אין אפסים - ולענות שאין ל-$g$ אסימפטוטות אנכיות (0).

הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית של $f$ (בשני הכיוונים), כלומר $f(x)\to0$ כאשר $x\to\pm\infty$.

לכן:

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ היא $y=-\frac12$.

טעות נפוצה: להעתיק את האסימפטוטה של $f$ ולענות $y=0$ - אבל $g$ שואפת ל-$\frac{1}{0-2}$, ולא ל-0.

נאסוף את המידע מ-$f$:

אסימפטוטות: אנכיות בשתי הנקודות שבהן $f(x)=2$ (סעיף ג(1)), ואופקית $y=-\frac12$ (סעיף ג(2)).

בין שתי האסימפטוטות האנכיות $2<f(x)\le4$, ולכן $0<f(x)-2\le2$ ו-$g(x)\ge\frac12$. כש-$f$ מתקרבת ל-2 מלמעלה, $g\to+\infty$.

הקיצון: כש-$f$ גדלה $g$ קטנה, ולהפך ($g'(x)=-\frac{f'(x)}{(f(x)-2)^2}$). לכן המקסימום של $f$ ב-$(3,4)$ הופך למינימום של $g$: $g(3)=\frac{1}{4-2}=\frac12$, בנקודה $(3,\frac12)$.

מחוץ לאסימפטוטות האנכיות $0<f(x)<2$, ולכן $-2<f(x)-2<0$ ו-$g(x)<-\frac12$: הענפים החיצוניים מתחת לאסימפטוטה האופקית, ושואפים ל-$-\infty$ ליד האסימפטוטות האנכיות.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $g(0)=\frac{1}{1-2}=-1$.

בענף השמאלי $f$ עולה ולכן $g$ יורדת (מ-$-\frac12$ ל-$-\infty$); בענף הימני $f$ יורדת ולכן $g$ עולה (מ-$-\infty$ ל-$-\frac12$).

טעות נפוצה: להעתיק את סוג הקיצון מ-$f$ ולסרטט מקסימום של $g$ בנקודה $(3,\frac12)$ - כשהמכנה מקסימלי, השבר $\frac{1}{f-2}$ מינימלי.

$\angle CAB=90^\circ$, ולכן $BC$ הוא היתר - הצלע הארוכה ביותר במשולש.

אורכי הצלעות חיוביים, ולכן המנה $q$ חיובית, והאיברים הם $1,\ q,\ q^2$ (האיבר הראשון $AB=1$).

נניח ש-$BC=q$ (האיבר השני). אז $AC=q^2$.

$BC$ ארוך מ-$AB$, כלומר $q>1$. אבל אז $q^2>q$, כלומר $AC>BC$ - בסתירה לכך ש-$BC$ הוא היתר.

(ואם $q\le1$, אז $BC=q\le1=AB$ - גם סתירה.)

לכן לא ייתכן שהאיבר השני שווה ל-$BC$.

טעות נפוצה: לשכוח איזו צלע היא היתר, לכתוב את משפט פיתגורס כ-$1^2+q^2=\left(q^2\right)^2$ (כאילו $AC$ הוא היתר), למצוא פתרון ולענות 'ייתכן'.

לפי סעיף ד(1), האיבר השני הוא $AC=q$ והאיבר השלישי הוא $BC=q^2$.

משפט פיתגורס במשולש ($BC$ היתר):

נציב $t=q^2$ ($t>0$): $t^2-t-1=0$.

$t>0$, ולכן $t=\frac{1+\sqrt5}{2}$.

$BC=q^2=t=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$.

בדיקה: $q=\sqrt{1.618}\approx1.272>1$, ולכן $BC$ אכן הצלע הארוכה ביותר.

טעות נפוצה: לעצור ב-$q$ ולענות $BC=q=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}\approx1.272$ - זה אורך הניצב $AC$; $BC$ הוא האיבר השלישי, $q^2$.

כל האיברים חיוביים, ו-$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ הוא מנה של שני מספרים חיוביים, ולכן $q>0$. טענה I נפסלת (במנה שלילית האיברים מתחלפים בסימן).

הסדרה יורדת: $a_{n+1}<a_n$, כלומר $a_nq<a_n$. מחלקים ב-$a_n>0$ ומקבלים $q<1$. טענה III נפסלת.

לכן $0<q<1$ - טענה II נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב ש"סדרה יורדת" פירושה מנה שלילית, ולבחור בטענה I. מנה שלילית יוצרת סדרה מתחלפת בסימן, לא סדרה יורדת.

נביע את $b_n$ באמצעות $a_n$: $a_{n+1}=a_nq$ ו-$a_{n+2}=a_nq^2$, ולכן

$1+q+q^2>0$ (כי $q>0$), ולכן $b_n\neq0$, ואפשר לחלק:

המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועה ושווה ל-$q$, ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$.

טעות נפוצה: "לצמצם" את השבר $\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}}{a_n+a_{n+1}+a_{n+2}}$ מחובר-מחובר, כאילו הוא $\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+3}}{a_{n+2}}$, ולקבל מנה $3q$.

לפי סעיף א $0<q<1$, ולכן לשתי הסדרות (שמנתן $q$) יש סכום.

$b_1=a_1\left(1+q+q^2\right)$, ולכן:

לפי הנתון $S_b=1.96\,S_a$. מחלקים ב-$\frac{a_1}{1-q}\neq0$:

$q=0.6$ או $q=-1.6$. לפי סעיף א $0<q<1$, ולכן $q=0.6$.

טעות נפוצה: להשאיר בתשובה גם את $q=-1.6$ - אבל בסדרה שכל איבריה חיוביים המנה חיובית, ובמנה כזו אין לסדרה סכום בכלל.

לפי סעיף ב, $b_n=a_n\left(1+q+q^2\right)$, ו-$a_n\neq0$. לכן:

הביטוי אינו תלוי ב-$n$. לפי סעיף ג $1+q+q^2=1.96$, ולכן $c_n=\frac{1.96}{4}=0.49$ לכל $n$ - הסדרה קבועה.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 4 שבמכנה ולכתוב $c_n=1+q+q^2=1.96$.

כל איברי $c_n$ שווים ל-0.49, ולכן סכום $k$ האיברים הראשונים הוא $0.49k$:

טעות נפוצה: לחלק את 34.79 ב-1.96 (בלי הגורם 4) ולקבל $k\approx17.75$, שאינו מספר טבעי.

לאחר החלפת הסימנים הסדרה היא $0.49,\ -0.49,\ 0.49,\ -0.49,\ \ldots$

ב-71 המקומות הראשונים יש 36 מקומות אי-זוגיים ($1,3,\ldots,71$) ו-35 מקומות זוגיים.

(אפשר גם בזוגות: 35 זוגות שסכום כל אחד מהם 0, והאיבר ה-71, שבמקום אי-זוגי, נשאר: 0.49.)

טעות נפוצה: לחשוב שהאיברים מתבטלים בזוגות עד הסוף ולענות 0 - אבל 71 אי-זוגי, ולאיבר האחרון אין זוג.

נבנה עץ בשלושה שלבים. נסמן ב-$r$ את ההסתברות המבוקשת (לעבור את הריאיון, בהינתן שעבר את שני המבחנים):

עובר את מבחן א': $p$; עובר את מבחן ב' בהינתן שעבר את א': $2p$; עובר את הריאיון בהינתן שעבר את שני המבחנים: $r$.

לפי חוק המכפלה לאורך המסלולים:

לפי הנתון:

$p\neq0$, ולכן מחלקים ב-$2p^2$: $r=3-3r$, כלומר $r=0.75$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוון של "גדולה פי 3" ולכתוב $3\cdot2p^2r=2p^2(1-r)$; מתקבל $r=0.25$.

94% לא מתקבלים, ולכן $P(\text{מתקבל})=1-0.94=0.06$.

לפי סעיף א:

($p>0$, ולכן $p=-0.2$ נפסל.) בדיקה: ההסתברות לעבור את מבחן ב' היא $2p=0.4$ - הסתברות חוקית.

טעות נפוצה: להשוות את $1.5p^2$ ל-0.94 (ההסתברות שלא מתקבלים) ולקבל $p\approx0.79$ - ואז $2p\approx1.58>1$, שאינה הסתברות.

מחפשים $P(\text{עבר את א'}\mid\text{לא התקבל})$.

כל מי שהתקבל עבר את מבחן א', ולכן:

לפי הגדרת ההסתברות המותנית:

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות המותנית בכיוון ההפוך, $P(\text{לא התקבל}\mid\text{עבר את א'})=\frac{0.14}{0.2}=0.7$.

הבחירה היא מתוך המועמדים שלא התקבלו, ולכן ההסתברות ש"מועמד שנבחר עבר את מבחן א'" היא ההסתברות המותנית מסעיף ג: $\frac{7}{47}$.

5 בחירות בלתי תלויות - ניסוי ברנולי עם $n=5$ ו-$p=\frac{7}{47}$. "לפחות שניים" = המשלים של "אף אחד" ו"בדיוק אחד":

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות $p=0.2$ (של כל המועמדים) במקום בהסתברות המותנית $\frac{7}{47}$, ולקבל $1-0.8^5-5\cdot0.2\cdot0.8^4\approx0.2627$.

במשולש שווה צלעות כל זווית היא $60^\circ$.

$\angle AEB$ ו-$\angle ACB$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$ (הנקודות $E$ ו-$C$ באותו צד של $AB$), ולכן $\angle AEB=\angle ACB=60^\circ$.

$\angle BEC$ ו-$\angle BAC$ נשענות על אותה קשת $BC$, ולכן $\angle BEC=\angle BAC=60^\circ$.

המרובע $ABCE$ חסום במעגל, ולכן הזוויות הנגדיות $\angle ABC$ ו-$\angle AEC$ משלימות זו את זו: $\angle AEC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

$A$, $E$, $D$ על ישר אחד, ולכן $\angle CED=180^\circ-\angle AEC=60^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב שבמרובע חסום זוויות נגדיות שוות, $\angle AEC=\angle ABC=60^\circ$, ולקבל $\angle CED=120^\circ$.

$\angle AEB=\angle CED=60^\circ$ (סעיף א).

$\angle ECD$ היא זווית חיצונית של המרובע החסום $ABCE$ בקודקוד $C$ (כי $B$, $C$, $D$ על ישר אחד), ולכן היא שווה לזווית הפנימית שמולה: $\angle ECD=\angle BAE$.

(זווית חיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה: למשל $\angle ECD+\angle BCE=180^\circ$ וגם $\angle BAE+\angle BCE=180^\circ$.)

שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta AEB\sim\Delta CED$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: להתאים את $\angle ECD$ ל-$\angle ABE$ (הזווית שליד $B$) ולכתוב את הדמיון $\Delta AEB\sim\Delta DEC$ - ואז היחסים בסעיף ג יוצאים הפוכים.

מהדמיון שבסעיף ב, לפי ההתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$:

המשולש $ABC$ שווה צלעות, ולכן $AB=BC$, ומכאן $\frac{AE}{CE}=\frac{BC}{CD}$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{AE}{CE}=\frac{EB}{CD}$ - הצלע $CD$ מתאימה ל-$AB$, ולא ל-$EB$.

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=2.25$, ולכן $\frac{AB}{CD}=1.5$, כלומר $\frac{BC}{CD}=1.5$.

נסמן $CD=2t$, ואז $BC=AB=3t$ ו-$BD=5t$.

דמיון נוסף: $\Delta DEC\sim\Delta DBA$ - הזווית $\angle D$ משותפת, ו-$\angle DEC=\angle DBA$ (זווית חיצונית של המרובע החסום $ABCE$ בקודקוד $E$ שווה לזווית הפנימית שמולה, $\angle ABC$). ההתאמה: $D\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow A$, ויחס הדמיון $\frac{DC}{DA}$.

לכן:

נחשב את $DA$: הגובה $AM$ לצלע $BC$ במשולש שווה צלעות חוצה אותה, ולכן $MC=1.5t$, $AM=\frac{3\sqrt3}{2}t$ ו-$MD=1.5t+2t=3.5t$. לפי פיתגורס במשולש $AMD$:

(אפשר גם במשפט הקוסינוסים במשולש $ACD$, עם $\angle ACD=120^\circ$: $DA^2=9t^2+4t^2+6t^2=19t^2$.)

טעות נפוצה: להתאים במשולשים $ABD$ ו-$CED$ את $BD$ ל-$CD$ (כאילו הם דומים) ולענות $\left(\frac{5t}{2t}\right)^2=6.25$ - המשולש $ABD$ דומה למשולש $CED$ בהתאמה $B\leftrightarrow E$, $A\leftrightarrow C$, כך ש-$BD$ מתאימה ל-$ED$.