בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2026 מועד א'

נסמן ב-$S_n$ את אגף שמאל ונוכיח באינדוקציה.

בסיס ($n=1$): באגף שמאל יש איבר אחד, $\frac{1^2}{1\cdot3}=\frac13$. באגף ימין: $\frac{1\cdot2}{2\cdot3}=\frac13$. הטענה נכונה.

הנחה: נניח שעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים $S_k=\frac{k(k+1)}{2(2k+1)}$.

צעד: צריך להוכיח ש-$S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)}$. האיבר ה-$(k+1)$ מתקבל מהצבת $k+1$ במקום $n$ בכל מקום: $\frac{(k+1)^2}{(2k+1)(2k+3)}$. לכן, לפי ההנחה:

בסוגריים המרובעים: $2k^2+3k+2k+2=2k^2+5k+2=(2k+1)(k+2)$. מצמצמים ב-$2k+1$:

זו הנוסחה עבור $n=k+1$, ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להציב $k+1$ רק במונה ולכתוב את האיבר החדש כ-$\frac{(k+1)^2}{(2k-1)(2k+1)}$; אז מקבלים $\frac{(k+1)(2k^2+k+2)}{2(2k-1)(2k+1)}$, שאינו מתפרק לצורה הדרושה, והצעד "נכשל".

נבחר ספר באקראי. נסמן: $K$ - ספר קומיקס, $H$ - ספר בעברית. $P(K)=0.6$, $P(H)=0.7$.

טענה I: לפי נוסחת האיחוד $P(K\cap H)=P(K)+P(H)-P(K\cup H)$, ומאחר ש-$P(K\cup H)\le1$:

כלומר לפחות 30% מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית. הטענה לא נכונה.

טענה II: לפי הגדרת ההסתברות המותנית:

המונה זהה וחיובי (לפחות 0.3), והמכנה של הראשונה קטן יותר, לכן $P(H|K)>P(K|H)$. הטענה נכונה.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוון ולחשב את "ההסתברות לבחור ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס" כ-$\frac{P(K\cap H)}{P(H)}$; אז שתי ההסתברויות מתחלפות, ומקבלים ש-I לא נכונה וגם II לא נכונה.

$g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$ מוגדרת בכל נקודה שבה $f$ מוגדרת והמכנה אינו 0.

$f$ מוגדרת לכל $x$, ו-$(f(x))^2=0$ רק כאשר $f(x)=0$. לפי הנתונים, ל-$f$ יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-$x$: $(12,0)$.

לכן תחום ההגדרה של $g$: $x\ne12$.

טעות נפוצה: לחפש רק היכן $f$ אינה מוגדרת, ולענות "כל $x$" - אבל ב-$x=12$ המכנה של $g$ מתאפס.

סימן: $g$ היא 1 חלקי ריבוע, ולכן $g(x)>0$ לכל $x\ne12$.

אסימפטוטות: כאשר $x\to12$, $f(x)\to0$ ולכן $g(x)\to+\infty$ משני הצדדים - אסימפטוטה אנכית $x=12$. כאשר $x\to\pm\infty$, $f(x)\to0$ ולכן $g(x)\to+\infty$ - ל-$g$ אין אסימפטוטה אופקית.

מונוטוניות: $g'(x)=\frac{-2f'(x)}{(f(x))^3}$.

עבור $x<12$: $f>0$, ולכן $g$ יורדת היכן ש-$f$ עולה ועולה היכן ש-$f$ יורדת: יורדת ב-$x<6$ ועולה ב-$6<x<12$. מינימום: $g(6)=\frac{1}{a^2}$.

עבור $x>12$: $f<0$, ולכן $g$ עולה היכן ש-$f$ עולה: יורדת ב-$12<x<18$ ועולה ב-$x>18$. מינימום: $g(18)=\frac{1}{(-2a)^2}=\frac{1}{4a^2}$.

הסקיצה: שני ענפים בצורת "קערה" משני צדי $x=12$; המינימום הימני ($\frac{1}{4a^2}$) נמוך מהשמאלי ($\frac{1}{a^2}$).

טעות נפוצה: להעתיק את האסימפטוטה של $f$ ולשרטט ל-$g$ אסימפטוטה אופקית $y=0$ - כאשר $f\to0$, $\frac1{f^2}$ שואפת ל-$+\infty$, לא ל-0.

לפי הסקיצה, הישר האופקי $y=c$ חותך את גרף $g$:

אם $c>\frac{1}{a^2}$ - בארבע נקודות (שתיים בכל ענף).

אם $c=\frac{1}{a^2}$ - בשלוש נקודות: משיק לענף השמאלי במינימום שלו, וחותך את הענף הימני פעמיים (כי $\frac{1}{a^2}>\frac{1}{4a^2}$).

אם $\frac{1}{4a^2}<c<\frac{1}{a^2}$ - בשתי נקודות; אם $c=\frac{1}{4a^2}$ - בנקודה אחת.

לכן בדיוק 3 נקודות משותפות מתקבלות רק כאשר $c=\frac{1}{a^2}$:

$a=3>1$, כנדרש.

טעות נפוצה: להשוות את הישר דווקא למינימום הנמוך $\frac{1}{4a^2}$, לקבל $a^3=\frac{27}{4}$ ו-$a=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\approx1.89$ - בגובה הזה יש לישר ולגרף נקודה משותפת אחת בלבד.

מחפשים פונקציה קדומה של $f$. במונה יש $x^2$, וזו (עד כדי קבוע) הנגזרת של הביטוי הפנימי $x^3-8$: $(x^3-8)'=3x^2$. לכן:

בדיקה: $\left(\frac{10}{x^3-8}\right)'=\frac{-10\cdot3x^2}{(x^3-8)^2}=f(x)$.

הגרף עובר דרך $(0,0.75)$:

פונקציה מתאימה: $g(x)=\frac{10}{x^3-8}+2$.

(הנקודה הנתונה נמצאת בענף $x<2$; בענף $x>2$ הקבוע יכול להיות אחר, ולכן מבקשים "פונקציה" המקיימת את התנאים.)

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-3 של הנגזרת הפנימית ולכתוב $\frac{30}{x^3-8}+C$; מהנקודה מקבלים $C=4.5$ ואת הפונקציה השגויה $\frac{30}{x^3-8}+4.5$.

מסיקים את צורת $g$ מהנגזרת שלה, $g'(x)=f(x)$, ומהפונקציה שמצאנו בסעיף ד(1).

1. לפי הגרף של $f$: $f(x)\le0$ לכל $x\ne2$. לכן $g$ יורדת בכל אחד מהענפים. גרף III נפסל: הענף השמאלי שלו עולה.

2. $f(0)=0$, אבל $f$ אינה מחליפה סימן ב-$x=0$ (שלילית משני הצדדים). לכן ב-$x=0$ יש לגרף $g$ משיק אופקי בלי נקודת קיצון - "מדף". גרף II נפסל: הענף השמאלי שלו יורד בלי מדף.

3. אסימפטוטות: $g(x)=\frac{10}{x^3-8}+2$, ולכן $x=2$ אסימפטוטה אנכית, וכאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{10}{x^3-8}\to0$ ו-$g\to2$ - אסימפטוטה אופקית $y=2$ מעל ציר ה-$x$. גרף IV נפסל: הגרף שלו שואף ל-0.

הגרף המתאים: גרף I.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II, כי גם בו שני הענפים יורדים והאסימפטוטות מתאימות - ולהתעלם מכך ש-$g'(0)=0$ מחייב משיק אופקי ב-$x=0$.

כדי להוכיח שסדרה הנדסית, מראים שהמנה בין שני איברים עוקבים קבועה (לא תלויה ב-$n$).

איברי סדרה הנדסית שונים מ-0, ולכן $c_n\ne0$ ומותר לחלק:

המנה קבועה, ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$.

טעות נפוצה: לחבר את המנות ולכתוב שמנת $c_n$ היא $q+2q=3q$ - במכפלה של סדרות המנות מוכפלות.

נביע את $c_2$ באמצעות $a_1$ ו-$q$:

לפי הנתון:

(מותר לחלק ב-$a_1^2$, כי $a_1\ne0$.)

אם $q=-\frac14$, איברי $a_n$ מחליפים סימן לסירוגין, והסדרה אינה עולה. לכן $q=\frac14$.

טעות נפוצה: לכתוב $c_2=c_1\cdot q$ (להשתמש במנה של $a_n$ במקום במנה של $c_n$), לקבל $a_1^2q=\frac18a_1^2$ ו-$q=\frac18$.

$q=\frac14$, ולכן $0<q<1$: כל איבר שווה ל-$\frac14$ מהאיבר שלפניו, וכל האיברים באותו סימן כמו $a_1$.

הסדרה עולה, כלומר $a_{n+1}-a_n>0$, ולכן $-\frac34a_n>0$, כלומר $a_n<0$. בפרט $a_1<0$.

(סדרה עם $a_1>0$ ו-$0<q<1$ יורדת אל 0; כדי שתעלה אל 0, האיברים צריכים להיות שליליים.)

טעות נפוצה: להסיק ש"סדרה עולה מתחילה באיבר חיובי" ולענות ש-$a_1$ חיובי - עם $0<q<1$ סדרה חיובית יורדת.

$c_1=a_1\cdot b_1=a_1^2>0$, ומנת הסדרה $2q^2=2\cdot\frac{1}{16}=\frac18$.

כל איברי $c_n$ חיוביים, וכל איבר הוא $\frac18$ מקודמו:

לכן $c_n$ יורדת.

טעות נפוצה: להסיק ש"מכפלה של שתי סדרות עולות היא סדרה עולה" - $a_n$ ו-$b_n$ שליליות, והערך המוחלט שלהן קטן, ולכן המכפלה החיובית קטנה.

שלוש הסדרות מתכנסות: $|q|=\frac14$, $|2q|=\frac12$, $|2q^2|=\frac18$, כולן קטנות מ-1. נשתמש בנוסחה $S=\frac{a_1}{1-q}$:

כופלים ב-21: $28a_1+42a_1+24a_1^2=9114$, ומחלקים ב-2:

$a_1=\frac{217}{12}$ או $a_1=-21$. לפי סעיף ג(1) $a_1<0$, ולכן $a_1=-21$.

בדיקה: $S_1=-28$, $S_2=-42$, $S_3=\frac{8\cdot441}{7}=504$, וסכומם 434.

טעות נפוצה: לבחור בפתרון החיובי $a_1=\frac{217}{12}$ - הוא סותר את סעיף ג(1).

נבנה עץ: בשלב הראשון בוחרים שק (כל שק בהסתברות $\frac12$), ואחר כך שתי הוצאות עם החזרה, כלומר בכל הוצאה אותה הסתברות לכדור רך.

בשק א' ההסתברות לכדור רך $\frac{4}{10}=0.4$, ובשק ב' $\frac{x}{12}$.

שני כדורים רכים - סוכמים את שני המסלולים:

(הסתברות אינה שלילית.) לכן $x=6$.

טעות נפוצה: לשכוח את ההסתברות $\frac12$ של בחירת השק ולכתוב $0.16+\left(\frac{x}{12}\right)^2=0.205$; מקבלים $x=12\sqrt{0.045}\approx2.55$, שאינו מספר שלם של כדורים.

בשק א': רך $0.4$, קשה $0.6$. בשק ב' ($x=6$): רך $0.5$, קשה $0.5$.

שני כדורים מאותו סוג (שניהם רכים או שניהם קשים):

לפי הגדרת ההסתברות המותנית:

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות בכיוון ההפוך, $P(\text{אותו סוג}\mid\text{א'})=0.52$.

בכל פעם מתבצע אותו תהליך, באופן בלתי תלוי. נחשב קודם את ההסתברות ש"בפעם אחת הוציאה רק כדורים קשים":

עכשיו זה ניסוי ברנולי: 4 חזרות, "הצלחה" = שני כדורים קשים, בהסתברות $p=0.305$. בדיוק 2 הצלחות:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom42=6$ (את מספר הסידורים של שתי ההצלחות בין 4 הפעמים) ולקבל $0.305^2\cdot0.695^2\approx0.0449$.

לכל פעם יש שלוש תוצאות אפשריות: שני רכים ($\frac{41}{200}=0.205$), שני קשים ($0.305$), או כדור אחד מכל סוג ($1-0.205-0.305=0.49$).

סידור מסוים, למשל "קשים, קשים, רכים, רכים", מתקבל בהסתברות $0.305^2\cdot0.205^2$.

מספר הסידורים של 2 פעמים "קשים" ו-2 פעמים "רכים" ב-4 פעמים: $\frac{4!}{2!\cdot2!}=6$ (בוחרים את שתי הפעמים של "קשים", והשאר "רכים").

טעות נפוצה: לחשב רק את ההסתברות של סידור אחד, $0.305^2\cdot0.205^2\approx0.0039$, בלי להכפיל במספר הסידורים.

במשולש $OBC$ הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $OB$ והנקודה $K$ על הצלע $OC$.

$OK=OE$ (נתון, צלעות הדלתון), ו-$OC=OB$ (רדיוסים). לכן:

הישר $EK$ חותך את שוקי הזווית $BOC$ בקטעים פרופורציוניים, ולכן לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס: $EK\parallel BC$.

טעות נפוצה: להסתפק ב-$OK=OE$ ("המשולש $OEK$ שווה-שוקיים, ולכן $EK\parallel BC$") - בלי השוויון $OB=OC$ אין יחס שווה, ואין מקבילות.

ב-$EMKO$ ($MK=ME$, $OK=OE$) האלכסון $OM$ מחבר את שני הקודקודים שבהם נפגשות צלעות שוות, ולכן הוא האלכסון הראשי וחוצה את הזווית $EOK$. $E$ על $OB$ ו-$K$ על $OC$, ולכן $\angle EOK=\angle BOC$ ו:

$\angle BOC$ היא זווית מרכזית ו-$\angle BAC$ היא זווית היקפית, ושתיהן נשענות על הקשת $BC$, ולכן $\angle BOC=2\angle BAC$. מכאן $\angle BOM=\angle BAC$.

הנקודות $A$, $O$, $B$ על ישר אחד (הקוטר), ולכן $\angle BOM$ ו-$\angle BAC$ הן זוויות מתאימות בין הישרים $OM$ ו-$AC$ והחותך $AB$. זוויות מתאימות שוות, ולכן $OM\parallel AC$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle BOC=\angle BAC$ (כאילו שתיהן היקפיות); אז מתקבל $\angle BOM=\frac12\angle BAC$, ואי אפשר להסיק מקבילות.

לפי סעיף א, $EK\parallel BC$, ולכן $\triangle OEK\sim\triangle OBC$ (זווית $O$ משותפת וזוויות מתאימות שוות):

נסמן את הרדיוס ב-$R$: $OK=\frac35R$, ולכן $KC=\frac25R$.

לפי סעיף ב, $OM\parallel AC$, ולכן במשולשים $KOM$ ו-$KCA$: $\angle OKM=\angle CKA$ (קודקודיות) ו-$\angle KOM=\angle KCA$ (מתחלפות). לכן $\triangle KOM\sim\triangle KCA$ ("שעון חול"):

טעות נפוצה: לקחת את יחס הדמיון $\frac{OK}{OC}=\frac35$ במקום $\frac{OK}{KC}$, ולענות $\frac{OM}{AC}=\frac35$.

האלכסון הראשי $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים ($OK=OE$, $MK=ME$, $OM$ משותפת), ולכן $S_{OKM}=\frac S2$.

$\triangle KCA\sim\triangle KOM$ ביחס $\frac{KC}{OK}=\frac23$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

למשולשים $AOK$ ו-$AKC$ יש גובה משותף מ-$A$ לישר $OC$, ולכן יחס השטחים שלהם הוא יחס הבסיסים:

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון $\frac23$ במקום בריבועו; מקבלים $S_{KCA}=\frac S3$, $S_{AOK}=\frac S2$ ו-$S_{AOC}=\frac{5S}{6}$.

במשולש $ABC$ נתון $AB=BC=k$, ולכן הוא שווה-שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות: $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$.

נעביר את הגובה $BM$ לבסיס $AC$. במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $AM=MC=\frac{AC}{2}$.