בגרות במתמטיקה 571 - חורף 2021 מועד נבצרים

יהי $ABCD$ טרפז חסום במעגל, $AB\parallel CD$.

$AB\parallel CD$, ולכן $\sphericalangle A+\sphericalangle D=180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות, החותך $AD$).

$ABCD$ מרובע חסום, ולכן $\sphericalangle B+\sphericalangle D=180^\circ$ (זוויות נגדיות).

מכאן $\sphericalangle A=\sphericalangle B$ - זוויות הבסיס $AB$ שוות, וטרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא שווה שוקיים ($AD=BC$).

טעות נפוצה: להוכיח את המשפט ההפוך - להניח שהטרפז שווה שוקיים ולהראות שסכום הזוויות הנגדיות $180^\circ$; זה מראה שטרפז שווה שוקיים ניתן לחסום, ולא את מה שנדרש.

בסיס: עבור $n=1$: $1^3-1=0$, ו-0 מתחלק ב-6.

הנחה: $k^3-k$ מתחלק ב-6 עבור $k$ טבעי כלשהו.

צעד: נראה ש-$(k+1)^3-(k+1)$ מתחלק ב-6.

$k^3-k$ מתחלק ב-6 לפי ההנחה. $k(k+1)$ היא מכפלה של שני מספרים עוקבים, ולכן זוגית, ו-$3k(k+1)$ מתחלק ב-6. סכום של שני מספרים שמתחלקים ב-6 מתחלק ב-6.

לפי עקרון האינדוקציה, $n^3-n$ מתחלק ב-6 לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ - מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ובהם תמיד מספר זוגי ומספר שמתחלק ב-3.)

טעות נפוצה: לעצור אחרי "$3k(k+1)$ מתחלק ב-3" - כך מוכיחים רק התחלקות ב-3; צריך גם לנמק ש-$k(k+1)$ זוגי.

$f$ אי-זוגית: $f(-x)=-f(x)$ לכל $x$.

I. $h(-x)=-f(-x)=-\left(-f(x)\right)=f(x)=-h(x)$, ולכן $h$ אי-זוגית. (היא אינה גם זוגית: אז $h\equiv0$ ו-$f\equiv0$, בסתירה לכך ש-$f$ אינה קבועה.)

II. $k(-x)=\left(f(-x)\right)^2=\left(-f(x)\right)^2=\left(f(x)\right)^2=k(x)$, ולכן $k$ זוגית. (אי-זוגית רק אם $k\equiv0$, כלומר $f\equiv0$ - לא ייתכן.)

III. $f$ אי-זוגית ומוגדרת ב-0, ולכן $f(0)=-f(0)$, כלומר $f(0)=0$ ו-$g(0)=4\neq0$ - לכן $g$ אינה אי-זוגית.

אילו $g$ הייתה זוגית: $f(-x)+4=f(x)+4$, כלומר $f(-x)=f(x)$; יחד עם $f(-x)=-f(x)$ נקבל $f(x)=0$ לכל $x$ - סתירה. לכן $g$ לא זוגית ולא אי-זוגית.

טעות נפוצה: ב-I לעצור ב-$h(-x)=f(x)$ ולהסיק שהפונקציה זוגית (כך גם מודפס במפתח) - אבל צריך להשוות ל-$h(x)=-f(x)$, ומתקבל $h(-x)=-h(x)$.

$a>0$, ולכן $x^2+a>0$ לכל $x$: הפונקציה מוגדרת לכל $x$ ואין לה אסימפטוטות אנכיות. זה פוסל את סרטוטים א ו-ד.

הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה - זה פוסל את סרטוט ב.

(בנוסף: $\sqrt{x^2}=|x|$, ולכן $f(x)\to1$ כאשר $x\to\infty$ ו-$f(x)\to-1$ כאשר $x\to-\infty$ - שתי אסימפטוטות אופקיות, כמו בסרטוט ג.)

התשובה: סרטוט ג.

טעות נפוצה: לטעות בסימן במונה הנגזרת ולקבל $f'(x)=-\frac{a}{\left(x^2+a\right)^{\frac32}}<0$, ומכאן לבחור בסרטוט ב (פונקציה יורדת).

נסמן ב-$x$ את מספר הבנים בבית הספר.

מספר הבנים שעוסקים בספורט: $0.8x$.

מספר הבנות גדול פי 1.2 ממספר הבנים שעוסקים בספורט: $1.2\cdot0.8x=0.96x$.

מספר התלמידים: $x+0.96x=1.96x$.

טעות נפוצה: לקרוא "פי 1.2 ממספר הבנים" ולהשמיט את "שעוסקים בספורט" - מקבלים $1.2x$ בנות ו-$P(\text{בן})=\frac{x}{2.2x}=\frac{5}{11}$.

המאורעות בלתי תלויים, ולכן ההסתברות לעסוק בספורט אינה תלויה בכך שנבחר בן:

$P(\text{ספורט}\mid\text{בן})$ היא החלק מבין הבנים שעוסקים בספורט, כלומר $0.8$.

לכן $P(\text{ספורט})=0.8$.

(בדיקה: בספורט $0.8\cdot1.96x=1.568x$ תלמידים, מהם $0.8x$ בנים ו-$0.768x$ בנות - $80\%$ מ-$0.96x$ הבנות, כמו אצל הבנים.)

טעות נפוצה: לחשב את הסתברות החיתוך במקום ההסתברות המבוקשת: $P(\text{בן})\cdot0.8=\frac{25}{49}\cdot0.8=\frac{20}{49}\approx0.41$ - זו ההסתברות לבחור בן שעוסק בספורט.

המאורעות "בן" ו-"ספורט" בלתי תלויים (סעיף ב), ולכן גם ההסתברות להיות בן אינה מושפעת מהידיעה שהתלמיד עוסק בספורט:

$\frac{25}{49}>\frac{24}{49}$, ולכן סביר יותר שהתלמיד שנבחר הוא בן.

(בדרך אחרת: בספורט $0.8x$ בנים ו-$0.768x$ בנות - יותר בנים.)

טעות נפוצה: להשוות את מספר הבנות ($0.96x$) למספר הבנים שעוסקים בספורט ($0.8x$) ולענות "בת" - אבל צריך להשוות בין הבנות שעוסקות בספורט ($0.768x$) לבנים שעוסקים בספורט.

$AD$ משיק למעגל השמאלי ב-$A$, ו-$AB$ מיתר במעגל השמאלי. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני, ולכן:

$CB$ משיק למעגל הימני ב-$B$, ו-$BA$ מיתר במעגל הימני. לכן:

לפי ז.ז.: $\Delta ABC\sim\Delta BDA$, בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow A$ (ומכאן גם $\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABD$).

טעות נפוצה: להפעיל את משפט המשיק והמיתר במעגל הלא נכון - למשל לטעון ש-$\sphericalangle BAD$ שווה לזווית היקפית במעגל הימני; $AD$ משיק למעגל השמאלי, ולכן הזווית ההיקפית צריכה להיות במעגל השמאלי ($\sphericalangle ACB$).

המרובע $ABDE$ חסום במעגל הימני, ולכן $\sphericalangle AED+\sphericalangle ABD=180^\circ$.

$F$, $B$, $D$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle ABF=180^\circ-\sphericalangle ABD=\sphericalangle AED$.

המרובע $ACFB$ חסום במעגל השמאלי, ולכן $\sphericalangle FCA+\sphericalangle ABF=180^\circ$.

מכאן $\sphericalangle FCA+\sphericalangle AED=180^\circ$. הנקודות $C$, $A$, $E$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle FCA=\sphericalangle FCE$ ו-$\sphericalangle AED=\sphericalangle CED$:

טעות נפוצה: לכתוב ש-$\sphericalangle AED=\sphericalangle ABD$ (כאילו הן זוויות היקפיות על אותה קשת) - במרובע החסום $ABDE$ הן זוויות נגדיות, וסכומן $180^\circ$.

מסעיף א(2): $\sphericalangle CED+\sphericalangle FCE=180^\circ$ - אלה זוויות חד-צדדיות בין הישרים $CF$ ו-$ED$ (החותך $CE$), ולכן $CF\parallel ED$.

מהדמיון בסעיף א(1): $\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABD$ (זוויות מתאימות). $\sphericalangle CAB$ ו-$\sphericalangle ABD$ הן זוויות מתחלפות בין הישרים $CE$ ו-$FD$ (החותך $AB$), ולכן $CE\parallel FD$.

במרובע $CEDF$ שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן הוא מקבילית.

טעות נפוצה: להסתפק בזוג אחד של צלעות מקבילות ($CF\parallel ED$ מסעיף א(2)) - כך מוכיחים רק שהמרובע טרפז; צריך גם $CE\parallel FD$, שנובע מהדמיון.

מהדמיון $\Delta ABC\sim\Delta BDA$ (הצלעות המתאימות: $CA\leftrightarrow AB$, $AB\leftrightarrow BD$):

יחס הדמיון: $\frac{CA}{AB}=\frac96=\frac32$. יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לקחת את $\frac{AC}{BD}=\frac94$ כיחס הדמיון ולהעלות בריבוע, ולקבל $\frac{81}{16}$ - אבל $AC$ ו-$BD$ אינן צלעות מתאימות.

מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת החיתוך של חוצי הזוויות של המשולש. לכן $AO$ חוצה את $\sphericalangle DAB=90^\circ$ ו-$BO$ חוצה את $\sphericalangle ABD=\alpha$:

במשולש $AOB$: $\sphericalangle AOB=180^\circ-45^\circ-\frac{\alpha}{2}=135^\circ-\frac{\alpha}{2}$, ו-$\sin\left(135^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin\left(180^\circ-\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\right)=\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)$.

משפט הסינוסים במשולש $AOB$:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$BO$ חוצה את הזווית ולקחת $\sphericalangle OBA=\alpha$; אז $\sphericalangle AOB=135^\circ-\alpha$ ומקבלים בטעות $AO=\frac{a\sin\alpha}{\sin(135^\circ-\alpha)}$.

$BO$ חוצה את $\sphericalangle ABD$, ולכן $\sphericalangle OBD=\frac{\alpha}{2}$.

$\sphericalangle ABC=90^\circ$ (זווית במלבן), ולכן $\sphericalangle DBC=90^\circ-\alpha$.

$BM$ חוצה את $\sphericalangle DBC$ (כי $M$ מרכז המעגל החסום במשולש $BDC$), ולכן $\sphericalangle DBM=\frac{90^\circ-\alpha}{2}=45^\circ-\frac{\alpha}{2}$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\sphericalangle DBC=\alpha$ (בבלבול עם הזוויות המתחלפות $\sphericalangle ABD=\sphericalangle BDC$), ולקבל $\sphericalangle OBM=\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\alpha$.

במשולש $ABD$ הזווית $A$ ישרה, $AB=8$ ו-$AD=BC=6$ (צלעות נגדיות במלבן).

טעות נפוצה: לקחת את היחס ההפוך, $\tan\alpha=\frac{AB}{AD}=\frac86$, ולקבל $\alpha\approx53.13^\circ$ - זו הזווית $\sphericalangle ADB$.

מסעיף א, עם $a=8$ ו-$\frac{\alpha}{2}\approx18.43^\circ$:

את $BM$ מוצאים באותה דרך במשולש $BMC$: $CM$ חוצה את הזווית הישרה $BCD$, ולכן $\sphericalangle MCB=45^\circ$; $\sphericalangle MBC=\frac{90^\circ-\alpha}{2}\approx26.57^\circ$; ולכן $\sphericalangle BMC\approx108.43^\circ$.

הזווית בין $BO$ ל-$BM$ היא $45^\circ$ (סעיף ב):

טעות נפוצה: להציב בנוסחת השטח את $\sin\alpha$ במקום את סינוס הזווית שבין שתי הצלעות: $\frac12\cdot6.325\cdot4.472\cdot0.6\approx8.49$.

נסמן ב-$S_1$ את סכום האיברים במקומות האי-זוגיים ($a_1+a_3+...+a_{2n-1}$) וב-$S_2$ את סכום האיברים במקומות הזוגיים ($a_2+a_4+...+a_{2n}$).

כל איבר במקום זוגי שווה לאיבר שלפניו כפול $q$: $a_2=qa_1$, $a_4=qa_3$, ..., $a_{2n}=qa_{2n-1}$.

לכן סכום האיברים במקומות הזוגיים שווה ל-$q$ כפול סכום האיברים במקומות האי-זוגיים:

סכום הסדרה כולה: $S=S_1+S_2=S_1+qS_1=(1+q)S_1$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $\frac{S_2}{S}=\frac{q}{q+1}$ - השאלה מבקשת את סכום הסדרה חלקי סכום האיברים במקומות הזוגיים.

לפי סעיף א, כל איבר במקום זוגי גדול פי $q$ מהאיבר שלפניו, ולכן $S_2=qS_1$:

נתון שהיחס הזה הוא 5, ולכן $q=5$.

טעות נפוצה: להציב 5 בביטוי של סעיף א, $\frac{q+1}{q}=5$, ולקבל $q=\frac14$ - הביטוי של סעיף א הוא היחס בין הסכום הכולל לסכום הזוגיים, לא בין הזוגיים לאי-זוגיים.

מ-$a_2=a_1q$ ו-$q=5$: $a_1=\frac{5}{5}=1$.

נקבץ את $T$ לזוגות: $T=(a_2-a_1)+(a_4-a_3)+...+(a_{2n}-a_{2n-1})$.

בכל זוג $a_{2k}=5a_{2k-1}$, ולכן $a_{2k}-a_{2k-1}=4a_{2k-1}$:

האיברים $a_1, a_3, a_5, ...$ הם סדרה הנדסית של $n$ איברים, עם איבר ראשון $a_1=1$ ומנה $q^2=25$:

בדיקה עבור $n=1$: $T=a_2-a_1=5-1=4$, ו-$\frac{25-1}{6}=4$.

טעות נפוצה: לסכם את האיברים במקומות האי-זוגיים במנה 5 במקום 25, ולקבל $T=4\cdot\frac{5^n-1}{4}=5^n-1$ - בין שני איברים סמוכים בתת-הסדרה יש שני צעדים של הסדרה המקורית.

$f''$ היא הנגזרת של $f'$, ולכן קוראים מגרף $f'$ איפה הוא עולה ואיפה הוא יורד:

עבור $x<0$ גרף $f'$ יורד, ולכן $f''<0$.

ב-$x=0$ יש ל-$f'$ מינימום (נגיעה בציר), ולכן $f''(0)=0$.

בין $0$ לנקודת המקסימום של $f'$ (נסמן את שיעור ה-$x$ שלה $c$, $0<c<b$) גרף $f'$ עולה, ולכן $f''>0$; ב-$x=c$, $f''=0$.

בין $c$ ל-$b$ גרף $f'$ יורד, ולכן $f''<0$; ב-$x=b$ מינימום של $f'$, ולכן $f''(b)=0$.

עבור $x>b$ גרף $f'$ עולה, ולכן $f''>0$.

הסקיצה: גרף שמגיע מלמטה, חותך את ציר ה-$x$ ב-$0$ כלפי מעלה, חוזר וחותך אותו כלפי מטה ב-$c$, ושוב כלפי מעלה ב-$b$.

טעות נפוצה: להעתיק את הנגיעות של $f'$ ולסרטט את $f''$ אי-שלילית שנוגעת בציר ב-$0$ וב-$b$ - הסימן של $f''$ נקבע לפי העלייה והירידה של $f'$, לא לפי הסימן של $f'$.

לפי הגרף $f'(x)\ge0$ לכל $x$, והיא מתאפסת רק ב-$x=0$ וב-$x=b$ בלי להחליף סימן. לכן $f$ עולה בכל התחום ואין לה נקודות קיצון.

נקודות הפיתול של $f$ הן הנקודות שבהן $f''$ מחליפה סימן (סעיף א), כלומר נקודות הקיצון של $f'$: $x=0$, $x=c$ ו-$x=b$.

ב-$x=0$ וב-$x=b$ גם $f'=0$, ולכן אלה נקודות פיתול עם משיק אופקי.

קעירות (לפי סעיף א): קעורה כלפי מטה עבור $x<0$, כלפי מעלה ב-$0<x<c$, כלפי מטה ב-$c<x<b$ וכלפי מעלה עבור $x>b$.

$f(b)=0$ ו-$f$ עולה, ולכן $f<0$ עבור $x<b$ ו-$f>0$ עבור $x>b$: הגרף עולה, "משתטח" ב-$x=0$ מתחת לציר, ממשיך לעלות ומשתטח שוב בנקודה $(b,0)$ על הציר.

טעות נפוצה: לסמן נקודות קיצון ב-$x=0$ וב-$x=b$ כי שם $f'=0$ - הנגזרת לא מחליפה שם סימן, ולכן אלה נקודות פיתול ולא קיצון.

$g(x)=x^2(x^3-a)^2$ היא מכפלה של שני ריבועים, ולכן $g(x)\ge0$ לכל $x$. היא מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=\sqrt[3]{a}$, ובשתי הנקודות האפס כפול - הגרף נוגע בציר ולא חוצה אותו.

$f'$: אי-שלילית ונוגעת בציר בשתי נקודות - מתאים.

$f''$: לפי סעיף א מחליפה סימן (שלילית עבור $x<0$) - לא מתאים.

$f$: לפי סעיף ב שלילית עבור $x<b$ - לא מתאים.

לכן $g(x)=f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור $g=f$ כי גם $g$ מתאפסת בנקודה ש-$f$ מתאפסת בה - אבל $f$ שלילית משמאל ל-$b$, ו-$g\ge0$ תמיד.

$g=f'$, ונתון $f'(b)=0$ עם $b\neq0$. האפסים של $g$: $x^2=0$ או $x^3-a=0$.

$b\neq0$, ולכן $b^3-a=0$:

טעות נפוצה: להפוך את הקשר ולכתוב $b=a^3$.