בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2021 מועד ב'

$f$ אי-זוגית, ולכן הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית: השטח בין הגרף לציר ה-$x$ בקטע $[-2,0]$ (מעל הציר) שווה לשטח בקטע $[0,2]$ (מתחת לציר). נסמן את השטח הזה ב-$S$.

לכן $\int_{-2}^{0}f(x)dx=S$, $\int_{0}^{2}f(x)dx=-S$, ו-$\int_{-2}^{2}f(x)dx=S+(-S)=0$.

אגף ימין: $0.5\cdot0=0$.

אגף שמאל: $\int_0^2 f(x)dx=-S<0$, כי בקטע $(0,2)$ הגרף מתחת לציר ה-$x$.

$-S\neq0$, ולכן הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להשתמש בכלל של פונקציה זוגית, $\int_0^2 f(x)dx=\frac12\int_{-2}^{2}f(x)dx$, ולקבוע שהטענה נכונה - הכלל הזה נכון רק לפונקציה זוגית; לפונקציה אי-זוגית האינטגרל על קטע סימטרי הוא 0.

לפי א(1): $\int_{-2}^{0}f(x)dx=S$, כאשר $S$ הוא השטח בין הגרף לציר ה-$x$ בקטע $[0,2]$, כלומר $S=\int_0^2|f(x)|dx$.

בקטע $[0,2]$ הגרף נמצא בין הישר $y=-1$ לציר ה-$x$: $-1\le f(x)\le0$, ולכן $0\le|f(x)|\le1$.

לכל מספר $t$ בין 0 ל-1 מתקיים $t^2\le t$. לכן $(f(x))^2=|f(x)|^2\le|f(x)|$, ושוויון רק כאשר $|f(x)|$ שווה 0 או 1 - בנקודות בודדות ($x=0,1,2$).

הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהעלאה בריבוע תמיד מגדילה ($f^2\ge|f|$), ולקבוע שהטענה אינה נכונה - עבור ערכים בין 0 ל-1 הריבוע קטן מהמספר עצמו.

מאורעות בלתי תלויים מקיימים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

$P(A)\cdot P(B)=a\cdot2a=2a^2$.

$P(A\cap B)=2a^2-\frac18$, ולכל $a$ מתקיים $2a^2-\frac18\neq2a^2$.

השוויון לא מתקיים לאף ערך של $a$, ולכן המאורעות תלויים.

טעות נפוצה: לענות שאי אפשר לקבוע כל עוד $a$ לא ידוע - ההפרש בין שני הביטויים הוא $\frac18$ לכל $a$, ולכן התשובה ידועה כבר עכשיו.

משלימים את הטבלה: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=a+2a-\left(2a^2-\frac18\right)=3a-2a^2+\frac18$.

מציבים בנתון: $2a^2-\frac18=5\left(2a^2-3a+\frac78\right)=10a^2-15a+\frac{35}{8}$.

מעבירים אגפים: $8a^2-15a+\frac92=0$, ולאחר כפל ב-2: $16a^2-30a+9=0$.

$a=1.5$ או $a=0.375$. הפתרון $a=1.5$ נפסל, כי אז $P(B)=2a=3>1$.

בדיקה עבור $a=0.375$: $P(A\cap B)=\frac{5}{32}$, $P(\bar A\cap\bar B)=\frac{1}{32}$ (אכן פי 5), ושאר התאים $\frac{7}{32}$ ו-$\frac{19}{32}$ - כולם בין 0 ל-1.

טעות נפוצה: לחשב $P(\bar A\cap\bar B)=1-a-2a$ בלי להחזיר את החיתוך שנספר פעמיים, ולקבל את המשוואה $16a^2+120a-41=0$ ו-$a\approx0.327$.

המכנה: $2x^2-10x+12=2(x^2-5x+6)=2(x-2)(x-3)$, והוא מתאפס ב-$x=2$ וב-$x=3$.

המונה בנקודות אלה: $4a+20-12=4a+8$ ו-$9a+30-12=9a+18$ - שניהם חיוביים כי $a>0$. אין צמצום, ולכן $x=2$ ו-$x=3$ הן אסימפטוטות אנכיות.

מעלות המונה והמכנה שוות (2), ולכן האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $y=\frac a2$.

המלבן תחום בין $x=2$ ל-$x=3$ (רוחב 1) ובין ציר ה-$x$ לישר $y=\frac a2$ (גובה $\frac a2$, חיובי).

$1\cdot\frac a2=2$, ולכן $a=4$.

טעות נפוצה: להפוך את יחס המקדמים ולכתוב אסימפטוטה $y=\frac2a$, ולקבל $\frac2a=2$, כלומר $a=1$.

הגרף של $g(x)=f(x+3)$ הוא הגרף של $f(x)$ מוזז 3 יחידות שמאלה.

האסימפטוטות האנכיות זזות יחד עם הגרף: $x=2-3=-1$ ו-$x=3-3=0$. המרחק ביניהן נשאר 1.

הזזה אופקית לא משנה ערכי $y$, ולכן האסימפטוטה האופקית נשארת $y=\frac a2=2$.

המלבן: רוחב 1 וגובה 2, ושטחו 2 יח"ר - כמו המלבן של $f(x)$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $f(x+3)$ לבין $f(x)+3$, להזיז את האסימפטוטה האופקית ל-$y=5$ ולקבל שטח 5.

קודקודי הכוכב מסודרים על המעגל לפי הסדר $A, B, C, D, E$, וכל קודקוד מחובר לשני הקודקודים שאינם שכניו על המעגל.

הזווית בקודקוד $A$ היא $\sphericalangle CAD$ - זווית היקפית שנשענת על הקשת $CD$ (זו שאינה מכילה את $A$). לכן היא שווה למחצית הקשת $CD$.

באותו אופן: $\sphericalangle B=\sphericalangle DBE$ נשענת על הקשת $DE$, $\sphericalangle C=\sphericalangle ECA$ על הקשת $EA$, $\sphericalangle D=\sphericalangle ADB$ על הקשת $AB$, ו-$\sphericalangle E=\sphericalangle BEC$ על הקשת $BC$.

חמש הקשתות $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$ מכסות את המעגל כולו, כל אחת פעם אחת, ולכן סכומן $360^\circ$.

זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת, ולכן:

טעות נפוצה: להשוות כל זווית לקשת שלה (כמו זווית מרכזית) ולקבל סכום $360^\circ$ - זווית היקפית היא מחצית הקשת.

האיברים במקומות הזוגיים $a_2, a_4, \dots, a_{40}$ הם סדרה הנדסית: האיבר הראשון $a_2=a_1q$, והמנה $\frac{a_4}{a_2}=q^2$.

מספר האיברים: המקומות $2, 4, \dots, 40$ - 20 איברים.

לפי נוסחת הסכום (עבור $q\neq\pm1$):

טעות נפוצה: לספור 40 איברים (עד המקום ה-40) ולקבל $\frac{a_1q(q^{80}-1)}{q^2-1}$.

האיבר הראשון $a_4=a_1q^3$, והמנה $\frac{a_8}{a_4}=q^4$.

מספר האיברים: המקומות $4, 8, \dots, 40$ - 10 איברים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_1q^4$ ולקבל $\frac{a_1q^4(q^{40}-1)}{q^4-1}$ - במקום ה-$n$ החזקה היא $n-1$.

לפי הפרש ריבועים $q^4-1=(q^2-1)(q^2+1)$, ולכן $\frac AB=\frac{q^2+1}{q^2}$.

$\frac{q^2+1}{q^2}=\frac{10}{9}$, כלומר $9q^2+9=10q^2$, ו-$q^2=9$: $q=3$ או $q=-3$.

בסדרה שהמנה שלה שלילית סימני האיברים מתחלפים, והיא אינה עולה. לכן $q=3$ (ואז הסדרה עולה כאשר $a_1>0$).

טעות נפוצה: להשאיר את שני הפתרונות $q=\pm3$ - עבור $q=-3$ הסדרה מתחלפת סימן ואינה עולה.

הכפל בקבוע 3 וההזזה במקום אחד אינם משנים את המנה.

טעות נפוצה: לחשוב שהכפל ב-3 מכפיל גם את המנה, ולענות $3q=9$.

$b_1=3a_2=3a_1q=9a_1$, ולכן האיבר הראשון של הסדרה החדשה הוא $-\frac{1}{b_1}=-\frac{1}{9a_1}$.

המנה של הסדרה החדשה: $\frac{\frac{1}{b_2}}{-\frac{1}{b_1}}=-\frac{b_1}{b_2}=-\frac13$. היא בין $-1$ ל-1, ולכן הסדרה מתכנסת.

טעות נפוצה: להתעלם מהסימנים המתחלפים ולקחת מנה $\frac13$, ולקבל $\frac{-\frac{1}{9a_1}}{\frac23}=-\frac{1}{6a_1}$.

$b_1=9a_1$. שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית אם האמצעי הוא הממוצע של שכניו:

$2a_1=\frac{1}{a_1}+9a_1$, כלומר $-7a_1=\frac{1}{a_1}$, ולאחר כפל ב-$a_1$: $-7a_1^2=1$.

$a_1^2=-\frac17<0$ - אין פתרון. לכן הסדרה אינה יכולה להיות חשבונית.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן ולקבל $7a_1^2=1$, ומכאן "כן, כאשר $a_1=\frac{1}{\sqrt7}$".

שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית אם ריבוע האמצעי שווה למכפלת שכניו:

$a_1^2=\frac{1}{a_1}\cdot9a_1=9$, ולכן $a_1=3$ או $a_1=-3$.

הסדרה $a_n$ עולה עם $q=3$, ולכן $a_1>0$: $a_1=3$.

בדיקה: $\frac13, 3, 27$ - סדרה הנדסית עם מנה 9. לכן ייתכן.

טעות נפוצה: לענות $a_1=\pm3$ - עבור $a_1=-3$ הסדרה $a_n$ (עם $q=3$) יורדת, בניגוד לנתון.

נסמן ב-$p_1$, $p_2$, $p_3$ את ההסתברויות לעבור את המכשול הראשון, את השני (למי שעבר את הראשון) ואת השלישי (למי שעבר את שני הראשונים).

נתון: $p_1p_2=0.28$.

משתתף שעבר את שני המכשולים הראשונים עולה לחצי הגמר בהסתברות $p_3$ ומודח (במכשול השלישי) בהסתברות $1-p_3$.

$1-p_3=3p_3$, ולכן $p_3=0.25$.

ההסתברות לעלות לחצי הגמר: $p_1p_2p_3=0.28\cdot0.25=0.07$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $p_3=3(1-p_3)$, לקבל $p_3=0.75$ ולענות $0.28\cdot0.75=0.21$.

נתון: $p_1(1-p_2)=0.42$, ומהגזע: $p_1p_2=0.28$.

מחברים: $p_1(1-p_2)+p_1p_2=p_1$, ולכן $p_1=0.42+0.28=0.7$ (ומכאן $p_2=\frac{0.28}{0.7}=0.4$).

ההסתברות לא לעבור את המכשול הראשון: $1-0.7=0.3$.

טעות נפוצה: לפרש את 0.42 כהסתברות להיכשל במכשול השני בלי $p_1$ ($1-p_2=0.42$), לקבל $p_2=0.58$, $p_1=\frac{0.28}{0.58}\approx0.483$, ולענות $\approx0.517$.

ידוע שהשלושה עברו את המכשול הראשון, ולכן לכל אחד מהם ההסתברות לעלות לחצי הגמר היא הסתברות מותנית: לעבור את המכשול השני ואת השלישי.

$p_2p_3=0.4\cdot0.25=0.1$.

השלושה בלתי תלויים, ולפי נוסחת ברנולי עם $n=3$, $k=2$, $p=0.1$:

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות $0.07$ (מתחילת התחרות) במקום $0.1$, ולקבל $3\cdot0.07^2\cdot0.93\approx0.0137$.

כאן נקבע מי עולה: עומר וגל עולים, וליאור לא. זה סידור אחד בלבד, ולכן אין מקדם בינומי:

(זה שליש מהתשובה של ג(1): שם יש שלוש אפשרויות לבחור מי השניים.)

טעות נפוצה: לשכוח את הדרישה שליאור לא יעלה ולענות $0.1\cdot0.1=0.01$.

נסמן ב-$O$ את מרכז המעגל.

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: $OE\perp AB$ ו-$OK\perp AD$. גם $\sphericalangle A=90^\circ$ (מלבן).

במרובע $AEOK$ יש שלוש זוויות ישרות, ולכן הוא מלבן; ו-$OE=OK=R$, ולכן הוא ריבוע. מכאן $\sphericalangle EOK=90^\circ$.

$\sphericalangle KCE$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $KE$ שעליה נשענת הזווית המרכזית $\sphericalangle KOE$, ולכן היא מחציתה:

טעות נפוצה: לזהות את $\sphericalangle KCE$ עם הזווית המרכזית ולכתוב $\sphericalangle KCE=90^\circ$ - $C$ נמצאת על המעגל, לא במרכזו, ולכן הזווית היא מחצית הזווית המרכזית.

$\sphericalangle KCE=45^\circ$ לפי סעיף א.

במשולש $KDC$ הזווית $D$ ישרה, ולכן $\sphericalangle DKC=90^\circ-\alpha$.

$KD$ הוא חלק מהמשיק $AD$, ו-$KC$ מיתר. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני, ולכן:

טעות נפוצה: להשוות את $\sphericalangle CEK$ לזווית הנתונה $\alpha$ (במקום ל-$\sphericalangle DKC$, הזווית שבין המשיק למיתר) ולקבל $\sphericalangle CKE=135^\circ-\alpha$.

שלושת הקודקודים $K$, $C$, $E$ נמצאים על המעגל הנתון, ולכן זה המעגל החוסם את המשולש $KCE$, ורדיוסו $R$.

לפי משפט הסינוסים המורחב, כל צלע שווה ל-$2R$ כפול הסינוס של הזווית שמולה:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{a}{\sin\alpha}=R$ במקום $2R$, ולקבל $KE=\frac{\sqrt2}{2}R$.

$AE$ היא צלע של הריבוע $AEOK$ (סעיף א), ולכן $AE=R$.

זווית המלבן ב-$C$ ישרה: $\sphericalangle DCK+\sphericalangle KCE+\sphericalangle ECB=90^\circ$, ולכן $\sphericalangle ECB=90^\circ-\alpha-45^\circ=45^\circ-\alpha$.

במשולש ישר-הזווית $EBC$ ($\sphericalangle B=90^\circ$) הניצב $EB$ מול הזווית $\sphericalangle ECB$:

מאחר ש-$(45^\circ+\alpha)+(45^\circ-\alpha)=90^\circ$, מתקיים $\sin(45^\circ-\alpha)=\cos(45^\circ+\alpha)$, ולפי נוסחת הזווית הכפולה:

טעות נפוצה: לחשב את $EB$ כ-$CE\cos(45^\circ-\alpha)$ (הניצב הסמוך במקום הניצב שמול הזווית), ולקבל $\frac{EB}{AE}=1+\sin2\alpha$.

לפי סעיף ג: $\cos2\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$.

$0^\circ<\alpha<45^\circ$, ולכן $0^\circ<2\alpha<90^\circ$, ובתחום זה הפתרון היחיד הוא $2\alpha=45^\circ$.

טעות נפוצה: לפתור $\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$ (לשכוח את הזווית הכפולה) ולקבל $\alpha=45^\circ$ - ערך שאפילו אינו בתחום הנתון.

הביטוי שבתוך השורש צריך להיות אי-שלילי, והשורש נמצא במכנה ולכן אסור שיתאפס. לכן הביטוי חיובי ממש:

טעות נפוצה: לדרוש רק $x^2-a^2\ge0$ ולכתוב $x\le-a$ או $x\ge a$ - בנקודות $x=\pm a$ המכנה מתאפס.

תחום ההגדרה סימטרי ביחס ל-0: אם $|x|>a$ אז גם $|-x|>a$.

לכן $f$ זוגית (הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$).

טעות נפוצה: לבדוק רק ש-$f(-x)=f(x)$ בנקודה אחת, למשל $f(-2a)=f(2a)$ - דוגמה אינה הוכחה; צריך להראות זאת לכל $x$ בתחום.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($0^2-a^2<0$), ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$ רק כאשר המונה $x^2=0$, כלומר $x=0$ - שוב לא בתחום. לכן אין חיתוך.

טעות נפוצה: לפתור $x^2=0$ ולענות $(0,0)$ בלי לבדוק ש-$x=0$ בתחום ההגדרה.

אנכיות: כאשר $x\to a^+$ (או $x\to-a^-$) המכנה שואף ל-$0^+$ והמונה ל-$a^2>0$, ולכן $f\to\infty$. האסימפטוטות: $x=a$, $x=-a$.