מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך - שאלון 571

לפי כלל הנסיגה עם $n=k$: $a_{k+1}=a_k+3k+3k^2$.

מציבים את ההנחה $a_k=k^3-k+2$:

מפתחים את הביטוי שצריך לקבל: $(k+1)^3-(k+1)+2=k^3+3k^2+3k+1-k-1+2=k^3+3k^2+2k+2$.

שני הביטויים זהים, ולכן $a_{k+1}=(k+1)^3-(k+1)+2$.

טעות נפוצה: לפתח $(k+1)^3=k^3+1$ ולקבל שצריך להגיע ל-$k^3-k+2$, ואז "להסיק" שהטענה אינה נכונה כי $k^3+3k^2+2k+2\neq k^3-k+2$ - הפיתוח הנכון הוא $k^3+3k^2+3k+1$.

הוכחה באינדוקציה צריכה שני שלבים: בסיס (הטענה נכונה עבור $n=1$) ומעבר (אם נכונה עבור $k$, אז גם עבור $k+1$).

בסעיף א(1) הוכח רק שלב המעבר. האיבר הראשון של הסדרה לא נתון, ולכן אין לנו בסיס.

דוגמה נגדית: סדרה עם $a_1=5$ שמקיימת את כלל הנסיגה. כבר $a_1=5\neq1^3-1+2=2$, וגם $a_2=5+3+3=11$ ואילו לפי הנוסחה $2^3-2+2=8$.

(הנוסחה מתקיימת לכל $n$ רק אם $a_1=2$.)

לכן לא נובע שהנוסחה נכונה לכל $n$.

טעות נפוצה: לענות "כן", כי "הוכחנו את שלב המעבר". באותו מעבר בדיוק אפשר "להוכיח" גם $a_n=n^3-n+5$, ושתי הנוסחאות אינן יכולות להתקיים יחד - בלי בסיס אין הוכחה.

$\alpha$ ו-$\beta$ זוויות במשולש, ולכן $2\alpha$ ו-$2\beta$ בין $0^\circ$ ל-$360^\circ$.

סינוסים שווים כאשר הזוויות שוות או משלימות ל-$180^\circ$ (שאר הפתרונות יוצאים מהתחום):

$2\alpha=2\beta$ או $2\alpha=180^\circ-2\beta$

כלומר $\alpha=\beta$ (שווה-שוקיים), או $\alpha+\beta=90^\circ$ (ישר-זווית).

האפשרות השנייה נותנת דוגמה נגדית: $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$, והזווית השלישית $90^\circ$.

בדיקה: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}=\sin120^\circ$ - השוויון מתקיים, אבל לזוויות $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ אין שתי זוויות שוות, ולכן המשולש אינו שווה-שוקיים.

הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לעבור ישר מ-$\sin2\alpha=\sin2\beta$ ל-$2\alpha=2\beta$, ולהסיק שהטענה נכונה - שוכחים את הפתרון $2\alpha=180^\circ-2\beta$.

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה: $DE=\frac12AC$, $EF=\frac12AB$, $DF=\frac12BC$.

לכן ארבעת המשולשים $ADF$, $DBE$, $FEC$ ו-$EFD$ חופפים (צ.צ.צ - בכל אחד צלעות באורכים $\frac12AB$, $\frac12BC$, $\frac12AC$), ושטח כל אחד מהם $\frac14S_{ABC}$.

האלכסון $EF$ מחלק את המקבילית $DFCE$ לשני משולשים: $DFE$ ו-$FCE$. לכן $S_{DFCE}=2\cdot\frac14S_{ABC}=\frac12S_{ABC}$.

הדמות מופיעה במקום אקראי, ולכן ההסתברות היא יחס השטחים:

טעות נפוצה: לראות את המקבילית כ"חלק אחד מתוך ארבעה" ולענות $\frac14$ - היא מורכבת משניים מארבעת המשולשים.

$f$: אינה מוגדרת ב-$x=-1$ וב-$x=-2$ (שתי נקודות אי-הגדרה). עבור $x\neq-1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}$.

ב-$x=-1$ המונה מתאפס גם הוא - נקודת אי-רציפות סליקה ("חור" ב-$(-1,-2)$), לא אסימפטוטה. ב-$x=-2$ המונה $\neq0$ - אסימפטוטה אנכית אחת $x=-2$.

מעלת המונה שווה למעלת המכנה (2), ולכן אסימפטוטה אופקית $y=1$. $f$ מתאימה.

$g$: אינה מוגדרת ב-$x=\pm2$, ובשתיהן המונה $4\neq0$ - שתי אסימפטוטות אנכיות. נפסלת.

$h$: אינה מוגדרת ב-$x=2$ וב-$x=-1$, אבל מעלת המונה (3) גדולה ממעלת המכנה (2), ולכן אין לה אסימפטוטה אופקית. נפסלת.

התשובה: $f(x)$.

טעות נפוצה: להניח שבכל נקודת אי-הגדרה יש אסימפטוטה אנכית, לפסול את $f$ ("שתי אסימפטוטות") ולבחור ב-$g$ - בלי לבדוק שהמונה של $f$ מתאפס ב-$x=-1$.

אלכסוני ריבוע שווים, חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה, ולכן $OD=OC$ ו-$\angle DOC=90^\circ$.

אלכסוני ריבוע חוצים את זוויותיו, ולכן $\angle ODK=\angle OCH=45^\circ$.

$\angle HOK=90^\circ$ (זווית של הריבוע $OEFG$). לכן:

כלומר $\angle DOK=\angle COH$.

לפי ז.צ.ז ($\angle ODK=\angle OCH$, $OD=OC$, $\angle DOK=\angle COH$): $\triangle OKD\cong\triangle OHC$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$OK=OH$ "כי $OEFG$ ריבוע" ולהוכיח בצ.ז.צ - $H$ ו-$K$ אינם קודקודי $OEFG$, ו-$OK=OH$ הוא מסקנה של החפיפה, לא נתון.

$S_{OHCK}=S_{OHC}+S_{OCK}$.

מהחפיפה בסעיף א: $S_{OHC}=S_{OKD}$. לכן $S_{OHCK}=S_{OKD}+S_{OCK}=S_{OCD}$.

האלכסונים מחלקים את הריבוע לארבעה משולשים חופפים ($OA=OB=OC=OD$ והזוויות ב-$O$ ישרות), ולכן $S_{OCD}=\frac14S_{ABCD}$.

היחס: $S_{ABCD}:S_{OHCK}=4:1$.

טעות נפוצה: לבלבל בין המשולש $OCD$ למשולש $BCD$ (חצי ריבוע) ולקבל יחס $2:1$.

$\angle HOK=90^\circ$ - זווית של הריבוע $OEFG$.

$\angle HCK=\angle BCD=90^\circ$ - זווית של הריבוע $ABCD$.

אלה זוויות נגדיות במרובע $OHCK$, וסכומן $180^\circ$. מרובע שבו סכום זוויות נגדיות $180^\circ$ ניתן לחסום במעגל.

טעות נפוצה: לטעון ש-$OHCK$ ריבוע ("כל זוויותיו ישרות") - רק $\angle O$ ו-$\angle C$ ישרות, ו-$\angle OHC$ תלויה במיקום הריבוע $OEFG$.

$S_{ABCD}=64$, ולכן אורך צלע הריבוע $8$.

מהחפיפה בסעיף א: $DK=CH=2$, ולכן $CK=CD-DK=8-2=6$.

$\angle HCK=90^\circ$ היא זווית היקפית במעגל החוסם, ולכן היא נשענת על קוטר: $HK$ קוטר המעגל.

הרדיוס: $R=\frac{HK}{2}=\sqrt{10}$.

טעות נפוצה: להניח $CK=CH=2$ ולקבל $HK=2\sqrt2$ ו-$R=\sqrt2$ - מהחפיפה $DK=CH$, לא $CK=CH$.

$BE$ ו-$CE$ חוצי זוויות הבסיס, ולכן $\angle EBC=\angle ECB=\angle DBE=\alpha$.

במשולש $BEC$ שתי זוויות שוות, ולכן $EB=EC$.

$\angle BED$ זווית חיצונית למשולש $BEC$: $\angle BED=\alpha+\alpha=2\alpha$. לכן במשולש $BDE$: $\angle BDE=180^\circ-\alpha-2\alpha=180^\circ-3\alpha$.

משפט הסינוסים במשולש $BDE$:

משווים לנתון: $\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt3}{2\sin\alpha}$, ולכן $\sin3\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$.

$4\alpha<180^\circ$, ולכן $0^\circ<3\alpha<135^\circ$: $3\alpha=60^\circ$ או $3\alpha=120^\circ$, כלומר $\alpha=20^\circ$ או $\alpha=40^\circ$.

$\angle BAC=180^\circ-4\alpha>90^\circ$ פירושו $\alpha<22.5^\circ$. לכן $\alpha=20^\circ$ (עבור $\alpha=40^\circ$, $\angle BAC=20^\circ$).

טעות נפוצה: לפתור רק $3\alpha=60^\circ$ או לא לבדוק את התנאי, ולהשאיר גם $\alpha=40^\circ$ - שם זווית הראש $20^\circ$, לא קהה.

נסמן $BC=a$. $\angle BAC=180^\circ-80^\circ=100^\circ$.

משפט הסינוסים המורחב: $\frac{a}{\sin100^\circ}=2R$, ולכן $R=\frac{a}{2\sin100^\circ}$.

$E$ מרכז המעגל החסום, ו-$r$ הוא המרחק מ-$E$ ל-$BC$. במשולש שווה-השוקיים $BEC$ הגובה $EM$ ל-$BC$ הוא גם תיכון, ולכן $BM=\frac a2$ ו-$r=EM=\frac a2\tan20^\circ$.

טעות נפוצה: במשפט הסינוסים להשתמש בזווית הבסיס $40^\circ$ במקום בזווית שמול $BC$, ולקבל $\frac{1}{\sin40^\circ\tan20^\circ}\approx4.27$.

$R-r=2$ ו-$R\approx2.79r$, ולכן $1.79r\approx2$:

$AE$ חוצה את זווית הראש, ולכן $\angle EAB=50^\circ$. מ-$E$ מורידים אנך $EN$ לצלע $AB$; $EN=r$ (רדיוס המעגל החסום).

$AE\approx1.46$ ס"מ.

טעות נפוצה: להשתמש בכל זווית הראש, $AE=\frac{r}{\sin100^\circ}\approx1.13$ - $AE$ חוצה את הזווית, והזווית במשולש $AEN$ היא $50^\circ$.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שחניך חובש כובע אדום, $q=1-p$. מספר החובשים מתוך 6 מתפלג בינומית.

מחלקים ב-$p^2q^3$ (שונה מ-0): $20p=\frac{40}{3}q$, כלומר $3p=2q=2-2p$, ולכן $p=\frac25=0.4$.

טעות נפוצה: לשכוח את המקדמים הבינומיים, לפתור $p^3q^3=\frac89p^2q^4$ ולקבל $p=\frac89q$, כלומר $p=\frac{8}{17}\approx0.47$.

"רוב" מתוך 6 פירושו לפחות 4. כלומר לכל היותר 2 חובשים כובע אדום ($X\le2$, כאשר $X$ מספר החובשים):

טעות נפוצה: לכלול גם את המקרה 3 מתוך 6 ("חצי" אינו רוב) ולקבל $P(X\le3)\approx0.8208$.

$A$ - החניך השני חובש כובע אדום; $B$ - לכל היותר 2 חובשים ($P(B)=0.54432$).

$A\cap B$: השני חובש, ומבין 5 האחרים לכל היותר אחד חובש:

טעות נפוצה: לעצור ב-$P(A\cap B)\approx0.1348$ ולא לחלק ב-$P(B)$ - זו ההסתברות ששני הדברים קורים, לא ההסתברות בהינתן הידיעה.

הראשון כבר חובש כובע אדום. כדי שיהיו לכל היותר 2 חובשים, מבין 5 האחרים (בלתי תלויים בראשון) לכל היותר אחד חובש:

טעות נפוצה: לדרוש לכל היותר 2 חובשים מבין 5 האחרים, ולשכוח שהראשון כבר נספר - מקבלים $\approx0.6826$.

$f(-x)=\sin^2(-x)-\sin(-x)=\sin^2x+\sin x$.

למשל $f\left(\frac\pi2\right)=1-1=0$ ואילו $f\left(-\frac\pi2\right)=1+1=2$: $f(-x)\neq f(x)$ וגם $f(-x)\neq-f(x)$. לכן $f$ אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

$\sin\left(x-\frac\pi2\right)=-\cos x$, ולכן $g(x)=(-\cos x)^2-(-\cos x)=\cos^2x+\cos x$.

$g(-x)=\cos^2(-x)+\cos(-x)=\cos^2x+\cos x=g(x)$ (התחום כל הממשיים, סימטרי) - $g$ זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $\sin^2(-x)=-\sin^2x$, לקבל $f(-x)=-\sin^2x+\sin x=-f(x)$ ולהסיק ש-$f$ אי-זוגית - הריבוע מבטל את הסימן.

$g(0)=1+1=2\neq0$, ו-$g$ מקבלת גם ערכים שליליים (למשל $g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac12-\frac{\sqrt2}{2}<0$).

גרף ב עובר דרך הראשית ואינו יורד מתחת לציר ה-$x$, ואילו גרף א חותך את ציר ה-$y$ בנקודה חיובית $A$ ויורד מתחת לציר. לכן גרף א הוא של $g$.

הגרף השני (גרף ב) עובר דרך $(0,0)$: $h(0)=a\sin^20=0$, ואילו $k(0)=a\cos^20=a\neq0$. לכן גרף ב הוא של $h(x)=a\sin^2x$.

טעות נפוצה: לבחור ב-$k(x)=a\cos^2x$ כי גם $g$ בנויה מ-$\cos$ - אבל $k(0)=a\neq0$, וגרף ב עובר בראשית.

$D$ על גרף $h$: $h\left(\frac\pi3\right)=a\sin^2\frac\pi3=a\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34a$.

$\frac34a=\frac34$, ולכן $a=1$.

(בדיקה: $g\left(\frac\pi3\right)=\frac14+\frac12=\frac34$ - $D$ אכן גם על גרף $g$.)

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע, לכתוב $a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34$ ולקבל $a=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.87$.

$A$ - חיתוך עם ציר ה-$y$: $g(0)=1+1=2$, $A(0,2)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $\cos^2x+\cos x=\cos x(\cos x+1)=0$.

$\cos x=0$: $x=\frac\pi2$. $\cos x=-1$: $x=\pi$. (שניהם בתחום $0\le x\le\pi$.)

לפי הסרטוט $B$ קרובה יותר לציר ה-$y$: $B\left(\frac\pi2,0\right)$, $C(\pi,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה ב-$\cos x$ ולקבל רק $\cos x=-1$ - כך הולכת לאיבוד הנקודה $B\left(\frac\pi2,0\right)$.

עם $a=1$: $g(x)-h(x)=\cos^2x-\sin^2x+\cos x=\cos2x+\cos x$.

נקודות החיתוך: $\cos2x+\cos x=2\cos^2x+\cos x-1=(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$, כלומר $x=\pm\frac\pi3$ או $x=\pm\pi$.

השטח המסומן משתרע מ-$x=-\pi$ עד $x=\frac\pi3$, ובו שני חלקים: בין $-\frac\pi3$ ל-$\frac\pi3$ גרף א מעל גרף ב, ובין $-\pi$ ל-$-\frac\pi3$ גרף ב מעל גרף א.

פונקציה קדומה: $G(x)=\frac12\sin2x+\sin x$.

טעות נפוצה: לחשב אינטגרל אחד של $g-h$ מ-$-\pi$ עד $\frac\pi3$ - החלק שבו $g<h$ מתקזז, ומתקבל $\frac{3\sqrt3}{4}\approx1.30$.

$a_{n+2}$ הוא האיבר האמצעי: לפניו $n+1$ איברים ואחריו $n+1$ איברים.

$a_1+a_{2n+3}=a_1+a_1+(2n+2)d=2\left(a_1+(n+1)d\right)=2a_{n+2}$.

לכן $S=\frac{(2n+3)\cdot2a_{n+2}}{2}=(2n+3)\cdot a_{n+2}$.

טעות נפוצה: לחשב את מקום האיבר האמצעי כ-$\frac{2n+3}{2}$ ולכתוב $a_{n+1}$ - במספר אי-זוגי של איברים האמצעי במקום $\frac{2n+3+1}{2}=n+2$.

$S=43a_{n+2}$ ולפי א(1) $S=(2n+3)a_{n+2}$.

$a_{n+2}\neq0$, ולכן מותר לחלק: $2n+3=43$, כלומר $n=20$, ובסדרה 43 איברים.