בגרות במתמטיקה 571 - חורף 2025

נציב $n=2$ בשוויון: באגף שמאל יש איבר אחד, $2\cdot4=8$. באגף ימין: $\frac{2(2+a)\cdot6}{6}=2(2+a)$.

$2(2+a)=8$, ולכן $a=2$.

עבור $a=2$ צריך להוכיח: $8+24+\ldots+n(n+2)=\frac{n(n+2)(n+4)}{6}$ לכל $n$ זוגי.

נכתוב $n=2m$, כאשר $m$ טבעי. האיבר ה-$m$ באגף שמאל הוא $2m(2m+2)$, ונוכיח באינדוקציה על $m$ את הטענה: $8+24+\ldots+2m(2m+2)=\frac{2m(2m+2)(2m+4)}{6}$.

בסיס: עבור $m=1$, אגף שמאל $8$ ואגף ימין $\frac{2\cdot4\cdot6}{6}=8$.

צעד: נניח שהטענה נכונה עבור $m$, ונוכיח עבור $m+1$. במעבר מ-$m$ ל-$m+1$ נוסף לאגף שמאל איבר אחד, $(2m+2)(2m+4)$:

$\frac{2m(2m+2)(2m+4)}{6}+(2m+2)(2m+4)=\frac{(2m+2)(2m+4)}{6}\cdot(2m+6)$,

וזה בדיוק אגף ימין עבור $m+1$. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $m$ טבעי, כלומר השוויון נכון לכל $n$ טבעי זוגי.

(אפשר גם לבצע את הצעד ישירות מ-$n=k$ ל-$n=k+2$; זה אותו חישוב.)

נסמן ב-$A$ הצלחה במבחן הראשון וב-$B$ הצלחה במבחן השני.

$P(A\cap\bar B)=p$, ומספר המצליחים בשניהם גדול פי 4, ולכן $P(A\cap B)=4p$.

$\frac89$ מן המצליחים במבחן השני הצליחו גם בראשון: $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac89$, ולכן $P(B)=\frac{4p}{\frac89}=4.5p$, ו-$P(\bar A\cap B)=4.5p-4p=0.5p$.

$P(A\cup B)=p+4p+0.5p=5.5p$.

$P(A\cap B\mid A\cup B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}=\frac{4p}{5.5p}=\frac8{11}$.

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$: הביטוי שבשורש חייב להיות חיובי (הוא במכנה): $x^2-1>0$, כלומר $x<-1$ או $x>1$.

$g(x)=\frac{\sqrt x}{x^2-1}$: צריך $x\ge0$ וגם $x^2-1\ne0$, כלומר $x\ge0$, $x\ne1$.

$h(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$: צריך $\frac{x}{(x-1)(x+1)}\ge0$ ו-$x\ne\pm1$. בשיטת התחומים: המנה חיובית ב-$-1<x<0$ וב-$x>1$, ומתאפסת ב-$x=0$. לכן $-1<x\le0$ או $x>1$.

$f(x)$ מוגדרת רק ב-$|x|>1$, שלילית ב-$x<-1$ וחיובית ב-$x>1$, ויש לה אסימפטוטות אופקיות $y=1$ ו-$y=-1$. רק גרף 3 מתאים.

$g(x)$ מוגדרת רק ב-$x\ge0$, $x\ne1$, עוברת בראשית ויש לה אסימפטוטה אנכית $x=1$. רק גרף 1 מתאים.

$h(x)$ היא שורש ולכן אינה שלילית, ותחום ההגדרה שלה $-1<x\le0$ או $x>1$. גרף 4 מקבל ערכים שליליים ב-$x>1$, ולכן הגרף של $h$ הוא גרף 5.

$f$ אי-זוגית ויש לה מינימום יחיד $(3,-6)$, ולכן יש לה מקסימום יחיד $(-3,6)$. מכאן $f'(x)=0$ רק ב-$x=\pm3$.

$f$ עולה ב-$x<-3$ וב-$x>3$, ולכן שם $f'(x)>0$; $f$ יורדת ב-$-3<x<3$, ולכן שם $f'(x)<0$.

הנגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית, ולכן הגרף של $f'$ סימטרי לציר ה-$y$. נתון ש-$y=0$ אסימפטוטה אופקית של $f'$, ולכן $f'\to0$ כאשר $x\to\pm\infty$.

$g(x)=0$ כאשר $f(x)=0$ או $f'(x)=0$.

$f'(x)=0$ ב-$x=\pm3$ (סעיף ד(1)). $f$ אי-זוגית ומוגדרת ב-$0$, ולכן $f(0)=0$. ב-$x>0$ הפונקציה יורדת מ-$0$ ל-$-6$ ואחר כך עולה ושואפת ל-$0$ בלי להגיע אליו, ולכן $f<0$ שם; מהסימטריה $f>0$ ב-$x<0$. לכן $f$ מתאפסת רק ב-$x=0$.

נקודות החיתוך: $(-3,0)$, $(0,0)$, $(3,0)$.

לפי כלל השרשרת $\left(\frac{f^3(x)}{3}\right)'=\frac{3f^2(x)\cdot f'(x)}{3}=f^2(x)\cdot f'(x)=g(x)$, כלומר $\frac{f^3(x)}{3}$ היא פונקציה קדומה של $g$.

ב-$-3\le x\le3$ מתקיים $f^2(x)\ge0$ ו-$f'(x)\le0$, ולכן $g(x)\le0$. מחוץ לתחום הזה $g>0$ ושואפת ל-$0$, ושם אין שטח סגור. השטח המוגבל הוא בין $x=-3$ ל-$x=3$:

$S=-\int_{-3}^{3}g(x)\,dx=-\left[\frac{f^3(x)}{3}\right]_{-3}^{3}=-\left(\frac{(-6)^3}{3}-\frac{6^3}{3}\right)=-(-72-72)=144$.

$m-4$ האיברים הראשונים הם $a_1,a_2,\ldots,a_{m-4}$, ו-$m-4$ האיברים האחרונים הם $a_5,a_6,\ldots,a_m$.

כל איבר בקבוצה השנייה רחוק 4 מקומות מהאיבר המתאים בקבוצה הראשונה: $a_5=a_1q^4$, $a_6=a_2q^4$, ..., $a_m=a_{m-4}q^4$. לכן

לפי הנתון היחס בין הסכומים הוא 16, ולכן $q^4=16$, כלומר $q=2$ או $q=-2$.

אם $q=-2$, האיברים מחליפים סימן, ואז לא כל האיברים שליליים. לכן $q=2$.

טעות נפוצה: לבחור $q=-2$ "כי האיברים שליליים" - הסימן של האיברים נקבע לפי $a_1$; מנה שלילית דווקא גורמת להחלפת סימנים.

(כל האיברים שליליים.) לכן כל איבר קטן מקודמו - הסדרה יורדת.

למשל, אם $a_1=-1$: $-1,-2,-4,\ldots$

טעות נפוצה: לענות "עולה" כי $q=2>1$ - מנה גדולה מ-1 נותנת סדרה עולה רק כשהאיברים חיוביים; כאן הערך המוחלט גדל והאיברים יורדים.

צריך להראות שהמנה בין שני איברים עוקבים קבועה (לא תלויה ב-$n$). $b_n\ne0$ כי $k\ne0$.

המנה קבועה, ולכן B סדרה הנדסית שמנתה $q_B=\frac k2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ במקום $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ ולקבל מנה $2k$.

סכום של סדרה הנדסית אין-סופית מתכנס כאשר $|q_B|<1$ (ו-$q_B\ne0$):

נתון $k\ne0$, ולכן: $-2<k<2$, $k\ne0$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac k2<1$ בלי ערך מוחלט, ולקבל $k<2$ - גם $k=-5$, למשל, נותן מנה $-2.5$ וסכום שאינו מתכנס.

$q_B=\frac k2=\frac14$, ולכן $k=\frac12$ (בתחום שמצאנו בסעיף ג).

סכום סדרה הנדסית אין-סופית: $S=\frac{b_1}{1-q_B}$:

טעות נפוצה: לכתוב $S=\frac{b_1}{1+q}$ ולקבל $b_1=-3\cdot\frac54=-3.75$.

האיברים שנמחקו, $b_3,b_6,b_9,\ldots$, הם סדרה הנדסית אין-סופית: האיבר הראשון $b_3=b_1q_B^2$, ובין כל שניים מהם 3 מקומות, ולכן המנה $q_B^3$.

סכום הנותרים = סכום הסדרה כולה פחות סכום הנמחקים:

טעות נפוצה: לחשב את סכום הנמחקים עם המנה $q_B=\frac14$ במקום $q_B^3$: $\frac{-9/64}{3/4}=-\frac{3}{16}$, ולקבל $-3+\frac3{16}=-2\frac{13}{16}$.

בונים עץ: בחירת כד ($\frac12$ לכל כד), ואז שתי הוצאות.

כד א': כדור ראשון צהוב בהסתברות $\frac{15}{25}$; אז הוא לא מוחזר, ובכד נשארים 24 כדורים, מהם 14 צהובים. כדור ראשון אדום בהסתברות $\frac{10}{25}$; הוא מוחזר, ולכן ההסתברות לאדום שני שוב $\frac{10}{25}$.

כד ב': כל הכדורים אדומים - שני הכדורים אדומים בהסתברות 1.

טעות נפוצה: להוציא את הכדור הצהוב השני כאילו יש החזרה ($\frac{15}{25}$ במקום $\frac{14}{24}$), ולקבל $\frac{9}{38}$.

בכל פעם יעל בוחרת כד ומוציאה כדור עם החזרה, ולכן הפעמים בלתי תלויות ובעלות אותן הסתברויות.

הסתברות לכדור צהוב בפעם אחת: צריך לבחור בכד א' ולהוציא צהוב:

"6 פעמים בדיוק" = 5 פעמים צהוב ואז אדום בפעם השישית:

טעות נפוצה: להחליף בין ההסתברויות ולחשב $0.7^5\cdot0.3\approx0.0504$ - ההסתברות ש-5 הפעמים הראשונות אדומות, ואז יעל הייתה מפסיקה כבר בפעם הראשונה.

נסמן ב-$x$ את מספר הכדורים שהועברו (כולם אדומים). אחרי ההעברה בכד א' יש $10+x$ אדומים מתוך $25+x$ כדורים, ובכד ב' נשארו רק כדורים אדומים.

הועברו 15 כדורים מכד ב', ובנוסף נשארו בו כדורים (אחרת אי אפשר להוציא ממנו כדור). לכן בכד ב' היו לפחות 16 כדורים, ולא ייתכן שהיו בו 14.

טעות נפוצה: להוסיף את הכדורים שהועברו רק למונה, $\frac{10+x}{25}=\frac58$, לקבל $x=5.625$ (כ-6 כדורים) ולהסיק שייתכן שבכד ב' היו 14 כדורים.

זוג ראשון: $\angle BKA=\angle KCA$ - הזווית בין המשיק $KB$ למיתר $KA$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $KA$ מהצד השני של המיתר.

זוג שני: $KB\parallel CD$, והישר $BD$ חותך את שניהם. $K$ ו-$C$ נמצאים באותו צד של $BD$, ולכן $\angle KBD$ ו-$\angle BDC$ הן זוויות חד-צדדיות:

המרובע $KADC$ חסום במעגל, ולכן סכום כל שתי זוויות נגדיות בו $180^\circ$:

$A$ נמצאת על $BD$, ולכן $\angle ADC=\angle BDC$ ו-$\angle KBA=\angle KBD$. משתי המשוואות: $\angle KBA=\angle AKC$.

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle ABK\sim\triangle AKC$, בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow K$, $K\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בהתאמה $B\leftrightarrow C$ ($\triangle ABK\sim\triangle ACK$) ולהסיק ממנו $\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AK}=1$, כלומר $AB=AC$ - מה שאינו נכון בסרטוט.

נסמן ב-$k$ את יחס הדמיון מסעיף א:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון. את $k^2$ כותבים כמכפלה של שני יחסים שונים:

מצד שני, למשולשים $ABK$ ו-$AKC$ יש בסיס משותף $AK$, ולכן יחס השטחים שלהם הוא יחס הגבהים מ-$B$ ומ-$C$ לישר $AK$. הקטע $BC$ חותך את $AK$ בנקודה $E$; האנכים מ-$B$ ומ-$C$ לישר $AK$ יוצרים שני משולשים ישרי-זווית דומים (זוויות קודקודיות ב-$E$), ולכן הגבהים מתייחסים כמו $BE:CE$:

משני השוויונות: $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$.

טעות נפוצה: לכתוב שיחס השטחים שווה ליחס הדמיון $k=\frac{AB}{AK}$ (ולא לריבועו), ולקבל את הטענה השגויה $\frac{AB}{AK}=\frac{BE}{CE}$.

לפי סעיף ב: $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}=\frac14$, וגם $\frac{AB}{AC}=k^2$. לכן

$k=\frac{AB}{AK}=\frac12$, ולכן $\frac{AK}{AB}=2$.

טעות נפוצה: לשכוח שזה $k^2$ ולקחת $k=\frac14$, ולענות $\frac{AK}{AB}=4$.

האלכסון $AK$ מחלק את המרובע $ABKC$ למשולשים $ABK$ ו-$AKC$, ויחס השטחים שלהם $k^2=\frac14$:

למשולשים $AEB$ ו-$AEC$ יש קודקוד משותף $A$, והבסיסים שלהם $BE$ ו-$EC$ על אותו ישר. לכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

המשולש $AKC$ מורכב מהמשולשים $AEC$ ו-$KEC$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $S_{AEC}=\frac S4$, ולקבל $24-\frac S4$.

מרכז מעגל המשיק לשתי שוקי זווית נמצא על חוצה הזווית, ולכן AO חוצה את הזווית BAC: $\angle OAE=\angle OAB=\beta$.

OE הוא רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $OE\perp AC$ ו-$OE=R$.

במשולש ישר-הזווית AEO: $\sin\beta=\frac{OE}{AO}$, ולכן $AO=\frac{R}{\sin\beta}$.

במשולש AOB הזווית שליד O ישרה (נתון $BO\perp AO$), ולכן AB הוא היתר: $\cos\beta=\frac{AO}{AB}$.

טעות נפוצה: לכתוב במשולש AOB $AB=AO\cos\beta$, כאילו AB ניצב, ולקבל $AB=\frac{R\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{R}{\tan\beta}$ - אבל AB מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר.

מציבים בתוצאה של סעיף א:

בתחום הזוויות של משולש יש שני פתרונות: $2\beta\approx53.13^\circ$ או $2\beta\approx126.87^\circ$. הזווית BAC חדה, ולכן $2\beta\approx53.13^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$2\beta$ ולענות $\beta\approx53.13^\circ$ - זו הזווית BAC כולה, ו-$\beta$ היא מחציתה.

הזווית $2\beta$ חדה, ולכן $\cos2\beta=\sqrt{1-0.8^2}=0.6$, ו-$\tan\beta=\frac{\sin2\beta}{1+\cos2\beta}=\frac{0.8}{1.6}=\frac12$ (בדיקה: $\tan26.565^\circ\approx0.5$).

במשולש ישר-הזווית AEO: $AE=\frac{OE}{\tan\beta}=\frac{R}{0.5}=2R$. נתון $AE=CE$, ולכן $AC=4R$.

במשולש AOB, ישר-הזווית ב-O: $\sin\beta=\frac1{\sqrt5}$, ולכן $AO=\frac{R}{\sin\beta}=\sqrt5R$, ו-$BO=AO\cdot\tan\beta=\frac{\sqrt5}{2}R$.