בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2024 מועד א'

בסיס, $n=1$: אגף שמאל הוא האיבר הראשון, $\frac{5+3}{2}=4$. אגף ימין: $\frac{1\cdot2\cdot12}{6}=4$. השוויון מתקיים.

הנחת האינדוקציה: בעבור $n=k$ מתקיים $4+13+\ldots+\frac{5k^2+3k}{2}=\frac{k(k+1)(5k+7)}{6}$.

צריך להוכיח בעבור $n=k+1$: הסכום שווה ל-$\frac{(k+1)(k+2)(5k+12)}{6}$ (הצבנו $k+1$ במקום $n$: $5(k+1)+7=5k+12$).

האיבר ה-$(k+1)$: $\frac{5(k+1)^2+3(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(5k+8)}{2}$. מוסיפים אותו לשני האגפים של ההנחה ומוציאים $(k+1)$ כגורם משותף:

מפרקים את הטרינום: $5k^2+22k+24=(k+2)(5k+12)$, ולכן הסכום שווה ל-$\frac{(k+1)(k+2)(5k+12)}{6}$ - בדיוק מה שנדרש.

לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף לסכום את האיבר ה-$k$-י, $\frac{5k^2+3k}{2}$, במקום את האיבר ה-$(k+1)$, ולקבל $\frac{k(k+1)(5k+7)}{6}+\frac{k(5k+3)}{2}=\frac{k(5k^2+27k+16)}{6}$ - ביטוי שאינו שווה לאגף הימני הנדרש.

$f''$ היא הנגזרת של $f'$. לכן $f'$ עולה היכן ש-$f''(x)>0$ (הגרף מעל ציר ה-$x$), ויורדת היכן ש-$f''(x)<0$.

לפי הסרטוט: $f''>0$ בתחומים $x<a$ ו-$b<x<d$, ו-$f''<0$ בתחומים $a<x<0$, $0<x<b$ ו-$x>d$.

$x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן תחום הירידה שליד הראשית מתפצל לשני קטעים נפרדים.

עלייה: $x<a$, $b<x<d$. ירידה: $a<x<0$, $0<x<b$, $x>d$.

טעות נפוצה: לקרוא מהסרטוט את העלייה והירידה של $f''$ עצמה במקום את הסימן שלה, ולענות ש-$f'$ עולה ב-$0<x<c$ ויורדת ב-$x<0$ וב-$x>c$.

נקודות קיצון: $h'(x)=0$ כאשר $f''(x)=e$, כלומר בנקודות שבהן הגרף של $f''$ פוגש את הישר $y=e$. קיצון יש רק אם $h'$ מחליפה שם סימן.

ענף ימני ($x>0$): הערך הגדול ביותר של $f''$ הוא $e$, בנקודה $x=c$. לכן $h'=f''-e\le0$ משני צדי $c$ - אין החלפת סימן, ו-$x=c$ אינה נקודת קיצון.

ענף שמאלי ($x<0$): $f''$ יורדת, מתחילה (בסרטוט) מעל הגובה $e$ ויורדת אל מתחת לציר ה-$x$. לכן היא חוצה את הישר $y=e$ בדיוק פעם אחת, בנקודה $x=p<a$. משמאל ל-$p$: $h'>0$, מימין: $h'<0$ - מקסימום.

כלומר ל-$h$ נקודת קיצון אחת.

נקודות פיתול: $h''(x)=f'''(x)$, כלומר סימן $h''$ נקבע לפי העלייה והירידה של $f''$. בענף השמאלי $f''$ יורדת כל הזמן ($h''<0$, אין החלפה). בענף הימני $f''$ עולה עד $x=c$ ויורדת אחריה - $h''$ מחליפה סימן ב-$x=c$, ו-$h$ מוגדרת שם.

לכן ל-$h$ נקודת פיתול אחת, ב-$x=c$.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$x=c$ היא נקודת קיצון כי $h'(c)=0$, ולענות שיש שתי נקודות קיצון - ב-$x=c$ הנגזרת $h'$ אינה מחליפה סימן.

$f(x)+m$ הוא הזזה של הגרף של $f$ ב-$m$ יחידות כלפי מעלה. נקודת המינימום עוברת ל-$(0,m-3)$, ומאחר ש-$m<2$, $m-3<0$ - המינימום נשאר מתחת לציר ה-$x$.

הערך המוחלט משקף כלפי מעלה את החלק של הגרף שמתחת לציר ה-$x$. המינימום השלילי $(0,m-3)$ הופך לנקודה $(0,3-m)$, שמשני צדיה הגרף יורד אל נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ - נקודת מקסימום.

משני צדי נקודות החיתוך הגרף עולה לאינסוף, ולכן זו נקודת מקסימום מקומית (היחידה).

התשובה: $(0,3-m)$.

טעות נפוצה: לשכוח לשקף את החלק השלילי ולכתוב ש-$(0,m-3)$ היא נקודת מינימום של $g$, ושאין ל-$g$ נקודת מקסימום.

קודם $|f(x)|$: החלק של $f$ שבין $x=-5$ ל-$x=5$ (מתחת לציר) משתקף כלפי מעלה. המינימום $(0,-3)$ הופך למקסימום $(0,3)$, ובנקודות החיתוך $(\pm5,0)$ נוצרות נקודות מינימום (״שפיץ״).

אחר כך $+m$: הזזה של כל הגרף ב-$m$ כלפי מעלה.

מינימום: $(-5,m)$ ו-$(5,m)$. מקסימום: $(0,3+m)$.

טעות נפוצה: לא לזהות את נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ כנקודות קיצון של $|f|$, ולענות שיש ל-$h$ רק נקודת מקסימום $(0,3+m)$.

I. $g(x)=0$ כאשר $f(x)=-m$. מאחר ש-$-3<-m<0$, הישר $y=-m$ חותך את גרף $f$ בשתי נקודות, ובהן $g=0$ - $g$ אינה חיובית לכל $x$. (לעומתה $h(x)\ge m>0$.) הטענה אינה נכונה.

II. ערכי $h$: מינימום $m$ (ב-$x=\pm5$), מקסימום מקומי $3+m$ (ב-$x=0$), ובקצוות $h\to\infty$.

מתקיים $m<m+\frac12<m+3$, ולכן הישר חותך את $h$ בארבע נקודות: שתיים בין נקודות המינימום לנקודת המקסימום, ועוד שתיים בענפים החיצוניים. הטענה אינה נכונה.

(גם ב-$g$ מספר נקודות החיתוך תלוי ב-$m$: 4 נקודות כש-$m<1.25$, 3 כש-$m=1.25$ ו-2 כש-$m>1.25$.)

טעות נפוצה: לחשוב ש-$g$ חיובית ״כי היא ערך מוחלט״, ולקבוע שטענה I נכונה - ערך מוחלט יכול להתאפס.

$AD$ קוטר, ולכן $\angle ACD=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

נתון $FB\perp FA$, ולכן $\angle AFB=90^\circ$.

$F$ על המשך הצלע $CB$, ולכן $\angle ABF=180^\circ-\angle ABC$. במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$: $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$. לכן $\angle ABF=\angle ADC$.

לפי משפט הדמיון ז.ז: $\triangle ACD\sim\triangle AFB$, בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow F$, $D\leftrightarrow B$.

טעות נפוצה: להתאים $C\leftrightarrow B$ ו-$D\leftrightarrow F$ (לפי סדר האותיות בציור) - ואז בסעיף הבא לחשב את היחס $\frac{AD}{AF}$ במקום $\frac{AD}{AB}$.

לפי ההתאמה בסעיף הקודם, היתר $AD$ (מול הזווית הישרה $C$) מתאים ליתר $AB$ (מול הזווית הישרה $F$). יחס הדמיון הוא $\frac{AD}{AB}$.

$\angle ABD=90^\circ$ (נשענת על הקוטר $AD$). במשולש ישר הזווית $ABD$: $AB=AD\sin\angle ADB=AD\sin24^\circ$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע ולענות $\frac{1}{\sin24^\circ}\approx2.459$ - זה יחס הצלעות, לא יחס השטחים.

האיבר הכללי של A: $a_n=q^{n-1}$, ולכן $b_n=a_n\cdot a_{n+2}=q^{n-1}\cdot q^{n+1}=q^{2n}$.

המנה קבועה (לא תלויה ב-$n$), ולכן B סדרה הנדסית שמנתה $q^2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ - שני הגורמים במכפלה מתקדמים במקום אחד, ולכן מתקבלת המנה פעמיים: $q\cdot q$.

I. $q<0$, ולכן הסימנים של איברי A מתחלפים: $a_1=1>0$, $a_2=q<0$, $a_3=q^2>0$. הסדרה עולה ויורדת לסירוגין - לא עולה ולא יורדת. נכונה.

II. $b_1=q^2>0$ והמנה $q^2$ מקיימת $0<q^2<1$. כל האיברים חיוביים וכל איבר קטן מקודמו - B יורדת. לא נכונה.

III. האיברים במקומות הזוגיים: $q,q^3,q^5,\ldots$ - סדרה הנדסית שמנתה $q^2$ ואיבריה שליליים. הערך המוחלט שלהם קטן, כלומר הם מתקרבים ל-0 מלמטה: $q^3-q=q(q^2-1)>0$ (שני הגורמים שליליים). הסדרה עולה. נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע בטענה III ש״מנה בין 0 ל-1 פירושה סדרה יורדת״ ולענות שהטענה לא נכונה - זה נכון רק כשהאיברים חיוביים.

$b_1=q^2$ והמנה $q^2<1$, ולכן הסכום האינסופי קיים:

$q=\pm\frac13$, ולפי הנתון $-1<q<0$, ולכן $q=-\frac13$.

טעות נפוצה: לבחור $q=\frac13$ ולשכוח שלפי הנתון המנה שלילית.

$c_n=\frac{a_n}{a_n\cdot a_{n+2}}=\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{1}{q^{n+1}}=(-3)^{n+1}$.

C הנדסית עם מנה $-3$, ו-$c_3=(-3)^4=81$. בסכום $c_3+\ldots+c_m$ יש $m-2$ איברים:

$-2187=(-3)^7$, ולכן $m-2=7$, $m=9$.

טעות נפוצה: לספור $m-3$ איברים (״מ-3 עד $m$״), להגיע ל-$(-3)^{m-3}=-2187$ ולענות $m=10$.

המאורע ״לכל היותר 4 תשובות נכונות״ הוא המשלים של ״5 תשובות נכונות״:

טעות נפוצה: לבלבל בין ״לכל היותר 4״ לבין ״כל 5״ ולפתור $P^5=0.67232$, ולקבל $P\approx0.924$.

5 ניסויים בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה 0.8 - נוסחת ברנולי:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom53$ ולענות $0.8^3\cdot0.2^2=0.02048$ - זו ההסתברות לסידור מסוים אחד בלבד.

הניקוד המרבי הוא $1+2+3+4+5=15$. 14 נקודות לפחות: 15 (כל השאלות נכונות) או 14 (כל השאלות חוץ משאלה 1 - רק החסרת שאלה 1 מורידה נקודה אחת).

טעות נפוצה: לתרגם ״14 לפחות״ ל״4 תשובות נכונות לפחות״ ולחשב $0.8^5+5\cdot0.2\cdot0.8^4=0.73728$ - החסרה של שאלה אחרת משאלה 1 נותנת פחות מ-14 נקודות.

מונים את כל קבוצות השאלות שסכום מספריהן 6: $\{1,5\}$, $\{2,4\}$, $\{1,2,3\}$.

בכל קבוצה של שתי שאלות - 2 נכונות ו-3 שגויות: $0.8^2\cdot0.2^3=0.00512$. בקבוצה של שלוש שאלות: $0.8^3\cdot0.2^2=0.02048$.

טעות נפוצה: לשכוח את הצירוף $\{1,2,3\}$ ולמנות רק זוגות שאלות, ולקבל $0.01024$.

בהינתן שהיו בדיוק 3 תשובות נכונות, כל אחת מ-$\binom53=10$ השלשות האפשריות של שאלות נכונות שוות הסתברות (לכל אחת הסתברות $0.8^3\cdot0.2^2$).

6 נקודות עם 3 שאלות נכונות - רק השלשה $\{1,2,3\}$. לכן ההסתברות $\frac{1}{10}$.

בחישוב: $\frac{P(\text{3 נכונות וגם 6 נקודות})}{P(\text{3 נכונות})}=\frac{0.02048}{0.2048}=0.1$.

טעות נפוצה: לחלק את התשובה של ד בתשובה של ב, $\frac{0.03072}{0.2048}=0.15$ - במונה צריך רק את הדרכים לצבור 6 נקודות עם 3 תשובות נכונות.

$AB=CB$, ולכן במשולש $ABC$ זוויות הבסיס שוות: $\angle BAC=\angle BCA$.

$\angle EBC$ היא זווית חיצונית למשולש $ABC$ (כי $E$ על המשך $AB$), ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה: $\angle EBC=\angle BAC+\angle BCA=2\angle BAC$.

$\angle BAC=\angle BDC$ - זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $BC$.

לכן $\angle EBC=2\angle BDC$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle EBC=180^\circ-2\angle BAC$ לפי סכום הזוויות במשולש - זו הזווית $\angle ABC$, הצמודה ל-$\angle EBC$.

נסמן $x=\angle BDC$. לפי א: $\angle BAC=\angle BCA=x$.

$\angle BCE$ היא זווית בין המשיק $CE$ למיתר $CB$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $BC$: $\angle BCE=\angle BAC=x$.

$\angle ACE=\angle ACB+\angle BCE=2x$, ו-$AC$ חוצה את $\angle ECD$, ולכן $\angle ACD=2x$.

$\angle ADB=\angle ACB=x$ (זוויות היקפיות על הקשת $AB$), ולכן $\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=2x$.

במשולש $ACD$: $\angle ACD=\angle ADC$, ולכן $AC=AD$ (מול זוויות שוות צלעות שוות).

טעות נפוצה: לזהות את הזווית בין המשיק $CE$ למיתר $CB$ עם $\angle CAD$ - הזווית ההיקפית המתאימה נשענת על הקשת $BC$, כלומר $\angle BAC$.

במשולש $CFD$: $\angle FCD=\angle ACD=2x$, $\angle FDC=\angle BDC=x$, ולכן $\angle CFD=180^\circ-3x$.

לפי משפט הסינוסים: $\frac{CD}{CF}=\frac{\sin(180^\circ-3x)}{\sin x}=\frac{\sin3x}{\sin x}$.

$\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=\sin x\,(2\cos^2x+\cos2x)$, ולכן $\frac{\sin3x}{\sin x}=2\cos^2x+\cos2x=1+2\cos2x$.

במשולש $ACD$: $\angle CAD=180^\circ-4x$. לפי משפט הסינוסים:

טעות נפוצה: להפוך את משפט הסינוסים ולכתוב $\frac{AD}{CD}=\frac{\sin4x}{\sin2x}=2\cos2x=\frac35$ - כל צלע מתאימה לסינוס של הזווית שמולה.

נסמן $CD=3t$. לפי ב(1)-ב(2): $AC=AD=5t$. לפי הנתון $CF=\frac58CD=\frac{15}{8}t$, ולכן $AF=5t-\frac{15}{8}t=\frac{25}{8}t$.

למשולשים $ABF$ ו-$CBF$ גובה משותף מ-$B$ לישר $AC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

טעות נפוצה: לחלק את $AF$ בכל האלכסון $AC$ במקום ב-$FC$, ולענות $\frac{AF}{AC}=\frac58$.

לפי ב(3): $S_{CBF}=\frac35S$, ולכן $S_{ABC}=S+\frac35S=\frac85S$.

המשולשים $EBC$ ו-$ECA$ דומים: הזווית $E$ משותפת, ו-$\angle ECB=\angle EAC=x$ (משיק ומיתר). יחס הדמיון $\frac{BC}{CA}$.

במשולש $ABC$ (זוויות $x$, $x$, $180^\circ-2x$): $\frac{BC}{AC}=\frac{\sin x}{\sin2x}=\frac{1}{2\cos x}$, ו-$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{13}{20}$.

$S_{ABC}=S_{ECA}-S_{EBC}=\frac{8}{13}S_{ECA}$, ולכן $S_{AEC}=\frac{13}{8}\cdot\frac85S=\frac{13}{5}S$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס מ-ב(3) ולקחת $S_{CBF}=\frac53S$, ואז $S_{ABC}=\frac83S$ ו-$S_{AEC}=\frac{13}{3}S$.

במשולש $ABP$: $\angle APB=180^\circ-\alpha-\beta$, ולכן $\sin\angle APB=\sin(\alpha+\beta)$.

משפט הסינוסים במשולש $ABP$ (כל צלע מול הזווית שמולה: $AP$ מול $\beta$, $BP$ מול $\alpha$, $AB$ מול $\angle APB$):