בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2025 מועד ב'

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $\frac23$, אגף ימין $2-\frac43=\frac23$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac23+\ldots+\frac{4k-2}{3^k}=2-\frac{2k+2}{3^k}$.

שלב הצעד: נוכיח עבור $n=k+1$. האיבר הבא בסכום הוא $\frac{4(k+1)-2}{3^{k+1}}=\frac{4k+2}{3^{k+1}}$, ולכן לפי ההנחה:

מביאים למכנה משותף $3^{k+1}$ (מרחיבים את השבר הראשון פי 3):

זו בדיוק הטענה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף בצעד את האיבר $\frac{4k-2}{3^{k+1}}$ (להחליף רק את המכנה) - מקבלים $2-\frac{2k+8}{3^{k+1}}$, ומסיקים בטעות שהצעד נכשל.

$\angle AMB=\angle EMD=\alpha$ (זוויות קודקודיות: הישרים AD ו-BE נחתכים ב-M).

במשולש EDM ($\angle EDM=90^\circ$, EM יתר): $DM=EM\cdot\cos\alpha$, ולכן $EM=\frac{DM}{\cos\alpha}$.

במשולש ABM ($\angle ABM=90^\circ$, AM יתר): $BM=AM\cdot\cos\alpha$.

נתון $EM=BM$:

$\alpha$ זווית חדה, ולכן $\cos\alpha=\sqrt{0.4}\approx0.632$ ו-$\alpha\approx50.77^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולפתור $\cos\alpha=0.4$ - מקבלים $\alpha\approx66.42^\circ$.

$BC\parallel MD$ (כי $BC\parallel AD$) ו-$CD\parallel BM$ (כי $CD\parallel BE$), ולכן BCDM מקבילית ו-$BC=DM=6$.

$AM=2.5\cdot6=15$, ולכן הבסיס הגדול: $AD=AM+DM=21$.

$BM=AM\cos\alpha=15\sqrt{0.4}\approx9.487$.

הגובה של הטרפז הוא המרחק של B מהישר AD: במשולש ישר-הזווית שיוצר האנך מ-B עם היתר BM והזווית $\alpha$ ב-M:

טעות נפוצה: לקחת את AM כבסיס הגדול ($AD=15$) - מקבלים $\frac{15+6}{2}\cdot7.348\approx77.2$.

נקודות האפס: ל-$f$ - $x=0$ ו-$x=1$; ל-$g$ - $x=0$ ו-$x=-1$. גרף שחותך את הציר גם בצד החיובי מתאר את $f$, וגרף שחותך גם בצד השלילי - את $g$.

ליד $x=0$ (שורש מריבוי $n$): כאשר $n$ זוגי $x^n\ge0$ ואינו מחליף סימן - הגרף נוגע בציר בראשית (קיצון). כאשר $n$ אי-זוגי ($n\ge3$) $x^n$ מחליף סימן אבל הנגזרת מתאפסת - הגרף חוצה את הציר בראשית ונעשה שם אופקי (נקודת פיתול).

באינסוף: המעלה היא $n+1$ והמקדם המוביל 1. כאשר $n$ אי-זוגי המעלה זוגית ושני הקצוות שואפים ל-$+\infty$; כאשר $n$ זוגי המעלה אי-זוגית - משמאל $-\infty$ ומימין $+\infty$.

גרף I: שני הקצוות למעלה, שטוח בראשית, האפס השני בצד החיובי - $f(x)$, $n$ אי-זוגי.

גרף II: שני הקצוות למעלה, שטוח בראשית, האפס השני בצד השלילי - $g(x)$, $n$ אי-זוגי.

גרף III: מתחיל ב-$-\infty$, נוגע בראשית, האפס השני בצד השלילי - $g(x)$, $n$ זוגי.

גרף IV: מתחיל ב-$-\infty$, נוגע בראשית, האפס השני בצד החיובי - $f(x)$, $n$ זוגי.

טעות נפוצה: לקבוע את הקצוות לפי $n$ במקום לפי המעלה $n+1$ - לחשוב שכאשר $n$ זוגי שני הקצוות למעלה (כמו ב-$x^n$), ולשייך את גרף I ל-$f(x)$ עם $n$ זוגי.

עבור $n=2$: $g(x)=x^2(x+1)=x^3+x^2$, ואפסיה $x=-1$ ו-$x=0$ (גרף III).

בקטע $-1\le x\le0$: $x^2\ge0$ ו-$x+1\ge0$, ולכן $g(x)\ge0$, והשטח שווה לאינטגרל:

טעות נפוצה: לחשב את האינטגרל בקטע $0\le x\le1$ (כאילו האפס השני הוא 1, כמו ב-$f$) - מקבלים $\frac14+\frac13=\frac7{12}$.

לפי המשפט היסודי $g'(x)=f(x)$: $g$ עולה כאשר $f>0$ ויורדת כאשר $f<0$.

לפי הסרטוט, בתחום $x\ge0$: $f<0$ ב-$0<x<1$; $f>0$ ב-$1<x<2.7$ וב-$2.7<x<4.5$; $f<0$ ב-$x>4.5$.

$x=1$: $g'$ עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

$x=2.7$: $f$ נוגעת בציר ואינה מחליפה סימן - $g$ ממשיכה לעלות, אין קיצון.

$x=4.5$: $g'$ עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום.

$x=0$ הוא קצה התחום, ומיד אחריו $g$ יורדת - מקסימום בקצה ($g(0)=0$).

טעות נפוצה: לסמן גם את $x=2.7$ כנקודת קיצון של $g$ (כי $f(2.7)=0$) - שם $g'$ מתאפסת בלי להחליף סימן, וזו נקודת פיתול של $g$, לא קיצון.

נסמן ב-$S_1$ את השטח בתחום $0\le x\le1$ (שם $f<0$), וב-$S_3$ את השטח בתחום $2.7\le x\le4.5$ (שם $f\ge0$).

האינטגרל סופר שטח שמתחת לציר בסימן שלילי:

השטח הכולל הוא סכום השטחים (כולם חיוביים):

טעות נפוצה: לענות שהשטח הוא $g(4.5)=3S$ - האינטגרל מ-0 עד 4.5 מקזז את השטח שמתחת לציר במקום להוסיף אותו.

הסדרה עולה, ולכן לכל $n$: $a_{n+1}-a_n>0$.

$a_{n+1}-a_n=a_nq-a_n=a_n(q-1)$.

$0<q<1$, ולכן $q-1<0$. המכפלה $a_n(q-1)$ חיובית רק אם $a_n<0$.

לכן כל איברי הסדרה שליליים. (לדוגמה: $-8,-4,-2,\ldots$ - סדרה עולה עם $q=\frac12$.)

טעות נפוצה: להסיק "הסדרה עולה, ולכן איבריה חיוביים" - סדרה הנדסית עם $0<q<1$ ואיברים חיוביים דווקא יורדת.

$a_n=a_1q^{n-1}$ ו-$b_n=b_1q^{n-1}$, ולכן:

$c_n\neq0$, ולכן $2b_1-a_1\neq0$, ולכל $n$:

המנה קבועה, ולכן $c_n$ סדרה הנדסית עם איבר ראשון $c_1=2b_1-a_1$ ומנה $q$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמנה של $2b_n$ היא $2q$ (להכפיל גם את המנה), ולהסיק בטעות ש-$c_n$ אינה סדרה הנדסית. הכפלה של כל האיברים ב-2 משנה רק את האיבר הראשון.

לשלוש הסדרות אותה מנה $q$, $0<q<1$, ולכן כולן מתכנסות:

$S_c=8S_b$, ולכן $\frac{c_1}{1-q}=\frac{8b_1}{1-q}$, כלומר $c_1=8b_1$ (המכנים שווים), ו-$b_1=\frac{20}{3}:8=\frac56$.

מ-$c_1=2b_1-a_1$: $\frac{20}3=\frac53-a_1$, ולכן $a_1=\frac53-\frac{20}3=-5$.

(מתאים לסעיף א: $a_1<0$.)

טעות נפוצה: להציב $c_1=2b_1+a_1$ (לשכוח את סימן המינוס) - מקבלים $a_1=5$, שסותר את סעיף א.

האיברים במקומות האי-זוגיים $a_1,a_3,a_5,\ldots$ הם סדרה הנדסית עם מנה $q^2$. גם האיברים במקומות הזוגיים $a_2,a_4,\ldots$ - מנה $q^2$ ואיבר ראשון $a_1q$:

מפרקים $1-q^2=(1-q)(1+q)$:

עם $a_1=-5$: $\frac5{1+q}=4$, ולכן $1+q=\frac54$ ו-$q=\frac14$.

טעות נפוצה: לפרק $1-q^2=(1-q)^2$ - מקבלים $\frac{5}{1-q}=4$ ו-$q=-\frac14$, שאינו בתחום $0<q<1$.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות לבחור תפוז. בית האריזה גדול, ולכן שתי בחירות אקראיות בלתי תלויות זו בזו:

(הסתברות אינה שלילית, ולכן רק $p=0.64$.) ההסתברות לבחור לימון היא המשלים: $1-0.64=0.36$.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 במקום להוציא שורש - $p=0.2048$ - ולענות שההסתברות ללימון היא $0.7952$.

נסמן ב-$e$ את ההסתברות שפרי מיועד לייצוא.

"תפוז מבין הפירות שמיועדים לייצוא" היא הסתברות מותנית: $P(\text{תפוז}\mid\text{ייצוא})=\frac35$.

$P(\text{לימון}\mid\text{לא לייצוא})=\frac15$, ולכן $P(\text{תפוז}\mid\text{לא לייצוא})=\frac45$.

לפי נוסחת ההסתברות השלמה (עץ: קודם ייצוא או לא, אחר כך סוג הפרי), ועם $P(\text{תפוז})=0.64$ מסעיף א:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה - לחשב $P(\text{ייצוא}\cap\text{תפוז})=0.64\cdot\frac35$ ו-$P(\text{ייצוא}\cap\text{לימון})=0.36\cdot\frac45$ - ולקבל $0.384+0.288=0.672$.

קודם מוצאים את ההסתברות שלימון מיועד לייצוא:

$P(\text{ייצוא}\cap\text{לימון})=0.8\cdot\frac25=0.32$, ו-$P(\text{לימון})=0.36$, ולכן:

כששני הפירות לימונים, כל אחד מהם מיועד לייצוא בהסתברות $\frac89$, באופן בלתי תלוי. "אחד כן ואחד לא" - שני סדרים אפשריים:

טעות נפוצה: לשכוח שיש שני סדרים (הראשון לייצוא והשני לא, או להפך) - ולענות $\frac8{81}$.

נסמן ב-$X$ את מספר הפירות שמיועדים לייצוא מבין 4: ניסוי ברנולי עם $n=4$, $p=0.8$.

התנאי: $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0.2^4=0.9984$.

המאורע "לכל היותר 3 וגם לפחות 1" הוא $1\le X\le3$: $P=1-0.2^4-0.8^4=1-0.0016-0.4096=0.5888$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמידע "לפחות אחד" ולענות $P(X\le3)=1-0.8^4=0.5904$.

$\angle ACK$ ו-$\angle ABK$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת AK, ולכן $\angle ACK=\angle ABK$.

לפי הנתון $\angle ABK=\angle EKO$, ולכן $\angle ACE=\angle OKE$.

$\angle AEC=\angle OEK$ (זוויות קודקודיות).

לכן $\triangle ACE\sim\triangle OKE$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow O$, $C\leftrightarrow K$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לכתוב את ההתאמה לפי סדר האותיות בציור ($A\leftrightarrow K$, $C\leftrightarrow O$) - ואז בהמשך מתקבל בטעות $\frac{AE}{EO}=\frac{OK}{AC}$, יחס הפוך.

לפי סעיף א, $\angle ACK=\angle CKO$. אלה זוויות מתחלפות בין הישרים AC ו-OK עם החותך CK, ולכן $AC\parallel OK$, כלומר $AC\parallel OP$.

O הוא מרכז המעגל ולכן אמצע הקוטר AB.

במשולש ABC: ישר שיוצא מאמצע הצלע AB ומקביל לצלע AC חוצה את הצלע השלישית CB. לכן P אמצע CB, ו-PO הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

(דרך נוספת: $OK=OB$ ולכן $\angle OKB=\angle OBK=\angle EKO$, כלומר KO חוצה את $\angle CKB$; מכאן הזוויות המרכזיות שמשני צדי הישר KO שוות, OP חוצה את זווית הראש במשולש שווה-השוקיים COB, ולכן מאונך ל-CB וחוצה אותו.)

טעות נפוצה: להסתפק בכך ש-O אמצע AB בלי להוכיח ש-$OP\parallel AC$ - קטע שמחבר אמצע של צלע לנקודה כלשהי על צלע אחרת אינו בהכרח קטע אמצעים.

קטע אמצעים שווה למחצית הצלע המקבילה לו: $AC=2\cdot PO=14$.

מהדמיון בסעיף א ($A\leftrightarrow O$, $C\leftrightarrow K$): $\frac{AE}{EO}=\frac{AC}{OK}=\frac{14}{8.4}=\frac53$.

$AE+EO=AO=8.4$, ולכן $EO=8.4\cdot\frac38=3.15$ (ו-$AE=5.25$).

טעות נפוצה: להפוך את היחס ($\frac{EO}{AE}=\frac53$) - מקבלים $EO=5.25$.

נסמן $s=S_{OKE}$. יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון: $S_{ACE}=\left(\frac53\right)^2s=\frac{25}9s$.

למשולשים AEK ו-OEK גובה משותף מ-K לישר AO, ולכן יחס שטחיהם הוא יחס הבסיסים: $S_{AEK}=\frac{AE}{EO}\cdot s=\frac53s$.

$S_{AOK}=S_{AEK}+S_{OEK}=\frac53s+s=\frac83s$.

טעות נפוצה: להשוות למשולש OKE במקום למשולש AOK ולענות $\frac{25}9$.

במשולש ישר הזווית ABC ($\angle ABC=90^\circ$) הצלע AC היא היתר, ו-AB הוא הניצב שליד הזווית $\alpha$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $AC=k\cos\alpha$ - אבל היתר הוא הצלע הארוכה במשולש, ואילו $k\cos\alpha<k$.

AC חוצה את הזווית BAD, ולכן $\angle CAD=\angle CAB=\alpha$.

במשולש ACD ידועות הצלעות AC ו-AD והזווית שביניהן, והצלע השלישית CD נתונה - משתמשים במשפט הקוסינוסים:

מציבים $AC=\frac{k}{\cos\alpha}$ מסעיף א:

($\cos\alpha$ מצטמצם באיבר האחרון.) מחלקים ב-$k^2$:

$\alpha$ זווית חדה במשולש ישר זווית, ולכן $\cos\alpha>0$: $\cos\alpha=\frac12$, כלומר $\alpha=60^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 במשפט הקוסינוסים; אז $\frac{1}{\cos^2\alpha}=3.25-2.25+1.5=2.5$, ומקבלים $\alpha\approx50.77^\circ$.

כאשר $\alpha=60^\circ$: $AC=\frac{k}{\cos60^\circ}=2k$, ו-$BC=AB\cdot\tan60^\circ=\sqrt3k$.

שטח המשולש: $S=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{\sqrt3k^2}{2}$. היקף המשולש: $P=k+\sqrt3k+2k=(3+\sqrt3)k$.

השטח שווה למחצית המכפלה של הרדיוס בהיקף, $S=\frac{r\cdot P}{2}$, ולכן $r=\frac{2S}{P}$:

(דרך נוספת, במשולש ישר זווית: $r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{k+\sqrt3k-2k}{2}$.)

טעות נפוצה: להשתמש ב-$r=\frac{S}{P}$, בלי הגורם 2, ולקבל $r=\frac{\sqrt3k}{2(3+\sqrt3)}\approx0.183k$.

במשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר. לכן E אמצע AC, ו-$AE=\frac{AC}{2}=k$.

נסמן ב-T את נקודת ההשקה של המעגל החסום עם הצלע AC. הרדיוס MT מאונך למשיק AC, ולכן המשולש MTE ישר זווית ב-T, ו-$MT=r$.

שני קטעי המשיקים מהקודקוד A שווים, ולכן

הנקודות T ו-E נמצאות על AC, ו-$AT<AE$, ולכן:

המשולש MTE ישר זווית ושווה שוקיים ($MT=ET=r$), ולכן $ME=r\sqrt2$:

טעות נפוצה: להניח ש-M, T ו-E נמצאות על ישר אחד ולכתוב $ME=AE-r=k-r$; אז $k-\frac{(\sqrt3-1)k}{2}=4$, ומקבלים $k\approx6.31$.