מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 5 ברמת בגרות

הפרבולה $y^2=2px$ ומוקדה $\left(\frac p2,0\right)=(t,0)$, ולכן $p=2t$: $y^2=4tx$.

באליפסה: המוקד $(t,0)$ נותן $c=t$; הציר המשני $2b=2t$ נותן $b=t$.

משוואת האליפסה: $\frac{x^2}{2t^2}+\frac{y^2}{t^2}=1$.

טעות נפוצה: להציב $b=2t$ (אורך הציר כולו במקום חציו), לקבל $a^2=5t^2$ ואת האליפסה $\frac{x^2}{5t^2}+\frac{y^2}{4t^2}=1$.

מדריך הפרבולה: $x=-\frac p2=-t$.

מציבים באליפסה:

$A\left(-t,\frac{\sqrt2}{2}t\right)$, $B\left(-t,-\frac{\sqrt2}{2}t\right)$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש מ-$\frac12$ ולכתוב $y=\pm\frac t2$, כלומר $A\left(-t,\frac t2\right)$.

מציבים $x=2t$ במשוואת הפרבולה: $y^2=4t\cdot2t=8t^2$.

$y=\pm\sqrt{8t^2}=\pm2\sqrt2t$.

$C(2t,2\sqrt2t)$, $D(2t,-2\sqrt2t)$.

טעות נפוצה: להשתמש בפרבולה $y^2=2tx$ (מוקד ב-$(p,0)$ במקום $\left(\frac p2,0\right)$), לקבל $y^2=4t^2$ ומכאן $C(2t,2t)$.

$AB$ על הישר $x=-t$ ו-$CD$ על הישר $x=2t$ - שניהם מאונכים לציר ה-$x$, ולכן מקבילים. $AB=\sqrt2t\ne CD=4\sqrt2t$, ולכן $ABDC$ טרפז.

$A,B$ סימטריות ביחס לציר ה-$x$, וכך גם $C,D$: ציר ה-$x$ ציר סימטריה של הטרפז, ולכן $AC=BD$ - טרפז שווה-שוקיים.

בטרפז שווה-שוקיים סכום זוויות נגדיות $180^\circ$, ולכן הוא בר-חסימה במעגל.

טעות נפוצה: לנמק "כי $AB\parallel CD$" בלבד - טרפז כללי אינו בר-חסימה; השוויון $AC=BD$ (מהסימטריה) הוא העיקר.

המרכז על האנך האמצעי של $AB$ ושל $CD$, כלומר על ציר ה-$x$: $M(x_0,0)$.

$MA=MC$:

מרכז המעגל: $\left(\frac{7t}{4},0\right)$.

טעות נפוצה: לקחת את המרכז באמצע בין הישרים $x=-t$ ו-$x=2t$, ולקבל $\left(\frac t2,0\right)$ - זה נכון רק במלבן.

הישר מקביל למישור (או מוכל בו) רק אם וקטור הכיוון ניצב לנורמל.

$\underline u=(m-2,4-m,-2)$, $\underline n=(3,m,m+5)$:

ל-$m^2-5m+16=0$ הדיסקרימיננטה $25-64=-39<0$, ולכן הביטוי אינו מתאפס לאף $m$.

לכן הישר אינו מקביל למישור לאף ערך של $m$.

טעות נפוצה: לפתוח $-2(m+5)$ כ-$-2m+10$ ולקבל $-m^2+5m+4$, שהדיסקרימיננטה שלו חיובית ($25+16=41$) - ואז "למצוא" $m=\frac{5\pm\sqrt{41}}2$ שבעבורם כביכול יש הקבלה.

ניצבות: וקטור הכיוון מקביל לנורמל, $(m-2,4-m,-2)=k(3,m,m+5)$.

$m=3$: $\underline u=(1,1,-2)$, $\underline n=(3,3,8)$ - ברכיב הראשון היחס $\frac13$ ובשלישי $-\frac14$. נפסל.

$m=-4$: $\underline u=(-6,8,-2)$, $\underline n=(3,-4,1)$, $\underline u=-2\underline n$. מתאים.

טעות נפוצה: לבדוק את הפתרונות רק בשני הרכיבים שמהם נבנתה המשוואה - שם שניהם מתאימים תמיד; הבדיקה היא ברכיב השלישי.

עבור $m=-4$: $\ell:\ \underline x=(4,-6,5)+t(-6,8,-2)$ ו-$\pi:\ 3x-4y+z-15=0$.

מציבים את הנקודה הכללית $(4-6t,\ -6+8t,\ 5-2t)$:

בדיקה: $3+8+4-15=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $-4\cdot(-6+8t)=24-32t$ נכון אבל לשכוח את המחובר $-15$, ולקבל $t=\frac{41}{52}$.

בודקים אם הנקודה על הישר: $(4-6t,\ -6+8t,\ 5-2t)=(10,-14,6)$.

מהרכיב הראשון $t=-1$. ברכיב השני: $-6-8=-14$ - מתקיים. ברכיב השלישי: $5+2=7\neq6$ - לא מתקיים.

אין $t$ אחד שמתאים לשלושת הרכיבים, ולכן הנקודה אינה על $\ell$.

דרך ישר ונקודה שאינה עליו עובר מישור אחד ויחיד. הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לעצור אחרי שני רכיבים שמתאימים ולהסיק שהנקודה על הישר, ולענות "לא נכונה".

$\cos(2\alpha+90^\circ)=-\sin2\alpha$, $\sin(2\alpha+90^\circ)=\cos2\alpha$:

החלק הממשי: $-\sin2\alpha=1$, כלומר $\sin2\alpha=-1$.

$180^\circ<2\alpha<360^\circ$, ולכן $2\alpha=270^\circ$, $\alpha=135^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(2\alpha+90^\circ)=\sin2\alpha$ (בלי המינוס). אז $\sin2\alpha=1$, $2\alpha=90^\circ$, ומתקבל $\alpha=45^\circ$ - מחוץ לתחום.

החלק המדומה של $w$: $\cos2\alpha-r^2=\cos270^\circ-r^2=-r^2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos270^\circ=1$ (לבלבל עם $\cos0^\circ$). אז $1-r^2=-1$, ומתקבל $r=\sqrt2$. $\cos270^\circ=0$.

$z_1=\operatorname{cis}135^\circ$, ו-$w=1-i$ ברביע הרביעי: $w=\sqrt2\operatorname{cis}315^\circ$.

$|z|=\sqrt[3]8=2$, והזוויות $\frac{180^\circ+360^\circ k}{3}=60^\circ+120^\circ k$, $k=0,1,2$:

טעות נפוצה: להוסיף $90^\circ$ בין פתרון לפתרון (כמו בשורש רביעי) ולקבל ארבעה "פתרונות" $2\operatorname{cis}(60^\circ+90^\circ k)$. לשורש שלישי יש שלושה פתרונות, במרווחים של $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.

$|z|=b$ הוא מעגל שמרכזו O ורדיוסו $b$, ולכן $K(b,0)$.

$B=2\operatorname{cis}60^\circ=(1,\sqrt3)$, $C=2\operatorname{cis}300^\circ=(1,-\sqrt3)$.

האלכסון $OK$ על ציר ה-$x$, והאלכסון $BC$ אנכי ($x=1$): האלכסונים מאונכים, $OK=b$, $BC=2\sqrt3$.

($b=3>1$, ולכן K מימין ל-BC והמרובע קמור.)

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בנוסחת השטח: $2\sqrt3\,b=3\sqrt3$, ולקבל $b=1.5$.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והמכנה מתאפס כאשר $\ln x=a$, כלומר $x=e^a$.

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq e^a$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq a$ - הפתרון של $\ln x=a$ הוא $x=e^a$.

נגזרת מנה, עם $\left[(\ln x-a)^2\right]'=2(\ln x-a)\cdot\frac1x$:

$f'=0$ כאשר $\ln x=a+2$, כלומר $x=e^{a+2}$.

סימנים: עבור $0<x<e^a$ המונה והמכנה שליליים - $f'>0$; עבור $e^a<x<e^{a+2}$ המונה שלילי והמכנה חיובי - $f'<0$; עבור $x>e^{a+2}$ - $f'>0$.

ב-$x=e^{a+2}$ הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס - מינימום:

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x-a)^2$ בלי הגורם 2, לקבל מונה $a(\ln x-a)(\ln x-a-1)$ ונקודת קיצון $\left(e^{a+1},ae^{a+1}\right)$.

המונה $ax>0$ והמכנה ריבוע, ולכן $f>0$ בכל התחום.

$x\to0^+$: $ax\to0$ ו-$(\ln x-a)^2\to\infty$, ולכן $f\to0^+$ - נקודה ריקה $(0,0)$.

$x\to e^a$ (משני הצדדים): המכנה $\to0^+$ - $f\to+\infty$, אסימפטוטה אנכית $x=e^a$.

$x\to\infty$: $x$ גדל מהר יותר מ-$(\ln x)^2$, ולכן $f\to\infty$.

ענף שמאלי עולה מ-$(0,0)$ ל-$+\infty$; ענף ימני יורד מ-$+\infty$ למינימום ואחר כך עולה.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מתחת לציר ה-$x$ (כאילו המכנה שלילי שם) - המכנה הוא ריבוע, ולכן $f$ חיובית גם כאשר $\ln x<a$.

$g=\frac1f$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מ-0. $f$ מוגדרת עבור $x>0$, $x\neq e^a$, וחיובית שם.

תחום ההגדרה של $g$: $x>0$, $x\neq e^a$.

טעות נפוצה: לפשט ל-$g(x)=\frac{(\ln x-a)^2}{ax}$ ולכתוב $x>0$ בלבד - ב-$x=e^a$ הפונקציה $f$ אינה מוגדרת, ולכן גם $\frac{1}{f}$.

$g'=-\frac{f'}{f^2}$: $g$ יורדת עבור $0<x<e^a$, עולה עבור $e^a<x<e^{a+2}$ ויורדת עבור $x>e^{a+2}$.

ב-$x=e^{a+2}$: מקסימום, $g\left(e^{a+2}\right)=\frac{1}{f\left(e^{a+2}\right)}=\frac{4}{ae^{a+2}}$.

ב-$x=e^a$ הנגזרת מחליפה סימן, אבל הנקודה לא בתחום ההגדרה - ולכן זו לא נקודת קיצון.

טעות נפוצה: לטעון שיש ל-$g$ גם מינימום ב-$(e^a,0)$ - $x=e^a$ לא בתחום ההגדרה של $g$.

$g>0$ בכל התחום (כמו $f$).

$x\to0^+$: $f\to0^+$, ולכן $g\to+\infty$ - אסימפטוטה $x=0$.

$x\to e^a$: $f\to+\infty$, ולכן $g\to0$ - נקודה ריקה $(e^a,0)$.

$x\to\infty$: $f\to\infty$, ולכן $g\to0^+$ - אסימפטוטה $y=0$.

טעות נפוצה: להעתיק את האסימפטוטה $x=e^a$ של $f$ ל-$g$ - שם $g\to0$.

האנך דרך הקיצון של $g$: $x=e^{a+2}$. בקטע $e^{a+2}\le x\le e^{a+3}$ $g>0$.

$g(x)=\frac{(\ln x-a)^2}{ax}=\frac1a\cdot\frac1x(\ln x-a)^2$, ופונקציה קדומה: $G(x)=\frac{(\ln x-a)^3}{3a}$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-3 בפונקציה הקדומה, לקבל $S=\frac{19}{a}$ ו-$a=3$.

$\ln(x^2)$ מוגדר כש-$x^2>0$, כלומר לכל $x\ne0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - הביטוי $x^2$ חיובי גם עבור $x$ שלילי.

$\frac x2=0$ נותן $x=0$ - לא בתחום.

טעות נפוצה: לפתור $\ln(x^2)=2$ כ-$x^2=2e$ או $x=\pm\sqrt2$ - מגדרת הלוגריתם $x^2=e^2$.

התחום סימטרי.

טעות נפוצה: להסיק אי-זוגיות מכך ש"יש $x$ מחוץ לסוגריים" בלי לבדוק ש-$\ln\left((-x)^2\right)=\ln(x^2)$ - זה החלק שמאפשר את ההוכחה.

$f'>0$ כש-$|x|>1$, $f'<0$ כש-$0<|x|<1$.

$f(1)=\frac12(0-2)=-1$, ומאי-זוגיות $f(-1)=1$.

מקסימום $(-1,1)$, מינימום $(1,-1)$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר השני של כלל המכפלה ($\frac x2\cdot\frac2x=1$) ולקבל $f'=\frac12\ln(x^2)-1$, כלומר קיצון ב-$x=\pm e$ - שם דווקא נקודות האפס.