מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 6 ברמת בגרות

$BC$ מקבילה לציר ה-$y$, ולכן ל-$B$ ול-$C$ אותו שיעור $x$. נסמן אותו ב-$t$ ($t\neq0$): $B(t,-a)$, $C(t,c)$.

הזווית ב-$A$ ישרה:

$M$ אמצע $BC$:

מסלקים את $t$: $y=\frac{x^2}{4a}$, כלומר:

הראשית ($t=0$) אינה מתקבלת.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AB}=(t,-a)$ (לשכוח לחסר את שיעור ה-$y$ של $A$) - אז $t^2-a(c-a)=0$, $c-a=\frac{t^2}a$, $y_M=\frac{t^2}{2a}$, ומתקבלת המשוואה השגויה $x^2=2ay$.

$x^2=2py$ עם $2p=4a$: פרבולה שקודקודה בראשית וציר הסימטריה שלה ציר ה-$y$.

$x^2\ge0$, ולכן $4ay\ge0$: כאשר $a>0$ כל הנקודות עם $y\ge0$ - פתוחה כלפי מעלה; כאשר $a<0$ - כלפי מטה.

בסרטוט: שתי פרבולות שנוגעות בראשית (נקודה ריקה), כל אחת שיקוף של השנייה בציר ה-$x$ (כשהערך המוחלט של $a$ שווה).

טעות נפוצה: לשרטט פרבולות פתוחות ימינה ושמאלה - המשתנה בריבוע הוא $x$, ולכן ציר הסימטריה הוא ציר ה-$y$.

ברביע הראשון $x_M=t>0$ ו-$y_M>0$, ולכן $a>0$. $M(t,y_1)$ עם $y_1=\frac{t^2}{4a}$.

משוואת המשיק ל-$x^2=2py$ בנקודה $(x_1,y_1)$: $xx_1=p(y+y_1)$. כאן $p=2a$:

שיפוע $\ell$ הוא $\frac{t}{2a}$. (אפשר גם לגזור: $y=\frac{x^2}{4a}$, $y'=\frac{x}{2a}$, וב-$x=t$ מקבלים $\frac{t}{2a}$.)

שיפוע $AC$, לפי סעיף א:

השיפועים שווים, ו-$A(0,a)$ אינה על $\ell$ (הצבה: $0=2a(a+y_1)$, לא מתקיים). לכן $\ell\parallel AC$.

טעות נפוצה: לחשב את שיפוע $AC$ כ-$\frac{t}{c-a}$ (הפרש ה-$x$ חלקי הפרש ה-$y$) ולקבל $\frac{2a}{t}$ - השיפוע הוא הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$.

$y_B=-a=-4$, ולכן $a=4$ והפרבולה היא $x^2=16y$.

ל-$x^2=16y$: $p=8$, המוקד $(0,4)$ והמדריך $y=-4$. כלומר $A$ היא המוקד.

לפי הגדרת הפרבולה, $AM$ שווה למרחק של $M$ מהמדריך:

$x_M^2=16\cdot9=144$, ו-$M$ ברביע הראשון: $x_M=12$. $M(12,9)$.

(אפשר גם בלי המוקד: $x^2+(y-4)^2=169$ עם $x^2=16y$ נותן $y^2+8y-153=0$, $y=9$ או $y=-17$, והשני נפסל.)

$B$ על הישר $y=-4$ ובאותו $x$ כמו $M$: $B(12,-4)$. $M$ אמצע $BC$:

בדיקה: $\overrightarrow{AB}=(12,-8)$, $\overrightarrow{AC}=(12,18)$, $144-144=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $AM=y_M-4$ (מרחק מהישר $y=4$ במקום מהמדריך $y=-4$) ולקבל $y_M=17$, $M(4\sqrt{17},17)$.

$AC$: דרך $A(0,4)$ עם שיפוע $\frac{22-4}{12}=\frac32$: $y=\frac32x+4$, כלומר $3x-2y+8=0$.

$\ell$: משיק ל-$x^2=16y$ ב-$M(12,9)$, $p=8$: $12x=8(y+9)$, כלומר $3x-2y-18=0$.

$A$ על $AC$ ועל המעגל, ולכן היא נקודת ההשקה עם $AC$. הקוטר שווה למרחק בין הישרים המקבילים:

המרכז על האנך ל-$AC$ ב-$A$, בצד של $\ell$. ב-$A$: $3x-2y-18=-26$, וכדי להתקרב לאפס הולכים בכיוון הנורמל $(3,-2)$:

בדיקה: מרחק $(3,2)$ מ-$\ell$: $\frac{|9-4-18|}{\sqrt{13}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין הישרים כרדיוס ($r=2\sqrt{13}$) - מתקבל המרכז $(6,0)$, שמרחקו מ-$AC$ כפול מהדרוש; המעגל נוגע בשני הישרים משני צדיו, ולכן המרחק ביניהם הוא הקוטר.

$\underline n_1=(1,0,0)$, $\underline n_2=(a,3,4)$.

$\frac{|a|}{\sqrt{a^2+25}}=\frac1{\sqrt2}$, ולכן $2a^2=a^2+25$, $a^2=25$: $a=\pm5$.

טעות נפוצה: להציב $\cos45^\circ=\frac12$, לקבל $4a^2=a^2+25$ ומכאן $a=\pm\frac{5}{\sqrt3}$.

$\pi_1$: $5-1=4\ne0$ - $A$ לא על $\pi_1$.

$\pi_2$: $5a+9+36-20=0$, כלומר $5a=-25$, $a=-5$. לכן $\pi_2: -5x+3y+4z-20=0$ ו-$A$ עליו.

האנך מ-$A$ ל-$\pi_1: x=1$ בכיוון $(1,0,0)$: $B=(1,3,9)$, ו-$AB=|5-1|=4$.

טעות נפוצה: להניח $a=5$ ולחשב את המרחק מ-$A$ ל-$5x+3y+4z-20=0$: $\frac{|25+9+36-20|}{\sqrt{50}}=5\sqrt2$ - בלי לבדוק על איזה מישור $A$ נמצאת.

וקטור הכיוון של $\ell$ ניצב לשני הנורמלים, $(1,0,0)$ ו-$(-5,3,4)$. נחפש $(0,u,v)$ (ניצב ל-$(1,0,0)$) עם $3u+4v=0$: $(0,-4,3)$.

נקודה על $\ell$: $x=1$, ומ-$\pi_2$: $-5+3y+4z=20$, כלומר $3y+4z=25$; למשל $y=3$, $z=4$: $(1,3,4)$.

$\ell:\ \underline x=(1,3,4)+s(0,-4,3)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולקחת כיוון $(0,4,3)$ - אבל $(0,4,3)\cdot(-5,3,4)=24\ne0$, והישר $(1,3,4)+s(0,4,3)$ יוצא מהמישור $\pi_2$.

נקודה כללית על $\ell$: $P(1,3-4s,4+3s)$. $\overrightarrow{BP}=(0,-4s,3s-5)$ מאונך לכיוון $(0,-4,3)$:

$\overrightarrow{BC}=\left(0,-\frac{12}{5},-\frac{16}{5}\right)$, ולכן $BC=\sqrt{\frac{144+256}{25}}=4$.

$AB$ מאונך ל-$\pi_1$ ו-$BC$ במישור $\pi_1$ ($x=1$), ולכן הזווית ב-$B$ ישרה.

טעות נפוצה: לשים את הזווית הישרה ב-$C$ ולחשב $\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot4=8\sqrt2$ - $AC$ הוא היתר.

$\bar z=R\,\text{cis}(-\alpha)$, ולכן:

$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$: מודול 1, ברביע הרביעי, $\cos\theta=\frac12$ - הארגומנט $300^\circ$.

$\alpha=150^\circ$ (רביע שני) או $\alpha=330^\circ$ (רביע רביעי). לכן $\alpha=330^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את הארגומנט של $\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ כ-$60^\circ$ או $-30^\circ$ - החלק המדומה שלילי, והזווית $300^\circ$ (או $-60^\circ$).

$|3iz|=3\cdot|i|\cdot|z|=3R$, $\left|\frac{\bar z}{i}\right|=\frac{|\bar z|}{|i|}=R$, $\left|\frac{z}{\bar z}\right|=1$:

טעות נפוצה: לחשב $|3iz|=3iR$ ולהשאיר $i$ - ערך מוחלט הוא מספר ממשי אי-שלילי, ו-$|i|=1$.

$z=2\,\text{cis}\,330^\circ$. לפי דה-מואבר:

($1980^\circ-5\cdot360^\circ=180^\circ$.)

$\frac{z}{\bar z}=\text{cis}\,300^\circ$:

($2700^\circ-7\cdot360^\circ=180^\circ$.) שני האגפים שווים $-1$.

טעות נפוצה: להעלות בחזקה רק את הארגומנט ולכתוב $z^6=2\,\text{cis}\,1980^\circ=-2$ - אז אגף ימין יוצא $\frac{-2}{64}=-\frac{1}{32}$ ולא $-1$, ו"מתקבל" ש-$\frac{z}{\bar z}$ אינו פתרון. גם המודול מועלה בחזקה: $2^6=64$.

$B=\frac{z}{\bar z}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ ו-$C=\frac{\bar z}{z}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ צמודים, ולכן סימטריים ביחס לציר הממשי, והאנך האמצעי ל-BC הוא הציר הממשי. קודקוד הראש A עליו: $z+k$ ממשי.

$k=bi$: $-1+b=0$, $b=1$, ולכן $k=i$ ו-$A=\sqrt3$.

טעות נפוצה: לבחור $k=-i$ (סימן הפוך) - אז $A=z+k=\sqrt3-2i$, שאינו על הציר הממשי. החלק המדומה של $z$ הוא $-1$, ולכן מוסיפים $+i$.

$A(\sqrt3,0)$, $B\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$, $O(0,0)$, $C\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$.

$AB=AC$ ו-$OB=OC=1$ - דלתון. האלכסונים AO (על הציר הממשי) ו-BC (אנכי) מאונכים, ו-BC חותך את AO בנקודה $\left(\frac12,0\right)$ שבין O ל-A, ולכן הדלתון קמור.

טעות נפוצה: לקחת את $|z|=2$ כאורך האלכסון AO - האלכסון הוא מ-O עד A, ו-$A=z+k=\sqrt3$, לא $z$.

$e^x-1\neq0\ \Rightarrow\ x\neq0$; $e^x-7\neq0\ \Rightarrow\ x\neq\ln7$.

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט ל-$0$ ול-$\ln7$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq1$, $x\neq7$ - אלה הערכים של $e^x$, לא של $x$.

אנכיות: $x=0$ ו-$x=\ln7$ (המכנים מתאפסים, המונים קבועים שונים מ-0).

כאשר $x\to-\infty$, $e^x\to0$:

כאשר $x\to\infty$, השברים שואפים ל-0 ו-$f(x)\to a$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול ב-$-\infty$ כאילו $e^x\to-\infty$, ולקבל גם שם $y=a$ - כלומר אסימפטוטה אופקית אחת בלבד. $e^x$ חיובית תמיד ושואפת ל-0.

$e^x>0$ והמכנים ריבועים חיוביים, ולכן כל איבר שלילי והסכום שלילי.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנגזרת של $\frac{7}{e^x-7}$ ולקבל $f'(x)=-\frac{e^x}{(e^x-1)^2}+\frac{7e^x}{(e^x-7)^2}$ - ביטוי שסימנו משתנה (למשל ב-$x=\ln4$ הוא חיובי), ומכאן מסקנה שגויה ש-$f$ עולה בחלק מהתחום.

$y=0$ יכולה להיות האסימפטוטה הימנית $y=a$ או השמאלית $y=a-2$:

$a=0$, או $a-2=0$, כלומר $a=2$.

טעות נפוצה: להסתפק ב-$y=a$ ולענות רק $a=0$.

$(e^x-1)(e^x-7)=e^{2x}-8e^x+7$.

המונה: $8e^x-14+2e^{2x}-16e^x+14=2e^{2x}-8e^x$.

טעות נפוצה: להוסיף 2 למונה בלי לכפול במכנה, ולקבל $\frac{8e^x-12}{e^{2x}-8e^x+7}$.

$e^x>0$, ולכן $e^x=4$, $x=\ln4$ (בתחום, בין $0$ ל-$\ln7$).

הנקודה: $(\ln4,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $e^{2x}=2e^x$ (במקום $(e^x)^2$). אז המשוואה הופכת ל-$4e^x-8e^x=0$, כלומר $-4e^x=0$, ומסיקים בטעות שאין חיתוך עם ציר ה-$x$.

אסימפטוטות: $x=0$, $x=\ln7$, $y=0$ (משמאל) ו-$y=2$ (מימין). הפונקציה יורדת בכל קטע, וחותכת את ציר ה-$x$ רק ב-$\ln4$.

ענף שמאלי: מ-$y=0$ (מלמטה) יורד ל-$-\infty$ ליד $x=0$.

ענף אמצעי: מ-$+\infty$ ליד $x=0$, דרך $(\ln4,0)$, ל-$-\infty$ ליד $x=\ln7$.

ענף ימני: מ-$+\infty$ ליד $x=\ln7$, יורד ומתקרב ל-$y=2$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי עולה (מ-$-\infty$ ל-$+\infty$). לפי סעיף ב הפונקציה יורדת בכל קטע, ולכן ליד $x=0$ מימין היא ב-$+\infty$.

$x=\ln2$ נמצא בענף האמצעי משמאל ל-$\ln4$, ושם $f(x)>0$: השטח בין $x=\ln2$ ל-$x=\ln4$.

המונה הוא נגזרת המכנה: $\left(e^{2x}-8e^x+7\right)'=2e^{2x}-8e^x$.