מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 4 ברמת בגרות

$M$ על הישר $y=3-x$, ולכן נסמן $M(x_0,\ 3-x_0)$.

$M$ נמצא במרחק שווה מהישרים $AB$ ו-$AC$:

$M$ וראשית הצירים בתוך המשולש, ולכן באותו צד של כל צלע. בראשית: $0+0+5=5>0$ ו-$0-0-15=-15<0$.

לכן גם ב-$M$: $14-2x_0>0$ ו-$4x_0-18<0$:

$M(2,1)$, והרדיוס: $r=\frac{|2+3+5|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$.

משוואת המעגל: $(x-2)^2+(y-1)^2=10$.

טעות נפוצה: לפתוח את הערכים המוחלטים בלי לבדוק סימנים, $14-2x_0=4x_0-18$, ולקבל $M\left(\frac{16}{3},-\frac73\right)$ ו-$\left(x-\frac{16}{3}\right)^2+\left(y+\frac73\right)^2=\frac{10}{9}$ - מרכז שנמצא על חוצה הזווית החיצונית, מחוץ למשולש.

$BM$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן ל-$B$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$M$: $y_B=1$.

$B$ על הישר $AB$: $x+3+5=0$, ולכן $x=-8$ ו-$B(-8,1)$.

ישר דרך $B$ בשיפוע $m$: $y-1=m(x+8)$, כלומר $mx-y+8m+1=0$. (הישר האנכי $x=-8$ רחוק מ-$M$ מרחק $10\neq\sqrt{10}$.)

תנאי ההשקה - המרחק מ-$M(2,1)$ שווה לרדיוס:

השיפוע $-\frac13$ הוא של הצלע $AB$. לכן לצלע $BC$ שיפוע $\frac13$:

טעות נפוצה: לבחור את השיפוע $-\frac13$ ולקבל $x+3y+5=0$ - זו הצלע $AB$ עצמה.

$A$ - חיתוך $AB$ ו-$AC$: מ-$3x-y-15=0$, $y=3x-15$; מציבים: $x+9x-45+5=0$, $x=4$, $y=-3$. $A(4,-3)$.

$C$ - חיתוך $BC$ ו-$AC$: $x-3(3x-15)+11=0$, $-8x+56=0$, $x=7$, $y=6$. $C(7,6)$.

שיפוע $AB$ הוא $-\frac13$ ושיפוע $AC$ הוא $3$; המכפלה $-1$, ולכן המשולש ישר-זווית ב-$A$, ו-$BC$ הוא היתר.

מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר:

טעות נפוצה: לקחת את נקודת מפגש התיכונים $\left(1,\frac43\right)$ במקום מרכז המעגל החוסם, ולקבל מרחק $\frac{\sqrt{10}}{3}$.

מבטאים את שני הווקטורים באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$:

$E$ אמצע $BC$, ולכן $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\underline{u}+\frac12(\underline{v}-\underline{u})=\frac12(\underline{u}+\underline{v})$.

המכפלה הסקלרית 0 ושני הווקטורים שונים מאפס, ולכן $\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{BC}$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BC}=\underline{u}+\underline{v}$ (חיבור במקום חיסור) - אז המכפלה יוצאת $\frac12(\underline{u}+\underline{v})^2$, שאינה אפס, וההוכחה נתקעת. וקטור בין שני קצוות הוא הפרש: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.

נתון $|\underline{u}|=|\underline{v}|$, כלומר $AC=AB$:

$C$ על החלק החיובי של ציר ה-$y$, ולכן $C(0,26,0)$.

הבסיס במישור $z=0$ והגובה $SE$ מאונך לו, ולכן $S$ מעל $E$ בגובה 30: $S(12,18,30)$.

טעות נפוצה: לשים את $C$ על ציר ה-$x$ מתוך הרגל ($C(26,0,0)$) - בשאלה הזאת $C$ על ציר ה-$y$, ואז גם $E$ ו-$S$ יוצאים שגויים.

$\overrightarrow{SB}=B-S=(24,10,0)-(12,18,30)=(12,-8,-30)$.

כיוון הישר $AB$: $(24,10,0)$, או בקיצור $(12,5,0)$.

טעות נפוצה: לקחת ככיוון את $\overrightarrow{SB}$ (המקצוע שעליו $F$) במקום את $\overrightarrow{AB}$ - הישר מקביל ל-$AB$.

משוואת המישור $ACS$: $\overrightarrow{AC}=(0,26,0)$ ו-$\overrightarrow{AS}=(12,18,30)$. נורמל $\underline n=(a,b,c)$:

$b=0$ ו-$12a+30c=0$. נבחר $a=5$: $c=-2$. הנורמל $(5,0,-2)$, והמישור עובר דרך $A$:

(בדיקה: $S$: $60-60=0$.)

מציבים את הנקודה הכללית $(18+12t,\ 14+5t,\ 15)$:

טעות נפוצה: להשמיט את רכיב ה-$z$ של $\overrightarrow{AS}$ בחישוב הנורמל ולקבל את המישור $x=0$ - המישור $ACS$ אינו מישור קואורדינטות, כי $S$ אינו עליו.

הבסיסים $ABC$ ו-$AEB$ במישור $z=0$, ולכן הגובה של כל פירמידה הוא שיעור ה-$z$ של הקודקוד הרביעי.

$M$ ו-$F$ נמצאות שתיהן בגובה $z=15$ (הישר $FM$ מקביל ל-$AB$, שבמישור $z=0$), ולכן הגבהים שווים.

$AE$ תיכון במשולש $ABC$, ולכן $S_{AEB}=\frac12S_{ABC}$.

טעות נפוצה: לחשוב שהיחס הוא 4 כי $F$ אמצע $SB$ "וגם" $E$ אמצע $BC$ - רק הבסיס קטן פי 2; הגבהים שווים.

$z_2=\frac{19+4i}{3+2i}$. כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, $3-2i$:

בדיקה: $(3+2i)(5-2i)=15-6i+10i-4i^2=19+4i$.

טעות נפוצה: לחשב $-8i^2$ כ-$-8$, ולקבל $\frac{49-26i}{13}=\frac{49}{13}-2i$. כי $i^2=-1$, $-8i^2=+8$.

$z_1+z_2=(3+5)+(2-2)i=8$. בהצגה קוטבית: $8=8cis0^\circ$.

$w=r\,cis\varphi$, ולפי דה-מואבר $w^3=r^3cis3\varphi$:

$k=0,1,2$: $\varphi=0^\circ,120^\circ,240^\circ$.

טעות נפוצה: לפתור $w^3=8$ כמו משוואה ממשית ולענות רק $w=2$. למשוואה ממעלה שלישית במרוכבים יש שלושה פתרונות, והשניים האחרים מתקבלים מ-$360^\circ k$.

לפי דה-מואבר: $z^7=2^7cis7\theta=128cis7\theta$.

שני מספרים (שונים מ-0) נמצאים על ישר אחד דרך הראשית אם הארגומנטים שלהם שווים או נבדלים ב-$180^\circ$ (באותו כיוון או בכיוונים מנוגדים):

בתחום $0^\circ\le\theta\le90^\circ$: $\theta=0^\circ,30^\circ,60^\circ,90^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש $7\theta=\theta+360^\circ k$ בלבד (אותו כיוון), ולקבל $\theta=60^\circ k$ - רק $z=2$ ו-$z=1+\sqrt3i$. על ישר דרך הראשית אפשר להיות גם בכיוונים מנוגדים.

לכל שבעת המספרים ערך מוחלט 2, ולכן כולם על המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2.

$2$ מופיע גם בסעיף ב וגם בסעיף ג, ולכן יש 6 קודקודים שונים: $2$ ($0^\circ$), $\sqrt3+i$ ($30^\circ$), $1+\sqrt3i$ ($60^\circ$), $2i$ ($90^\circ$), $-1+\sqrt3i$ ($120^\circ$), $-1-\sqrt3i$ ($240^\circ$).

מסמנים אותם על המעגל ומחברים לפי סדר הארגומנטים - מתקבל משושה (לא משוכלל): ארבע צלעות קצרות ברביע הראשון ובתחילת השני, ושתי צלעות ארוכות שעוברות דרך $-1-\sqrt3i$.

טעות נפוצה: לספור 7 קודקודים ולסרטט משובע - $2$ הוא אותה נקודה בשני הסעיפים.

מחלקים את המצולע למשולשים שקודקודם בראשית. לכל משולש שתי צלעות באורך 2 (רדיוסים), והזווית ביניהן היא ההפרש בין הארגומנטים.

ההפרשים לפי הסדר: $30^\circ,30^\circ,30^\circ,30^\circ,120^\circ,120^\circ$ (סכומם $360^\circ$).

טעות נפוצה: לחשב כאילו המשושה משוכלל, $6\cdot\frac12\cdot2\cdot2\sin60^\circ=6\sqrt3\approx10.39$ - הזוויות המרכזיות כאן לא שוות.

כפל ב-$\sqrt3cis\alpha$ מסובב כל קודקוד ב-$\alpha$ סביב הראשית ומכפיל את מרחקו מהראשית ב-$\sqrt3$.

המצולע החדש דומה למקורי ביחס $\sqrt3$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $(\sqrt3)^2=3$.

טעות נפוצה: לענות "פי $\sqrt3$" - כל האורכים גדלים פי $\sqrt3$, אבל השטח גדל פי $(\sqrt3)^2=3$.

עם $t=e^x$: $t^2-7t+6=(t-1)(t-6)=0$, כלומר $t=1$ או $t=6$.

$e^x=1\Rightarrow x=0$; $e^x=6\Rightarrow x=\ln6$.

תחום ההגדרה: $x\ne0$, $x\ne\ln6$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=1$ ו-$x=6$ - אלה ערכי $e^x$; הערכים של $x$ הם $\ln1=0$ ו-$\ln6$.

אנכיות: $x=0$, $x=\ln6$ (המכנה מתאפס, המונה חיובי).

$x\to\infty$: מחלקים ב-$e^{2x}$:

$x\to-\infty$: המונה $\to0$, המכנה $\to6$, ולכן $f\to0$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול ב-$-\infty$ לפי המקדמים המובילים ($\frac21=2$) - כש-$x\to-\infty$ דווקא $e^{2x}$ ו-$e^x$ שואפים ל-0, והאיבר הקבוע במכנה הוא שקובע.

$D=e^{2x}-7e^x+6$, $D'=2e^{2x}-7e^x$:

הסימן לפי $12-7e^x$: חיובי כש-$x<\ln\frac{12}{7}\approx0.54$ ושלילי אחריו. $\ln\frac{12}{7}$ בין $0$ ל-$\ln6$.

עלייה: $x<0$, $0<x<\ln\frac{12}{7}$. ירידה: $\ln\frac{12}{7}<x<\ln6$, $x>\ln6$.

טעות נפוצה: לטעות בכינוס $-14e^x+7e^x$ ולקבל $12-21e^x$ - כדאי לפתוח את הסוגריים בזהירות לפני הצמצום.

המכנים שווים, ולכן משווים מונים:

($\frac72\ne1,6$ - בתחום.)

טעות נפוצה: להציב $x=\frac72$ במקום $e^x=\frac72$ - המשוואה נפתרה עבור $e^x$.

מימין ל-$\ln6$: $f\to2$, $g\to0$ - העליון (2) הוא $f$, התחתון (1) הוא $g$.

משמאל ל-$0$: המכנה חיובי ו-$2e^x-7<0$, ולכן $f<g$ - העליון (4) הוא $g$, התחתון (3) הוא $f$.

בין האסימפטוטות: משמאל לחיתוך $x=\ln\frac72$ המכנה שלילי ו-$2e^x-7<0$, ולכן $f>g$; והמקסימום של $f$ (א(3)) ב-$\ln\frac{12}{7}$, משמאל לחיתוך. החלק עם השיא הגבוה והשמאלי יותר, 6, הוא $f$; 5 הוא $g$.

$f$: 2, 3, 6; $g$: 1, 4, 5.

טעות נפוצה: לזהות את החלקים לפי המספור ("1 תמיד העליון") או להעתיק את הסדר מצד אחד לצד השני - בכל קטע בין אסימפטוטות בודקים את הסימן של $f-g$ מחדש.

I: הקטע משמאל ל-$0$, ושם $f<g$ (3 מתחת ל-4), ולכן ההפרש שלילי בכל הקטע והאינטגרל שלילי.

II: $\ln\frac{12}{7}\approx0.54$ ו-$\ln3\approx1.10$, שניהם בין $0$ לנקודת החיתוך $\ln\frac72\approx1.25$. שם $f>g$ (6 מעל 5), ולכן האינטגרל חיובי.

טעות נפוצה: לקבוע לפי הסימן של $f$ ו-$g$ עצמן (בקטע II, בין האסימפטוטות, שתיהן שליליות) ולענות ש-II שלילי - קובע הסימן של ההפרש $f-g$, כלומר מי מהגרפים למעלה.

בקטע (מימין ל-$\ln6$) $f>g$:

המונה הוא נגזרת המכנה, ולכן הקדומה $\ln\left|e^{2x}-7e^x+6\right|$:

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה כ-$\ln\left|2e^{2x}-7e^x\right|$ (לוגריתם של המונה) - בתבנית $\frac{h'}{h}$ הקדומה היא הלוגריתם של המכנה.