מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 9 ברמת בגרות

נסמן $C(x,y)$:

משלימים לריבוע (מוסיפים $36$ ו-$16$ לשני האגפים):

מעגל שמרכזו $(6,-4)$ ורדיוסו 12.

טעות נפוצה: לטעות בסימן במרכז ולכתוב $(y-4)^2$ - מ-$y^2+8y$ מקבלים $(y+4)^2-16$, והמרכז הוא $(6,-4)$.

אחרי ההזזה המרכז בראשית: $x^2+y^2=144$. עם ציר ה-$y$: $y^2=144$, ולכן $E(0,12)$, $G(0,-12)$.

המוקדים על ציר ה-$x$, ולכן $E$ ו-$G$ הם קודקודי הציר הקטן: $b=12$. נסמן $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$, $c>0$.

$EF_1$: $\frac xc+\frac y{12}=1$, כלומר $12x+cy-12c=0$.

$GF_2$: $\frac x{-c}+\frac y{-12}=1$, כלומר $12x+cy+12c=0$.

הישרים מקבילים (אותם מקדמים של $x$ ו-$y$), והמרחק ביניהם:

מחלקים ב-4.8 ומעלים בריבוע:

$c>0$, ולכן $F_1(16,0)$.

טעות נפוצה: בהעלאה בריבוע של $5c=4\sqrt{144+c^2}$ לכפול ב-16 רק את 144: $25c^2=2304+c^2$, ואז $c^2=96$ ו-$F_1(4\sqrt6,0)$ - צריך $25c^2=16(144+c^2)=2304+16c^2$.

המוקדים על ציר ה-$x$, ולכן $a^2=b^2+c^2$:

טעות נפוצה: לכתוב $a^2=c^2-b^2=112$ - חצי הציר הגדול $a$ הוא היתר במשולש $b$, $c$, $a$, ולכן $a^2=b^2+c^2$.

הישר $EF_1$: $12x+16y-192=0$, ואחרי חלוקה ב-4: $3x+4y-48=0$.

מעגל המשיק לשני הצירים: מרכזו $(\pm r,\pm r)$. תנאי ההשקה לישר: המרחק מהמרכז לישר שווה ל-$r$.

רביע ראשון, $(r,r)$:

רביע שני, $(-r,r)$:

$r-48=5r$ נותן $r<0$; $48-r=5r$ נותן $r=8$.

רביע רביעי, $(r,-r)$: $|3r-4r-48|=r+48=5r$, ולכן $r=12$. ברביע השלישי $|-7r-48|=7r+48=5r$ - אין פתרון.

שני מעגלים ברביעים שונים, למשל:

טעות נפוצה: לכתוב את המרכז ברביע השני כ-$(r,-r)$ - ברביע השני $x<0$ ו-$y>0$, ולכן המרכז $(-r,r)$.

בונים את המישור מהנקודות הידועות B, C, D:

נורמל $\vec n=(a,b,c)$ (אחרי חלוקה: $(2,1,-2)$ ו-$(0,1,-1)$):

$b=c$, ואז $2a-c=0$, כלומר $a=\frac c2$. עם $c=2$: $\vec n=(1,2,2)$.

$x+2y+2z+d=0$, ומהצבת C: $2+0+2+d=0$, $d=-4$:

בדיקה: B: $-2-4+10-4=0$; D: $-2+8-2-4=0$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של $d$ ולכתוב $x+2y+2z+4=0$ - מישור מקביל שאינו עובר דרך הנקודות. הצבה של נקודה נוספת חושפת את הטעות.

A במישור:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם 2 של $y$ ולכתוב $-6+p+6-4=0$, כלומר $p=4$.

עם $p=2$: $A(-6,2,3)$.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, ולכן ABCD מקבילית.

צלעות סמוכות שוות - מעוין.

מעוין עם זווית ישרה - ריבוע.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{DC}$ כ-$D-C$ ולקבל $(-4,4,-2)$, ואז להסיק שהצלעות אינן מקבילות באותו כיוון - וקטור מ-D ל-C הוא $C-D$.

שטח הבסיס: ריבוע שצלעו 6, $S_{ABCD}=36$.

נקודה כללית על הישר: $S(t,-2+t,-1+t)$. מרחקה מהמישור $x+2y+2z-4=0$:

$t=5$: $S(5,3,4)$; $t=-1$: $S(-1,-3,-2)$.

(C מתקבלת ב-$t=2$, ושם המרחק 0.)

טעות נפוצה: לשכוח את המכנה $\sqrt{1+4+4}=3$ ולפתור $|5t-10|=5$, כלומר $t=3$ או $t=1$.

וקטור הכיוון של SC, $(1,1,1)$, הוא נורמל של $\pi$.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת הסינוס (של זווית בין ישר למישור) עם $(1,1,1)$ ו-$(1,2,2)$ ולקבל $\sin\theta=\frac{5}{3\sqrt3}$, כלומר $\theta\approx74.21^\circ$ - כאן מבקשים זווית בין שני מישורים, ולכן קוסינוס בין הנורמלים.

זה אנך אמצעי לקטע שבין הראשית לנקודה $(-3,3)$.

$z-(-3+3i)=(x+3)+i(y-3)$:

טעות נפוצה: לכתוב $z-(-3+3i)=(x-3)+i(y-3)$. חיסור של $-3$ הוא חיבור: $x+3$.

נוסחת השורשים:

$18i=(3+3i)^2$ (בדיקה: $9+18i-9=18i$ ✓).

הנקודות $(0,3)$ ו-$(-3,0)$. הצבה ב-$y=x+3$: $3=0+3$ ✓, $0=-3+3$ ✓.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן במקדם: $-b=-(3-3i)=-3+3i$, לא $3-3i$. כך מתקבלים $3$ ו-$-3i$, שאינם על הישר.

הריבוע: $-3$, $3i$, $3$, $-3i$ - על המעגל $|z|=3$, בארגומנטים $180^\circ,90^\circ,0^\circ,270^\circ$.

הסיבוב (כפל ב-$cis\,\alpha$) מוסיף ארבע נקודות על אותו מעגל. ל-$z^8=b$ יש 8 פתרונות - קודקודי מתומן משוכלל, במרווחים של $45^\circ$.

שמונה נקודות שונות חייבות להיות כל הפתרונות, ולכן $\alpha=45^\circ$ ($\alpha=0^\circ,90^\circ$ נותנים רק 4 נקודות).

(גם מ-$z=-3$: $(-3)^8=6561$.)

טעות נפוצה: לחשב $b=(-3)^8=-6561$. חזקה זוגית של מספר שלילי חיובית.

הנקודות על $|z|=3$, בארגומנטים $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$ ו-$10^\circ,100^\circ,190^\circ,280^\circ$.

מהנקודה $z=3$ (ארגומנט 0): $b=3^n$ ממשי חיובי, ולכן לכל ארגומנט $\theta$ צריך $n\theta$ כפולה של $360^\circ$.

$\theta=10^\circ$: $10n$ כפולה של 360, כלומר $n$ כפולה של 36. אז גם $90n$, $100n$, ... כפולות של 360.

$n=36$, $b=3^{36}$.

טעות נפוצה: לחשוב שמספיק ש-$n$ יהיה כפולה של 8 ולענות $n=16$. אז $10n=160$ אינו כפולה של 360, והנקודות המסובבות אינן פתרונות.

$e^{a+2x^3}>0$ לכל $x$, ו-$x^2>0$ לכל $x\neq0$. לכן $f(x)>0$ לכל $x\neq0$ ($f(0)=0$).

טעות נפוצה: לענות $x>0$ (כאילו $x^3$ במעריך קובע את הסימן) - $x^2>0$ לכל $x\neq0$ והחזקה של $e$ חיובית תמיד, ולכן $f>0$ גם עבור $x<0$.

הנגזרת של $e^{a+2x^3}$ היא $6x^2e^{a+2x^3}$:

$f'(x)=0$: $x=0$ או $x^3=-\frac13$, $x=-\sqrt[3]{\frac13}\approx-0.693$.

- $x<-\sqrt[3]{\frac13}$: $x<0$ ו-$1+3x^3<0$, $f'>0$ (עולה).

- $-\sqrt[3]{\frac13}<x<0$: $x<0$ ו-$1+3x^3>0$, $f'<0$ (יורדת).

- $x>0$: $f'>0$ (עולה).

מקסימום ב-$x=-\sqrt[3]{\frac13}$, מינימום ב-$x=0$.

טעות נפוצה: לפתור $1+3x^3=0$ ולקבל $x=\sqrt[3]{\frac13}$ חיובי - $x^3=-\frac13$, והשורש השלישי של מספר שלילי הוא שלילי.

האפסים של $f'$: $x_0=-\sqrt[3]{\frac13}$ ו-$0$. משמאל ל-$x_0$ ומימין ל-0 הגרף של $f'$ חיובי ואינו חוזר לציר, ולכן השטח הכלוא הוא בין $x_0$ ל-0, שם $f'<0$:

$e^{a-\frac23}=e^{\frac13}$, ולכן $a=1$.

טעות נפוצה: לחשב $f(0)-f(x_0)$ ולקבל שטח שלילי - שטח הוא תמיד חיובי; כש-$f'<0$ לוקחים את הערך המוחלט של האינטגרל.

עבור $f(x)=x^2e^{1+2x^3}$:

- $f\ge0$, ומתאפסת רק ב-0.

•מקסימום ב-$x=-\sqrt[3]{\frac13}$: $f=\left(\frac13\right)^{\frac23}e^{\frac13}\approx0.67$. מינימום $(0,0)$.

- $x\to-\infty$: $e^{1+2x^3}\to0$ מהר יותר מש-$x^2$ גדל, $f\to0$ מלמעלה ($y=0$ אסימפטוטה משמאל).

- $x\to\infty$: $f\to\infty$.

טעות נפוצה: לצייר אסימפטוטה $y=0$ מימין כמו ב-$x^2e^{-x^3}$ - כאן המעריך $1+2x^3$ גדל עם $x$, ולכן $f$ דועכת דווקא משמאל.

$g'=f>0$ לכל $x\neq0$, ו-$g'(0)=0$ בנקודה בודדת בלי החלפת סימן. לכן $g$ עולה בכל התחום.

טעות נפוצה: לענות "עולה עבור $x>0$ ויורדת עבור $x<0$" לפי הסימן של $x$ - הסימן של $g'$ הוא הסימן של $f$, שחיובית משני צדי 0.

$g''=f'$, ונקודות הפיתול של $g$ הן הנקודות שבהן $f'$ מחליפה סימן - נקודות הקיצון של $f$: $x=-\sqrt[3]{\frac13}$ ו-$x=0$. שתי נקודות פיתול.

טעות נפוצה: לספור רק את $x=-\sqrt[3]{\frac13}$ ולפסול את $x=0$ כי שם $g'=0$ - $g'$ לא מחליפה סימן ב-0, ולכן זו נקודת פיתול עם משיק אופקי ולא קיצון.

$g$ עולה, ולכן הערך הגבוה בנקודת הפיתול הימנית, $x_B=0$.

הנגזרת של $e^{1+2x^3}$ היא $6x^2e^{1+2x^3}$, ולכן:

טעות נפוצה: לבחור את B ב-$x=-\sqrt[3]{\frac13}$ כי שם $f$ מקסימלית - B נבחרת לפי הערך של $g$, ו-$g$ עולה, ולכן הנקודה הימנית.

$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$.

המכנה $1+\ln x$ חייב להיות שונה מ-0: $\ln x\neq-1$, כלומר $x\neq e^{-1}=\frac1e$.

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq\frac1e$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=1$ (כמו כש-$\ln x$ לבדו במכנה) ולכתוב $0<x\neq1$ - כאן המכנה $1+\ln x$, והוא מתאפס כש-$\ln x=-1$, כלומר ב-$x=\frac1e$.

נפרק: $f(x)=\frac{2-(1+\ln x)}{1+\ln x}=\frac2{1+\ln x}-1$.

כש-$x\to\frac1e$: $1+\ln x\to0$ ו-$\frac2{1+\ln x}\to\pm\infty$. אסימפטוטה אנכית $x=\frac1e$ (משמאל $f\to-\infty$, מימין $f\to+\infty$).

כש-$x\to\infty$: $\ln x\to\infty$, $\frac2{1+\ln x}\to0$, ולכן $f\to-1$. אסימפטוטה אופקית $y=-1$.