מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 10 ברמת בגרות

המעגלים משיקים מבחוץ: $r+R=8$. היחס $1:3$ ו-$r<R$, ולכן $R=3r$:

משוואת המעגל שמרכזו $N(10,0)$: $(x-10)^2+y^2=36$.

$M(a,0)$ במרחק 8 מ-N:

שני הערכים חיוביים: $(x-2)^2+y^2=4$ או $(x-18)^2+y^2=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $R=\frac13r$ (להפוך את היחס) - הנתון $r<R$ קובע שהרדיוס הגדול הוא $R$, ולכן $R=3r$.

$a<10$, ולכן $a=2$: המעגל הקטן $(x-2)^2+y^2=4$ עובר בראשית ובנקודה $(4,0)$, והגדול $(x-10)^2+y^2=36$ מ-$x=4$ עד $x=16$. נקודת ההשקה $(4,0)$.

למעגלים המשיקים מבחוץ יש שלושה משיקים משותפים: המשיק בנקודת ההשקה (אנכי, כי קו המרכזים אופקי), ושני משיקים חיצוניים, סימטריים ביחס לציר ה-$x$, שנחתכים על ציר ה-$x$ משמאל למעגל הקטן.

ממשולשים דומים: $\frac{PM}{PN}=\frac26$ ו-$PN=PM+8$, ולכן $PM=4$ ו-$P(-2,0)$.

טעות נפוצה: לצייר ארבעה משיקים משותפים - כשהמעגלים משיקים, שני המשיקים שחוצים את קו המרכזים מתלכדים למשיק אחד בנקודת ההשקה.

נקודת ההשקה על קו המרכזים, במרחק $r=2$ מ-$M(2,0)$ לכיוון N: $(4,0)$.

הרדיוס אופקי, והמשיק מאונך לו, ולכן המשיק אנכי:

טעות נפוצה: לקחת את נקודת ההשקה במרחק $R=6$ מ-M, כלומר $(8,0)$ - המרחק 6 נמדד מהמרכז N: $10-6=4$.

מרחק כל מרכז מהמשיק שווה לרדיוס שלו:

מחלקים: $|10m+n|=3|2m+n|$.

באותו סימן: $10m+n=6m+3n$, כלומר $n=2m$.

בסימנים הפוכים: $10m+n=-6m-3n$, כלומר $n=-4m$, ואז $|2m-4m|=2\sqrt{m^2+1}$, כלומר $m^2=m^2+1$ - אין פתרון (זה המשיק האנכי $x=4$).

מציבים $n=2m$:

$m=\frac1{\sqrt3}$, $n=\frac2{\sqrt3}$ או $m=-\frac1{\sqrt3}$, $n=-\frac2{\sqrt3}$.

טעות נפוצה: להציב את אותו רדיוס (2) בשתי המשוואות - אז מתקבל $|10m+n|=|2m+n|$, ו-$n=-6m$, ישר שאינו משיק למעגל הגדול.

הישרים מסעיף ד: $y=\pm\frac{1}{\sqrt3}(x+2)$, שניהם עוברים ב-$(-2,0)$ וסימטריים ביחס לציר ה-$x$.

כופלים ב-$\sqrt3$: $x-\sqrt3y+2=0$. מרחק נקודה $(c,0)$ מהישר:

ומאותה סימטריה זה גם המרחק מהישר השני.

$R=6$: $\frac{|k+2|}{2}=6$, כלומר $k=10$ או $k=-14$.

$r=2$: $\frac{|t+2|}{2}=2$, כלומר $t=2$ או $t=-6$.

השקה מבחוץ: $|k-t|=8$.

$k=10,t=2$: אלה המעגלים הנתונים. $k=10,t=-6$ ו-$k=-14,t=2$: מרחק 16 - לא משיקים. $k=-14,t=-6$: מרחק 8 - מתאים.

לכן כן: $k=-14$, $t=-6$.

טעות נפוצה: לשכוח את הערך המוחלט ולקבל רק $k=10$, $t=2$ - כלומר רק את המעגלים הנתונים, ולהסיק בטעות שאין מעגלים אחרים.

$\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AD}$, ולכן מ-$E$ ל-$D$ נשאר רבע מהמקצוע: $\overrightarrow{ED}=\frac14\overrightarrow{AD}=\frac14\underline v+\frac14\underline w$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{ED}=\frac34\overrightarrow{AD}$ - $\frac34$ הוא החלק מ-$A$ עד $E$; מ-$E$ עד $D$ נשאר $\frac14$.

$\underline u$, $\underline v$ במישור $ABC$, ו-$\underline w$ מאונך לו. וקטור המקביל למישור הוא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$ בלבד, ולכן מקדם $\underline w$ מתאפס:

טעות נפוצה: לאפס את מקדם $\underline v$ ולקבל $k=\frac14$ - $\underline v$ נמצא במישור, והוא לא מוציא את הווקטור מהמישור.

$\underline u=(p,3,0)$, $\underline v=(0,n,0)$:

$DC$ מאונך למישור $z=0$, ולכן $D(0,6,h)$:

$p=6$, $h=12$: $B(6,3,0)$, $C(0,6,0)$, $D(0,6,12)$.

טעות נפוצה: להציב $\overrightarrow{BD}=B-D$ ולקבל $p=-6$ - וקטור מ-$B$ ל-$D$ הוא $D-B$.

הבסיס $ABC$ במישור $z=0$: $AC$ על ציר ה-$y$ באורך 6, והמרחק של $B$ מציר ה-$y$ הוא 6:

הגובה הוא $DC=12$:

טעות נפוצה: לקחת את $|\overrightarrow{BD}|$ כגובה - הגובה הוא האנך לבסיס, כלומר $DC$.

עם $k=\frac18$: $\overrightarrow{EF}=\frac18\underline u+\frac18\underline v$.

יש רכיב ב-$\underline v$, ולכן $\overrightarrow{EF}$ אינו מקביל ל-$\overrightarrow{AB}=\underline u$.

$E=\frac34D=(0,4.5,9)$ נמצאת מעל הבסיס, ו-$\overrightarrow{EF}$ מקביל למישור $ABC$, ולכן הישר $EF$ כולו במישור $z=9$, והישר $AB$ במישור $z=0$ - אין להם נקודה משותפת.

לא מקבילים ולא נחתכים - הישרים מצטלבים.

טעות נפוצה: לענות "מקבילים" כי $EF$ מקביל למישור שבו נמצא $AB$ - ישר המקביל למישור אינו בהכרח מקביל לכל ישר במישור.

האלכסונים חוצים זה את זה בראשית, ולכן $C=-z$.

האלכסונים מאונכים, ו-$B$ ברביע השני: $B$ מתקבלת מ-$A$ בסיבוב של $90^\circ$ נגד כיוון השעון (כפל ב-$i$).

$OB=\frac{BD}2=\frac{AC}4=\frac{OA}2$, ולכן גם כיווץ פי 2:

טעות נפוצה: להעתיק את היחס "פי 2" בלי לבדוק את הכיוון ולכתוב $B=2iz$. כאן האלכסון $AC$ הוא הארוך, ולכן $B$ קרובה לראשית יותר מ-$A$.

הופכי: $\frac1{R\,cis\varphi}=\frac1R\,cis(-\varphi)$:

טעות נפוצה: לכתוב את ההופכי של $\frac r2$ כ-$\frac1{2r}$. ההופכי של $\frac r2$ הוא $\frac2r$.

$\frac1r\,cis(-\theta)$ ו-$\frac1r\,cis(-\theta-180^\circ)$ נגדיים: אלכסון באורך $\frac2r$ שעובר בראשית.

$\frac2r\,cis(-\theta-90^\circ)$ ו-$\frac2r\,cis(-\theta-270^\circ)$ נגדיים: אלכסון באורך $\frac4r$.

הכיוונים שונים ב-$90^\circ$ - האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה, והמרובע מעוין:

טעות נפוצה: להניח שהמרובע של ההופכיים "דומה" למעוין המקורי באותו יחס ולחשב $\frac12\cdot\frac2r\cdot\frac1r$. בהופכיים היחס בין האלכסונים מתהפך: האלכסון הקצר הופך לארוך.

מודולים: $|w|^3=4|w|$, ו-$w\neq0$, ולכן $|w|^2=4$, $|w|=2$.

כופלים ב-$w$:

הפתרונות: $w=2\,cis(90^\circ k)$, $k=0,1,2,3$, כלומר $2,\ 2i,\ -2,\ -2i$ (כל אחד מקיים $|w|=2$, ולכן גם את המשוואה המקורית).

טעות נפוצה: לחבר את הערכים המוחלטים של הפתרונות במקום את המספרים עצמם ולקבל $2+2+2+2=8$. סכום מספרים מרוכבים הוא סכום וקטורי: $2+2i+(-2)+(-2i)=0$.

הקודקודים $\pm2$ ו-$\pm2i$ יוצרים ריבוע שאלכסוניו באורך 4:

טעות נפוצה: לחשב את שטח הריבוע כ-$4^2=16$, כאילו 4 הוא אורך הצלע. 4 הוא אורך האלכסון; הצלע היא $2\sqrt2$.

המכנה מתאפס כאשר $e^x=-a$.

$a>0$: $-a<0$, ו-$e^x>0$ תמיד - המכנה לא מתאפס. התחום: כל $x$.

$a<0$: $-a>0$, ויש פתרון $x=\ln(-a)$. התחום: $x\neq\ln(-a)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq\ln a$ עבור $a<0$. המשוואה היא $e^x=-a$, ולכן הנקודה היא $\ln(-a)$ - ומוגדרת דווקא כש-$a$ שלילי.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, $f\to\frac{0}{0+a}=0$. אסימפטוטה $y=0$.

$x\to+\infty$: מחלקים ב-$e^x$:

אסימפטוטה $y=1$, עבור כל $a\neq0$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול ב-$-\infty$ כ-$\frac1a$ (להציב $e^x\to1$). כש-$x\to-\infty$, $e^x\to0$.

סימן הנגזרת הוא סימן $a$.

$a>0$: עולה לכל $x$. $a<0$: יורדת בכל אחד מהתחומים $x<\ln(-a)$, $x>\ln(-a)$.

טעות נפוצה: לכתוב "יורדת לכל $x$" עבור $a<0$. הפונקציה לא מוגדרת ב-$\ln(-a)$, ולכן תחומי הירידה הם שני תחומים נפרדים.

$a=2$: מוגדרת לכל $x$ ועולה מ-0 (משמאל) ל-1 (מימין). גרפים I ו-III ללא אסימפטוטה אנכית, אבל I יורד. לכן III.

$a=-2$: אסימפטוטה אנכית ב-$x=\ln2>0$ ושני ענפים יורדים. גרף II - האסימפטוטה בצד השלילי. גרף IV - בצד החיובי, וענף ימני שיורד אל $y=1$. לכן IV.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II עבור $a=-2$. צורת הענפים זהה, אבל האסימפטוטה צריכה להיות ב-$\ln2>0$, מימין לציר ה-$y$.

$f(x)=\frac{e^x}{e^x-2}$ מוגדרת ל-$x\neq\ln2$. בנוסף $f(x)\neq3$:

התחום: $x\neq\ln2$, $x\neq\ln3$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים בלי לכפול את כל המכנה: $e^x=3e^x-2$, ולקבל $x=\ln1=0$.

ב-$x=\ln3$ המכנה של $g$ מתאפס והמונה 1: אסימפטוטה $x=\ln3$.

ב-$x=\ln2$: $f\to\pm\infty$, ולכן $g\to0$ - נקודה חסרה $(\ln2,0)$, לא אסימפטוטה.

$x\to-\infty$: $f\to0$, $g\to\frac{1}{0-3}=-\frac13$.

$x\to+\infty$: $f\to1$, $g\to\frac{1}{1-3}=-\frac12$.

טעות נפוצה: להציב $f\to0$ בשני הכיוונים ולקבל אסימפטוטה אופקית אחת $y=-\frac13$. כש-$x\to+\infty$, $f\to1$, ולכן מימין $y=-\frac12$.

מתוך גרף IV ($f$ עבור $a=-2$):

$x<\ln2$: $f$ יורדת מ-0 ל-$-\infty$; $f-3$ שלילי ויורד ל-$-\infty$; $g$ עולה מ-$-\frac13$ ל-0 (שלילית).

$\ln2<x<\ln3$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ ל-3; $f-3$ חיובי ויורד ל-0; $g$ עולה מ-0 ל-$+\infty$.

$x>\ln3$: $f$ יורדת מ-3 ל-1; $f-3$ שלילי, מ-0 ל-$-2$; $g$ עולה מ-$-\infty$ ל-$-\frac12$.

בסקיצה: אסימפטוטות $x=\ln3$, $y=-\frac13$ (שמאל), $y=-\frac12$ (ימין), ועיגול ריק ב-$(\ln2,0)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$g$ יורדת כי $f$ יורדת. $g=\frac{1}{f-3}$: כשהמכנה יורד, $g$ עולה (בכל תחום שבו המכנה לא מחליף סימן).

בקטע $[-4,-2]$ (משמאל ל-$\ln2$): $-\frac13<g(x)<0$, ולכן

בקטע $[2,4]$ (מימין ל-$\ln3\approx1.1$): $g(x)<-\frac12$, ולכן

האינטגרל השמאלי גדול מ-$-\frac23$, והימני קטן מ-$-1$. השמאלי גדול יותר, והטענה לא נכונה.

טעות נפוצה: להשוות "שטחים" ולשכוח את הסימן. שני האינטגרלים שליליים, והאינטגרל עם השטח הגדול יותר מתחת לציר הוא הקטן יותר.