מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 8 ברמת בגרות

מרכז של מעגל שעובר ב-A וב-B נמצא במרחק שווה משתי הנקודות (הרדיוס), ולכן על האנך האמצעי לקטע AB. כל נקודה על האנך האמצעי היא מרכז של מעגל כזה.

אמצע הקטע:

שיפוע AB:

שיפוע מאונך: $m=-1$.

המקום הגאומטרי: $x+y-4=0$.

טעות נפוצה: לשכוח להחליף את השיפוע ולהעביר דרך האמצע ישר בשיפוע 1: $y-4.5=x+0.5$, כלומר $y=x+5$ - זה הישר AB עצמו, לא האנך האמצעי. שני ישרים מאונכים מקיימים $m_1\cdot m_2=-1$.

המוקדים של אליפסה קנונית הם $(-c,0)$ ו-$(c,0)$, סימטריים ביחס לציר ה-$y$.

הם נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-$x$, כלומר מיתר של המעגל. מרכז המעגל על האנך האמצעי למיתר הזה - ציר ה-$y$.

המרכז נמצא גם על הישר מסעיף א:

(בדיקה: $MA=\sqrt{(-4)^2+(1-4)^2}=5$.)

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולקבל $M(4,0)$ - המרכז נמצא על ציר הסימטריה של המוקדים, ציר ה-$y$, ולא על ציר ה-$x$.

משוואת המעגל: $x^2+(y-4)^2=25$.

חיתוך עם ציר ה-$x$:

המוקדים $(\pm3,0)$, $c=3$.

$2a=2R=10$, ולכן $a=5$, ו-$b^2=a^2-c^2=25-9=16$.

טעות נפוצה: לקחת $a=10$ (הקוטר כולו) ולקבל $b^2=100-9=91$, כלומר $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{91}=1$ - הציר הראשי הוא $2a$, ולכן $a$ הוא חצי ממנו, $a=5$.

הישר הוא $x=-3$, והמוקד הימני $F(3,0)$.

חיתוך עם האליפסה:

$TQ=\frac{32}{5}$.

חיתוך עם המעגל:

$KL=8$.

לשני המשולשים קודקוד משותף F ובסיס על אותו ישר, ולכן אותו גובה ($3-(-3)=6$). יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

טעות נפוצה: לחשב את היחס הפוך ($\frac{S_{TQF}}{S_{KLF}}=\frac45$) - בשאלה המשולש KLF במונה.

$\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AS}=\underline u-\underline w$:

$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AS}=\underline u+\underline v-\underline w$:

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AN}$ (נקודת ההתחלה פחות נקודת הסיום) ולקבל את הווקטור הנגדי $\left(\frac35-k\right)\underline u-k\underline v+\left(k-\frac35\right)\underline w$.

$|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=a$, ושלושת הווקטורים מאונכים זה לזה (בסיס ריבוע, AS גובה). לכן:

משווים ל-$\frac{6}{25}a^2$:

$k=\frac25$.

טעות נפוצה: לפתוח $\left(k-\frac35\right)^2=k^2-\frac{9}{25}$. אז $3k^2=\frac{24}{25}$ ויוצא $k=\frac{2\sqrt2}{5}\approx0.57$.

הצלע 10 ו-$AS=10$: $D(10,0,0)$, $S(0,0,10)$, $C=B+\overrightarrow{AD}=(10,10,0)$.

$\overrightarrow{SC}=(10,10,-10)$:

$\overrightarrow{SD}=(10,0,-10)$:

טעות נפוצה: למדוד את $\frac35$ מ-D: $D+\frac35\overrightarrow{DS}=(4,0,6)$ - נקודה אחרת על המקצוע.

$\overrightarrow{BE}=(6,-10,4)$, $\overrightarrow{BN}=(4,-6,6)$; אפשר לצמצם ל-$(3,-5,2)$ ו-$(2,-3,3)$.

נורמל $(a,b,c)$:

מכפילים את הראשונה ב-3 ואת השנייה ב-2 ומחסרים: $5a-9b=0$. בוחרים $a=9$, $b=5$, ואז $2c=5b-3a=-2$, $c=-1$.

$9x+5y-z+d=0$; הצבת $B(0,10,0)$: $50+d=0$.

בדיקה: $E$: $54-4-50=0$; $N$: $36+20-6-50=0$.

טעות נפוצה: לקבל $c=+1$ מטעות סימן ולכתוב $9x+5y+z-50=0$; הצבת E נותנת $54+4-50=8\ne0$.

הבסיס ENB משותף, ולכן היחס בין הנפחים הוא היחס בין המרחקים של S ושל C מהמישור ENB.

$d_S<d_C$, ולכן $V_{SENB}<V_{CENB}$, והיחס $60:90=2:3$.

(זה מתאים ל-$SN:NC=2:3$: N נמצאת במישור ומחלקת את SC ביחס הזה.)

טעות נפוצה: להניח שהנפחים שווים "כי N על SC". הם שווים רק כש-N היא אמצע SC; כאן $k=\frac25$.

$-8-6i-\bar z$ הוא הצמוד של $-8+6i-z$:

מעגל שמרכזו $(-8,6)$ ורדיוסו 4.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב רדיוס 16 - המשוואה נותנת את ריבוע הערך המוחלט.

$z_M=-8+6i$, $|z_M|=10$, ולכן $|z_A|=5$.

אותו ארגומנט: $z_A$ הוא $z_M$ כפול מספר ממשי חיובי:

טעות נפוצה: לחשב את הארגומנט כ-$\tan^{-1}\left(\frac{6}{-8}\right)$ במחשבון ולקבל זווית ברביע הרביעי, ומשם $z_A=4-3i$ - $M$ ברביע השני.

$z_4=z_1q^3$:

$2=2\,cis\,0^\circ$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $z_4=z_1q^4$ (לספור ארבעה צעדים) ולפתור $q^4=2$ - מהאיבר הראשון לרביעי יש שלוש הכפלות במנה.

$z_k\bar z_k=|z_k|^2$, ו-$|z_k|=|z_1|\cdot|q|^{k-1}=5\cdot(\sqrt[3]{2})^{k-1}$:

סדרה הנדסית ממשית: איבר ראשון 25 ומנה $\sqrt[3]{4}$. ו-$(\sqrt[3]{4})^9=4^3=64$:

טעות נפוצה: להשתמש במנה $\sqrt[3]{2}$ של הערכים המוחלטים במקום במנה $\sqrt[3]{4}$ של ריבועיהם - מתקבל $25\cdot\frac{2^3-1}{\sqrt[3]2-1}=\frac{175}{\sqrt[3]2-1}\approx673.3$.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והמכנה לא מתאפס: $\ln x\ne\ln a$, כלומר $x\ne a$.

תחום ההגדרה: $0<x<a$ או $x>a$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne\ln a$ - המכנה מתאפס כש-$\ln x=\ln a$, כלומר כש-$x=a$.

אנכית: ב-$x=a$ המכנה 0 והמונה $3\ln a\ne0$: $x=a$.

אופקית: מחלקים ב-$\ln x$:

$y=2$. (כש-$x\to0^+$ גם $f\to2$, אבל זה קצה התחום, לא אסימפטוטה.)

טעות נפוצה: לכתוב $y=1$ "כמו בכל מנה של לוגריתמים" - האסימפטוטה היא יחס המקדמים של $\ln x$, כאן $\frac21$.

עם ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום - אין חיתוך.

עם ציר ה-$x$:

$\frac1{\sqrt a}<1<a$, ולכן הנקודה בתחום: $\left(\frac1{\sqrt a},0\right)$.

טעות נפוצה: לפתור $2\ln x=-\ln a$ כ-$x=-\frac a2$ - מחלקים את הלוגריתם ב-2 ($\ln x=-\frac12\ln a$), לא את $x$.

$\ln a>0$, ולכן המונה שלילי, והמכנה חיובי.

$f'<0$: $f$ יורדת ב-$0<x<a$ וב-$x>a$.

טעות נפוצה: לגזור את $2\ln x$ כ-$\frac1{2x}$ - הנגזרת היא $\frac2x$, ואז המונה יוצא $-\frac32\ln a$ במקום $-3\ln a$.

ליד $0^+$: $f\to2$ - נקודה ריקה $(0,2)$.

ענף שמאלי ($0<x<a$): יורד מ-2, חותך את ציר ה-$x$ ב-$\frac1{\sqrt a}$ ושואף ל-$-\infty$ כש-$x\to a^-$.

ענף ימני ($x>a$): מ-$+\infty$ כש-$x\to a^+$, יורד ושואף ל-2 מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי עולה מ-$-\infty$ - לפי א(4) $f$ יורדת גם שם, ולכן הוא מתחיל למעלה (ליד 2) ויורד.

בתחום $0<x<\frac1{\sqrt a}$ הענף השמאלי יורד מ-2 עד 0, ולכן $0<f(x)<2$ - בפרט $f(x)>0$.

(בדיקה בסימנים: $2\ln x+\ln a<0$ ו-$\ln x-\ln a<0$, והמנה חיובית.)

לפי א(4) $f'(x)<0$ בתחום.

פונקציה חיובית ונגזרת שלילית אינן שוות בשום נקודה - למשוואה אין פתרון בתחום, והטענה נכונה.

טעות נפוצה: לבדוק את הסימן של $f$ לפי המונה בלבד ($2\ln x+\ln a<0$) ולהסיק ש-$f<0$ - גם המכנה שלילי בתחום הזה.

צריך $f(x)>0$. המונה מתאפס ב-$\frac1{\sqrt a}$ והמכנה ב-$a$:

ב-$0<x<\frac1{\sqrt a}$ שניהם שליליים - $f>0$; ב-$\frac1{\sqrt a}<x<a$ מונה חיובי ומכנה שלילי - $f<0$; ב-$x>a$ שניהם חיוביים - $f>0$.

תחום ההגדרה של $g$: $0<x<\frac1{\sqrt a}$ או $x>a$.

טעות נפוצה: לדרוש $f(x)>1$ (כדי ש-$\ln f$ יהיה חיובי) - $\ln$ מוגדר לכל ארגומנט חיובי, גם בין 0 ל-1.

$\ln$ עולה, ולכן $g$ יורדת בשני הענפים, כמו $f$.

ענף שמאלי: $x\to0^+$: $f\to2$, $g\to\ln2$ (נקודה ריקה). $x\to\left(\frac1{\sqrt a}\right)^-$: $f\to0^+$, $g\to-\infty$ - אסימפטוטה $x=\frac1{\sqrt a}$. חיתוך עם ציר ה-$x$ כש-$f=1$.

ענף ימני: $x\to a^+$: $g\to\infty$ - אסימפטוטה $x=a$. $x\to\infty$: $f\to2^+$, $g\to\ln2$ מלמעלה - אסימפטוטה $y=\ln2$.

טעות נפוצה: לסמן אסימפטוטה $y=0$ (כמו כש-$f\to1$) - כאן $f\to2$, ולכן $g\to\ln2$.

$a<4$, ולכן הקטע $4\le x\le6$ בתחום $x>a$, שבו $f>2$ ו-$g>\ln2>0$. לכן $\int_4^6g(x)\,dx=S$.

$\ln\frac{f(x)}{2}=\ln f(x)-\ln2=g(x)-\ln2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\ln\frac f2=\frac{\ln f}{2}$ ולקבל $\frac S2$ - לוגריתם של מנה הוא הפרש לוגריתמים.

($\sqrt8=2\sqrt2\approx2.83$.)

טעות נפוצה: לכתוב רק $x>\sqrt8$ - גם מספרים שליליים שערכם המוחלט גדול מ-$\sqrt8$ נותנים $x^2>8$.

בקצוות התחום הארגומנט $x^2-8\to0^+$ והלוגריתם $\to-\infty$: אסימפטוטות אנכיות $x=\pm\sqrt8$.

כאשר $x\to\infty$: $-x$ קובע, $f\to-\infty$. כאשר $x\to-\infty$: $-x\to\infty$ וגם הלוגריתם, $f\to\infty$. אין אסימפטוטות אופקיות.

טעות נפוצה: להסיק שיש אסימפטוטה אופקית כי "$\ln$ גדל לאט" - הלוגריתם אינו מתייצב על מספר, ובוודאי ש-$-x$ אינו מתייצב.

$f'=0$ כש-$x=4$ או $x=-2$. $(-2)^2-8<0$, ולכן $x=-2$ נפסל.

בענף הימני: עבור $\sqrt8<x<4$, $(x-4)<0$ ו-$(x+2)>0$, ולכן $f'>0$; עבור $x>4$, $f'<0$. מקסימום ב-$x=4$: