מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 1 בדרך לבגרות

באליפסה $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$: $a^2=25$ גדול מ-$b^2=16$, ולכן הציר הגדול על ציר ה-$x$ והמוקדים עליו.

המוקדים: $F_1(-3,0)$, $F_2(3,0)$.

טעות נפוצה: לחשב $c^2=25+16=41$ - חיבור מתאים להיפרבולה. באליפסה מחסרים.

$E$ נמצאת על הקטע $F_1M$, ולכן האורך שלו הוא סכום שני החלקים:

לפי הנתון $EM=EF_2$, ולכן:

$E$ על האליפסה, ולפי הגדרת האליפסה סכום מרחקיה מהמוקדים קבוע ושווה $2a$:

טעות נפוצה: לחשב את $EF_1$ ואת $EF_2$ לנקודה מסוימת (למשל $E(0,4)$) ולהסיק שזה נכון תמיד - דוגמה אחת אינה הוכחה. ההוכחה נשענת על ההגדרה שתקפה לכל נקודה.

לפי ב(1) כל נקודה $M$ נמצאת במרחק קבוע, 10, מהנקודה הקבועה $F_1(-3,0)$.

אוסף הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע הוא מעגל: המרכז $F_1(-3,0)$ והרדיוס 10.

טעות נפוצה: לקחת את מרכז האליפסה (הראשית) כמרכז המעגל. המרחק הקבוע נמדד מ-$F_1$.

הזזה ימינה ב-3 מביאה את המרכז $(-3,0)$ לראשית: $x^2+y^2=100$.

כפל שיעור ה-$y$ ב-$\frac45$: נקודה $(x_0,y_0)$ עוברת ל-$(X,Y)$ עם $X=x_0$, $Y=\frac45y_0$, כלומר $y_0=\frac54Y$.

מחלקים ב-100:

העקום החדש הוא אליפסה עם $a=10$ ו-$b=8$.

טעות נפוצה: להזיז שמאלה (לכתוב $(x+6)^2+y^2=100$) - הזזה ימינה ב-3 מחליפה את $x$ ב-$x-3$, ו-$(x-3+3)^2=x^2$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $(\pm10,0)$, ואורך הבסיס 20.

הבסיס על ציר ה-$x$, ולכן הגובה מהקודקוד $(x_0,y_0)$ הוא $|y_0|$, והשטח $S=\frac{20|y_0|}{2}=10|y_0|$.

$|y_0|$ הגדול ביותר על האליפסה הוא חצי הציר הקטן, $b=8$ (בנקודות $(0,\pm8)$):

טעות נפוצה: לקחת את הגובה 10 (חצי הציר הגדול) ולקבל 100 - הגובה הוא בכיוון ציר ה-$y$, והחצי של הציר בכיוון הזה הוא 8.

$E$ אמצע $O'B$, ולכן $\overrightarrow{OE}$ הוא ממוצע הווקטורים מ-$O$ לשני הקצוות:

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}$ - זה $\overrightarrow{EA}$; וקטור מ-$A$ ל-$E$ הוא "סוף פחות התחלה".

טעות נפוצה: לשכוח להפחית את $\underline w$ בסוף ולהציג את $\overrightarrow{ON}=\frac13\underline u+\frac13\underline v+\frac13\underline w$ במקום $\vec{O'N}$.

כל מקדם של $\vec{O'K}$ הוא פי $\frac32$ מהמקדם המתאים של $\vec{O'N}$: $\frac32\cdot\frac13=\frac12$, $\frac32\cdot\left(-\frac23\right)=-1$.

$\vec{O'K}=\frac32\vec{O'N}$, ולשני הווקטורים נקודה משותפת $O'$ - לכן $K$, $N$, $O'$ על ישר אחד, ו-$O'K:O'N=3:2$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $O'K:O'N=2:3$ - $O'K$ הוא הארוך ($N$ בין $O'$ ל-$K$).

$E$ אמצע $O'B$: $E=\left(\frac{0+0}2,\frac{0+3}2,\frac{3+0}2\right)=(0,1.5,1.5)$.

$\underline u=(6,0,0)$, $\underline v=(0,3,0)$, $\underline w=(0,0,3)$, ו-$\overrightarrow{ON}=\frac13\underline u+\frac13\underline v+\frac13\underline w$:

טעות נפוצה: לחשב את $N$ כ-$\frac23$ מהדרך מ-$E$ ל-$A$: $E+\frac23(A-E)=(4,\ 0.5,\ 0.5)$. היחס $\frac23$ נמדד מ-$A$.

$A'(6,0,3)$, $B'(0,3,3)$, ו-$K$ אמצע $AB$: $K(3,1.5,0)$.

הצבה: $A'$: $6+0-6=0$; $B'$: $0+6-6=0$; $K$: $3+3-6=0$.

שלוש הנקודות אינן על ישר אחד ($K$ אינה בגובה 3), ולכן המישור היחיד שעובר דרכן הוא $x+2y-6=0$.

טעות נפוצה: להציב רק שתי נקודות - דרך שתי נקודות עוברים אינסוף מישורים, וצריך את שלושתן.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\sqrt{1+2}$ - מעלים בריבוע את המקדמים: $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$.

אמצע $A'B'$ הוא $M(3,1.5,3)$, ו-$K(3,1.5,0)$ בדיוק מתחתיו: $\overrightarrow{KM}=(0,0,3)$, ו-$\overrightarrow{KM}\cdot\vec{A'B'}=(0,0,3)\cdot(-6,3,0)=0$.

לכן $KM=3$ הוא הגובה לצלע $A'B'=\sqrt{36+9}=3\sqrt5$:

טעות נפוצה: להשתמש בגובה המנסרה כגובה הפירמידה - הגובה של $NA'KB'$ הוא המרחק מ-$N$ למישור הבסיס $A'KB'$, מסעיף ד(1).

טעות נפוצה: להשאיר את המודול 2 ולשנות רק את הארגומנט - ההופכי של מודול 2 הוא $\frac12$.

הארגומנטים: $A$ ב-$135^\circ$, $B$ ב-$225^\circ$. הזווית ביניהם $225^\circ-135^\circ=90^\circ$.

$OA=2$, $OB=\frac12$:

טעות נפוצה: לחשב את הזווית כ-$135^\circ-(-135^\circ)=270^\circ$ - זווית במשולש קטנה מ-$180^\circ$, ולכן לוקחים $360^\circ-270^\circ=90^\circ$.

$w^4=2^4\,cis(4\cdot135^\circ)=16\,cis540^\circ=16\,cis180^\circ$.

הפתרונות: $2\,cis45^\circ$, $2\,cis135^\circ$, $2\,cis225^\circ$, $2\,cis315^\circ$.

טעות נפוצה: לענות רק $z=w$ - זה אחד מארבעת הפתרונות.

$w\cdot\bar w=|w|^2=4$, ולכן $(w\bar w)^2=16=16\,cis0^\circ$.

הפתרונות: $2$, $2i$, $-2$, $-2i$.

טעות נפוצה: לשכוח את החזקה 2 על $w\bar w$ ולפתור $z^4=4$ - כך מתקבלים פתרונות במודול $\sqrt2$ במקום 2.

הארגומנטים של I: $45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ$; של II: $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$. אין חפיפה - 8 קודקודים.

לכל השמונה מודול 2, כלומר כולם על המעגל $|z|=2$, והארגומנטים שלהם הם כל הכפולות של $45^\circ$ - מרווחים שווים.

מצולע החסום במעגל שקודקודיו במרווחי קשת שווים - צלעותיו שוות וזוויותיו שוות: מתומן משוכלל.

טעות נפוצה: לספור 4 קודקודים בלבד, כאילו שתי המשוואות נותנות אותם פתרונות כי לשתיהן אותו מודול.

מחלקים את המתומן ל-8 משולשים שקודקודם בראשית: בכל אחד שתי צלעות 2 וזווית $45^\circ$.

טעות נפוצה: להשתמש בזווית $90^\circ$ (המרווח בתוך משוואה אחת) ולקבל $4\cdot\frac12\cdot4=8$ - זה שטח הריבוע של משוואה אחת בלבד.

$f$ מוגדרת לכל $x$.

$x\to-\infty$: $e^x,e^{2x}\to0$, ולכן $f\to\frac{-5}{5}=-1$: $y=-1$. כאשר $x\to\infty$, $f\to\infty$.

טעות נפוצה: לשכוח את המכנה 5 ולכתוב $y=-5$.

$(e^x-5)(e^x+1)=e^{2x}+e^x-5e^x-5=e^{2x}-4e^x-5$.

$f=0$: $e^x+1>0$, ולכן $e^x=5$, $x=\ln5$. $f(0)=\frac{(1-5)(1+1)}{5}=-\frac85$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $f(0)=-1$.

$f'(x)=\frac{2e^{2x}-4e^x}{5}=\frac{2e^x(e^x-2)}{5}$; $f'=0$ כאשר $x=\ln2$.

משמאל $f'<0$ ומימין $f'>0$ - מינימום. $f(\ln2)=\frac{4-8-5}{5}=-\frac95$.

טעות נפוצה: לפתור $2e^x=4$ כ-$e^x=\frac12$, ולקבל $\left(-\ln2,-\frac{27}{20}\right)$.

$f+1=\frac{e^x(e^x-4)}{5}<0$ עבור $x<\ln4$, ולכן משמאל הגרף מתחת ל-$y=-1$.

יורדת דרך $(0,-1.6)$ עד המינימום $(0.69,-1.8)$, עולה, חוצה את $y=-1$ ב-$\ln4$ ואת ציר ה-$x$ ב-$\ln5\approx1.61$.

טעות נפוצה: לשרטט את הגרף חוצה את $y=-1$ גם משמאל למינימום - הוא מתחת לאסימפטוטה עד $x=\ln4$.

$f(x)=0$ רק ב-$\ln5$: התחום $x\ne\ln5$, ואסימפטוטה אנכית $x=\ln5$.

$x\to-\infty$: $g\to\frac1{-1}+1=0$. $x\to\infty$: $g\to0+1=1$.

טעות נפוצה: לכתוב בצד $-\infty$ אסימפטוטה $y=-1$, כלומר לשכוח את ה-$+1$.

$g=0\iff\frac1f=-1\iff f=-1\iff e^{2x}-4e^x=0\iff e^x=4$ (כי $e^x>0$), כלומר $x=\ln4$.

סקיצה: משמאל $g$ קרובה ל-0 מלמעלה, עולה עד המקסימום $\left(\ln2,\frac49\right)$, יורדת דרך $(\ln4,0)$ ושואפת ל-$-\infty$ ליד $x=\ln5$. מימין ל-$\ln5$ היא יורדת מ-$+\infty$ ומתקרבת ל-$y=1$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לפתור $\frac1f=-1$ כ-$f=1$ ולקבל $x=\ln(2+\sqrt{14})$.

$F(t)=\int_0^t g(x)\,dx$, $F'(t)=g(t)$.

לפי ד: $g>0$ בקטע $(0,\ln4)$ ו-$g<0$ בקטע $(\ln4,\ln5)$. לכן $F$ עולה עד $\ln4$ ויורדת אחריו, והמקסימום ב-$t=\ln4$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמקסימום של האינטגרל ב-$t=\ln2$, נקודת המקסימום של $g$ - אבל ב-$(\ln2,\ln4)$ עדיין $g>0$ והשטח ממשיך לגדול.

$f$ מוגדרת לכל $x$.

$x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$ ו-$e^x\to0$, ולכן $f\to4$ - אסימפטוטה $y=4$.

$x\to\infty$: $f=e^x\left(e^x-4\right)+4\to\infty$ - אין אסימפטוטה בצד הזה.

טעות נפוצה: לכתוב שהאסימפטוטה $y=4$ היא כאשר $x\to\infty$ - שם $e^{2x}$ גדל בלי גבול, והגבול 4 מתקבל רק כאשר $x\to-\infty$.

$2e^x>0$, ולכן $f'=0$ כאשר $e^x=2$, $x=\ln2$. משמאל $e^x<2$ ו-$f'<0$; מימין $f'>0$ - מינימום.

$f(\ln2)=e^{2\ln2}-4e^{\ln2}+4=4-8+4=0$.

המינימום של $f$ הוא 0, ולכן $f\ge0$: הגרף נוגע בציר ה-$x$ בנקודה $(\ln2,0)$, ושם הנגזרת 0 - המשיק הוא ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln2}=2$ (לשכוח את החזקה 2) ולקבל $f(\ln2)=2-8+4=-2$ - ואז הגרף היה חוצה את ציר ה-$x$.