מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 2 בדרך לבגרות

$a^2=100$, $b^2=36$, ולכן $a=10$, $b=6$.

המוקד השמאלי: $F(-8,0)$. האליפסה חותכת את החלק השלילי של ציר ה-$x$ ב-$(-10,0)$.

הרדיוס: $r=10-8=2$.

טעות נפוצה: לכתוב $(x-8)^2+y^2=4$ - המרכז $(-8,0)$, ובמשוואת המעגל מחסרים את השיעור: $x-(-8)=x+8$.

$B(0,-6)$.

$DF$ הוא רדיוס: $DF=2$, ולכן $BD=10-2=8$.

טעות נפוצה: לקחת $BD=2$ כי "D על המעגל" - הרדיוס הוא המרחק מהמרכז $F$, כלומר $DF$.

$D$ נמצאת $\frac45$ מהדרך מ-$B$ ל-$F$:

בדיקה: $(-6.4+8)^2+(-1.2)^2=2.56+1.44=4$.

טעות נפוצה: לקחת $\frac15$ מהדרך מ-$B$ ולקבל $(-1.6,-4.8)$ - זו הנקודה הקרובה ל-$B$, ולא $D$.

שיפוע הרדיוס $FD$:

המשיק מאונך לרדיוס: $m=\frac43$.

טעות נפוצה: להציב את $D$ עם סימנים הפוכים, $y-1.2=\frac43(x-6.4)$, ולקבל $4x-3y-22=0$. הנקודה היא $(-6.4,-1.2)$, ולכן מחסרים מספרים שליליים.

טעות נפוצה: להציב $y=6$ במקום $y=-6$ ולקבל $\frac{|-18+22|}{5}=0.8$ - $B$ על החלק השלילי של ציר ה-$y$.

מרכז הריבוע נמצא במרחק חצי צלע מכל צלע. לפי סעיף ד המרחק הוא 8, ולכן אורך הצלע $2\cdot8=16$.

הצלע המקבילה נמצאת מעבר ל-$B$, גם היא במרחק 8 ממנה. משוואתה $4x-3y+c=0$.

נציב את $B$ בביטוי $4x-3y$: מתקבל $18$. על המשיק $4x-3y=-22$. $B$ באמצע בין שני הישרים, ולכן על הישר השני:

בדיקה: המרחק בין הישרים $\frac{|22-(-58)|}{5}=16$.

טעות נפוצה: לקחת את הישר $4x-3y+102=0$ (במרחק 16 מהמשיק, בצד השני) - הוא לא עובר מעבר ל-$B$, ו-$B$ לא תהיה בתוך הריבוע.

המישורים מקבילים רק אם הנורמלים $\underline n_1=(k+3,1,k+2)$ ו-$\underline n_2=(k+1,1,1)$ מקבילים, כלומר $\underline n_1=t\underline n_2$.

הרכיב השני: $1=t$. הרכיב הראשון: $k+3=k+1$ - סתירה.

לכן לכל $k$ המישורים אינם מקבילים (ונחתכים בישר).

טעות נפוצה: לנסות להשוות את הנורמלים ($k+3=k+1$ וגם $k+2=1$) ולהסיק מ-$k=-1$ שהם מקבילים - כל הרכיבים חייבים להתאים באותו מקדם, וכבר הרכיב הראשון נכשל.

ב-$k=1$: $\pi_1: 4x+y+3z-2=0$, $\pi_2: 2x+y+z+6=0$.

וקטור כיוון של ישר החיתוך מאונך לשני הנורמלים. בודקים:

הווקטור מאונך לשני הנורמלים, ולכן הוא מקביל לישר החיתוך.

טעות נפוצה: לבדוק מאונכות לנורמל אחד בלבד - וקטור שמאונך לנורמל אחד מקביל רק למישור אחד, ולא בהכרח לישר החיתוך.

נקודה על הישר: מציבים $x=0$:

מחסרים: $2z=8$, $z=4$, $y=-10$. הנקודה $(0,-10,4)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן במעבר אגפים ($y+z=6$ במקום $-6$) - הנקודה שמתקבלת לא תקיים את $\pi_2$. כדאי להציב את הנקודה בשתי המשוואות לבדיקה.

$\underline n_1=(4,1,3)$, $\underline n_2=(2,1,1)$:

טעות נפוצה: לחשב $|\underline n_1|=\sqrt{4+1+3}$ - בגודל וקטור מעלים כל רכיב בריבוע: $\sqrt{16+1+9}$.

$P$: $x=0$ על $\ell_1$, כלומר $t=0$: $P(0,-10,4)$.

$A$: $x=z=0$ ב-$\pi_1$: $y-2=0$, $A(0,2,0)$. $B$: $x=z=0$ ב-$\pi_2$: $y+6=0$, $B(0,-6,0)$.

הבסיס $AB$ על ציר ה-$y$: $AB=2-(-6)=8$. הגובה מ-$P$ לציר ה-$y$ במישור $[yz]$: $|z_P|=4$.

טעות נפוצה: לקחת גובה $|y_P|=10$ - הגובה לבסיס שעל ציר ה-$y$ נמדד בכיוון ציר ה-$z$.

נציב $z=x+yi$: $x^2-y^2+2xyi=-3+4i$.

$x^2-y^2=-3$, $xy=2$, ו-$x^2+y^2=|-3+4i|=5$.

$2x^2=2$, $x^2=1$; $2y^2=8$, $y^2=4$. $xy=2>0$, ולכן $x$ ו-$y$ באותו סימן: $z=1+2i$ או $z=-1-2i$.

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי $xy>0$ ולענות ארבעה פתרונות, כולל $1-2i$ - אבל $(1-2i)^2=-3-4i$.

$a_1=-1$, $a_2=1$.

I: $|z-(-i)|=1$ - מעגל שמרכזו $(0,-1)$ ורדיוסו 1.

II: $|z-i|=1$ - מעגל שמרכזו $(0,1)$ ורדיוסו 1.

שני המעגלים עוברים בראשית (המרחק של כל מרכז ממנה הוא 1).

טעות נפוצה: לשים את המרכזים בנקודות $(-1,0)$ ו-$(1,0)$ - המספר $ia_1=-i$ מיוצג על ידי הנקודה $(0,-1)$.

נקודה על הישר $y=x$: $z=x+xi$.

מעגל II: $x^2+(x-1)^2=1$, כלומר $2x^2-2x=0$, $2x(x-1)=0$: $x=0$ או $x=1$. הנקודות: $0$ ו-$1+i$.

מעגל I: $x^2+(x+1)^2=1$, כלומר $2x^2+2x=0$: $x=0$ או $x=-1$. הנקודות: $0$ ו-$-1-i$.

טעות נפוצה: לחלק את $2x^2-2x=0$ ב-$x$ ולאבד את הפתרון $x=0$ - הראשית היא נקודת חיתוך של הישר עם שני המעגלים.

$w_1\cdot\overline{w_1}=(1+i)(1-i)=1-i^2=2$, ובאותו אופן $w_2\cdot\overline{w_2}=(-1-i)(-1+i)=2$ (תמיד $w\cdot\overline w=|w|^2$).

$z^3=2\cdot2=4=4\,\mathrm{cis}\,0^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $w\cdot w$ במקום $w\cdot\overline w$: $(1+i)^2=2i$, ואז $z^3=(2i)(2i)=-4$ ו-$z=\sqrt[3]{4}\,\mathrm{cis}\,(60^\circ+120^\circ k)$.

אנכית: המכנה $1-e^x$ מתאפס כש-$x=0$: אסימפטוטה $x=0$.

כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן $f(x)\to0-9=-9$: אסימפטוטה $y=-9$.

כש-$x\to\infty$: $f(x)\to\infty$, אין אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לקבוע $y=0$ כי $e^x\to0$ - השבר $\frac9{1-e^x}$ שואף ל-9, לא ל-0.

נכתוב $\frac9{1-e^x}=9(1-e^x)^{-1}$. לפי כלל השרשרת:

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-e^x$ ולכתוב $-\frac9{(1-e^x)^2}$.

$1-e^x=3$ נותן $e^x=-2$ - נפסל. $1-e^x=-3$ נותן $e^x=4$, $x=\ln4$.

$f'<0$ כש-$|1-e^x|<3$ (עבור $x<0$ ועבור $0<x<\ln4$), ו-$f'>0$ עבור $x>\ln4$.

טעות נפוצה: לפתור $(1-e^x)^2=9$ כ-$e^x=-2$ בלבד ולהסיק שאין קיצון - יש שני מקרים, $1-e^x=\pm3$.

ענף שמאלי ($x<0$): צמוד לאסימפטוטה $y=-9$ ויורד ל-$-\infty$ כש-$x\to0^-$.

ענף ימני ($x>0$): יורד מ-$+\infty$ ליד $x=0^+$ למינימום $(\ln4,7)$ ועולה ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים דרך $x=0$ - שם יש אסימפטוטה אנכית, והגרף לא עובר בה.

ומצד שני $f(x)=e^x-\frac9{1-e^x}=e^x+\frac9{e^x-1}$. לכן $F'(x)=f(x)$.

($F$ מוגדרת רק כש-$e^x-1>0$, כלומר $x>0$.)

טעות נפוצה: לגזור $9\ln(e^x-1)$ כ-$\frac9{e^x-1}$ ואז "לא להצליח" להגיע ל-$f$ - חסרה הנגזרת הפנימית $e^x$.

בתחום הזה $f(x)\ge7>0$, ולכן השטח הוא האינטגרל:

טעות נפוצה: להציב $e^{\ln10}-1=\ln10-1$ - צריך $e^{\ln10}=10$, ולכן $\ln(e^{\ln10}-1)=\ln9$.

$x>0$. המכנה $\ln x(\ln x-2)=0$ כאשר $\ln x=0$ או $\ln x=2$: $x=1$ או $x=e^2$.

תחום: $x>0$, $x\ne1$, $x\ne e^2$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה $(\ln x)^2=2\ln x$ ב-$\ln x$, לקבל רק $\ln x=2$ ולהוציא מהתחום רק את $x=e^2$.

אנכיות: $x=1$ ו-$x=e^2$ (המונה 1).

כאשר $x\to\infty$ המכנה $\to\infty$ ו-$f\to0$: $y=0$. כאשר $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$, המכנה $\to+\infty$ ו-$f\to0$ - נקודה ריקה $(0,0)$, לא אסימפטוטה.

טעות נפוצה: להוסיף את $x=0$ כאסימפטוטה - הגבול שם 0.

$f=\left((\ln x)^2-2\ln x\right)^{-1}$, ולכן $f'=-\frac{\frac{2\ln x}{x}-\frac2x}{\left((\ln x)^2-2\ln x\right)^2}=\frac{2-2\ln x}{x\left((\ln x)^2-2\ln x\right)^2}$.

הסימן לפי $2-2\ln x$: חיובי עבור $x<e$, שלילי עבור $x>e$.

$x=1$ אינו בתחום, ולכן העלייה בשני קטעים: $0<x<1$, $1<x<e$. ירידה: $e<x<e^2$, $x>e^2$.

מקסימום ב-$x=e$: $f(e)=\frac1{1-2}=-1$.

טעות נפוצה: לכתוב עלייה ב-$0<x<e$ כקטע אחד - ב-$x=1$ הפונקציה לא מוגדרת וקופצת מ-$+\infty$ ל-$-\infty$.

לפי א(2) ו-א(3): עבור $0<x<1$, $\ln x<0$ ו-$\ln x-2<0$, ולכן המכנה חיובי ו-$f>0$; הענף השמאלי עולה מהנקודה הריקה $(0,0)$ ל-$+\infty$.

בגרף III הענף השמאלי מתחת לציר - נפסל. בגרף I הענף האמצעי הוא "עמק" מעל הציר (מינימום), אבל ל-$f$ מקסימום שלילי $(e,-1)$ - נפסל.

לכן גרף II: ענף שמאלי חיובי ועולה, ענף אמצעי עם מקסימום $(e,-1)$, וענף ימני יורד מ-$+\infty$ ל-0.

טעות נפוצה: לבחור בגרף III מתוך הנחה שהמכנה שלילי עבור $x<1$ (כי $\ln x<0$) - שני הגורמים במכנה שליליים, והמכפלה חיובית.

שבר שווה 0 רק כשהמונה 0, והמונה כאן 1. לכן אין פתרון.

טעות נפוצה: לענות $x=0$ כי הגרף מתחיל בנקודה $(0,0)$ - זו נקודה ריקה מחוץ לתחום.

ענף שמאלי: טווח $(0,\infty)$. ענף אמצעי: עולה מ-$-\infty$ עד $-1$ ויורד - $k<-1$ פעמיים, $k=-1$ פעם אחת. ענף ימני: טווח $(0,\infty)$.

$k>0$: שני פתרונות; $-1<k\le0$: אין; $k=-1$: אחד; $k<-1$: שניים. לכן $k=-1$.