מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 12 בדרך לבגרות

המרכזים והרדיוסים: $M(6,0)$, $r=2$; $N(12,0)$, $R=4$.

המרחק בין המרכזים: $MN=12-6=6$, וסכום הרדיוסים $2+4=6$. המרחק שווה לסכום, ולכן המעגלים משיקים מבחוץ.

נקודת ההשקה על קו המרכזים, במרחק 2 מ-M לכיוון N: $(8,0)$.

טעות נפוצה: להשוות את המרחק להפרש הרדיוסים ($4-2=2$) ולהסיק שהמעגלים אינם משיקים - השקה מבחוץ נבדקת מול הסכום.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. הרדיוס מונח על ציר ה-$x$, ולכן המשיק אנכי ועובר ב-$(8,0)$:

טעות נפוצה: לכתוב $y=8$ - הישר מאונך לציר ה-$x$, ולכן ה-$x$ שלו קבוע.

נכתוב את הישר בצורה $mx-y=0$. הישר משיק למעגל כשמרחק המרכז $(6,0)$ ממנו שווה לרדיוס 2:

מעלים בריבוע:

$m=\pm\frac1{\sqrt8}=\pm\frac{\sqrt2}{4}$.

טעות נפוצה: לשכוח את המכנה $\sqrt{m^2+1}$ ולפתור $|6m|=2$, כלומר $m=\pm\frac13$.

מרחק המרכז $(12,0)$ מהישר $mx-y=0$ עם $m^2=\frac18$:

זה בדיוק הרדיוס, ולכן שני הישרים משיקים גם למעגל השני (הערך זהה לשני הסימנים של $m$).

טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{m^2+1}=m+1$ - שורש של סכום אינו סכום השורשים; $\sqrt{\frac18+1}=\sqrt{\frac98}=\frac3{\sqrt8}$.

מעגלים המשיקים מבחוץ - שלושה משיקים משותפים: המשיק בנקודת ההשקה $x=8$, ושני המשיקים מסעיפים ג-ד, שעוברים בראשית וסימטריים ביחס לציר ה-$x$.

בסקיצה: מעגל קטן מ-$x=4$ עד $x=8$, מעגל גדול מ-$x=8$ עד $x=16$, ישר אנכי ב-$x=8$, ושני ישרים מהראשית שנוגעים בשני המעגלים מלמעלה ומלמטה.

טעות נפוצה: לענות "ארבעה" כמו בשני מעגלים זרים - כשהמעגלים משיקים, שני המשיקים ה"פנימיים" מתלכדים לישר $x=8$.

$(2t,\,t,\,0)=(4,\,2+m,\,m)$.

רכיב שלישי: $m=0$. רכיב ראשון: $2t=4$, $t=2$. רכיב שני: $t=2=2+0$ ✓.

$A(4,2,0)$.

טעות נפוצה: לעצור אחרי שני רכיבים בלי לבדוק את השלישי. אם הרכיב השלישי לא מתקיים, הישרים מצטלבים ואין נקודת חיתוך.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית בין וקטורי המיקום של הנקודות (למשל בין $(4,2,0)$ ל-$(0,1,1)$). הזווית בין ישרים נקבעת רק לפי וקטורי הכיוון שלהם.

$(1,-2,2)\cdot(2,1,0)=2-2+0=0$ ו-$(1,-2,2)\cdot(0,1,1)=0-2+2=0$ - הווקטור ניצב לשני וקטורי הכיוון.

לכן הוא נורמל למישור שמכיל את שני הישרים: $x-2y+2z+d=0$.

הראשית על $\ell_1$, ולכן $d=0$:

טעות נפוצה: להציב במשוואה את רכיבי הנורמל עצמו במקום נקודה, ולקבל $x-2y+2z=9$. את $d$ מוצאים מנקודה שנמצאת על המישור - כאן הראשית.

האנך למישור הוא בכיוון הנורמל $(1,-2,2)$, שאורכו $\sqrt{1+4+4}=3$.

וקטור יחידה: $\frac13(1,-2,2)$. מתקדמים 6 יחידות לכל צד:

$S(6,-2,4)$ או $S(2,6,-4)$.

טעות נפוצה: להוסיף $6\cdot(1,-2,2)$ בלי לחלק באורך הנורמל. כך מתקבלת נקודה במרחק 18 מ-$A$.

הבסיס הוא המשולש $AOB$ שבמישור $\pi$, והגובה הוא $AS=6$.

$\overrightarrow{AO}=(-4,-2,0)$, $|\overrightarrow{AO}|=\sqrt{20}$; $\overrightarrow{AB}=(0,1,1)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt2$.

הזווית $OAB$ היא זווית בין הישרים או משלימתה, ולכן $\sin\angle OAB=\sqrt{1-\frac1{10}}=\frac3{\sqrt{10}}$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את המרחק של $S$ מהראשית. הגובה של הפירמידה הוא האנך מ-$S$ למישור הבסיס, כלומר $AS$.

$-27=27\operatorname{cis}180^\circ$. לפתרונות מודול $\sqrt[3]{27}=3$ וארגומנט $60^\circ+120^\circ k$:

טעות נפוצה: לכתוב $-27=27\operatorname{cis}0^\circ$ - מספר ממשי שלילי נמצא בזווית $180^\circ$.

שתי נקודות $P$, $Q$ (שונות מ-$O$) נמצאות על ישר אחד שעובר דרך $O$ אם ורק אם הקרניים $OP$ ו-$OQ$ מתלכדות או הפוכות, כלומר הפרש הארגומנטים הוא כפולה של $180^\circ$.

הארגומנטים הם $\alpha$ ו-$4\alpha$, וההפרש $3\alpha$, ולכן $3\alpha=180^\circ k$.

$50^\circ<\alpha<100^\circ$, ולכן $150^\circ<3\alpha<300^\circ$. הכפולה היחידה של $180^\circ$ בתחום: $3\alpha=180^\circ$, כלומר $\alpha=60^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש $3\alpha=360^\circ k$ (נקודות על אותה קרן בלבד) - ואז אין פתרון בתחום.

$w_1=r\operatorname{cis}60^\circ$ שווה לאחד הפתרונות, ולכן ל-$3\operatorname{cis}60^\circ$: $r=3$.

$w_2=2\cdot3\operatorname{cis}(4\cdot60^\circ)=6\operatorname{cis}240^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $w_2=6\operatorname{cis}60^\circ$ - הארגומנט של $w_2$ הוא $4\alpha$, לא $\alpha$.

$w_4=\frac6i=\frac{6\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}=-6i$.

$A=3\operatorname{cis}60^\circ$ ו-$C=6\operatorname{cis}240^\circ$ על קרניים הפוכות ($240^\circ-60^\circ=180^\circ$): $AC=3+6=9$.

$B=3i$ ו-$D=-6i$ על הציר המדומה משני צדי $O$: $BD=3+6=9$.

האלכסונים נחתכים ב-$O$; הזווית ביניהם היא הזווית בין $OA$ ($60^\circ$) ל-$OB$ ($90^\circ$): $30^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac6i=6i$ - ואז $B$ ו-$D$ על אותה קרן, ו-$BD=3$.

שטח מרובע קמור לפי אלכסונים והזווית ביניהם:

טעות נפוצה: לשכוח את $\sin30^\circ$ ולחשב $\frac12\cdot9\cdot9$ - הנוסחה $\frac12d_1d_2$ נכונה רק כשהאלכסונים מאונכים.

חוצה הזווית בין $OA$ ($60^\circ$) ל-$OB$ ($90^\circ$) הוא הקרן בזווית $75^\circ$, ולכן $u=2\operatorname{cis}75^\circ$.

$\bar u=2\operatorname{cis}(-75^\circ)=2\operatorname{cis}285^\circ$.

$\frac1u=\frac{1\operatorname{cis}0^\circ}{2\operatorname{cis}75^\circ}=\frac12\operatorname{cis}(-75^\circ)=0.5\operatorname{cis}285^\circ$.

לשניהם אותו ארגומנט, ולכן מחברים מודולים:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac1u=\frac12\operatorname{cis}75^\circ$ - לשכוח שבחילוק הארגומנט מתחלף בסימנו. $\frac1u=\frac12\operatorname{cis}(-75^\circ)=0.5\operatorname{cis}285^\circ$.

כלל המכפלה, עם $\left(e^{-\frac{x^2}2}\right)'=-xe^{-\frac{x^2}2}$:

$f''=0$ כש-$x^2=1$: $x=\pm1$. הסימן של $f''$ מתחלף בשתי הנקודות ($x^2-1$ משנה סימן), ולכן שתיהן נקודות פיתול.

טעות נפוצה: לגזור את $-x$ ולקבל $f''=-e^{-\frac{x^2}2}$ בלבד, בלי האיבר השני של כלל המכפלה - אז $f''$ לא מתאפסת בכלל.

$-x$ היא בדיוק הנגזרת של המעריך $-\frac{x^2}2$, ולכן האינטגרנד מהצורה $g'(x)e^{g(x)}$:

$f(0)=1$: $1+C=1$, $C=0$. לכן $f(x)=e^{-\frac{x^2}2}$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(x)=-\frac{x^2}2e^{-\frac{x^2}2}$ (לחשב "קדומה" של $-x$ ולהשאיר את $e$) - אינטגרל של מכפלה אינו מכפלת הקדומות.

כש-$x\to\pm\infty$, $e^{-\frac{x^2}2}\to0$: אסימפטוטה $y=0$.

$f'(x)=-xe^{-\frac{x^2}2}=0$ רק ב-$x=0$; $f'>0$ ל-$x<0$ ו-$f'<0$ ל-$x>0$.

$f(0)=1$: מקסימום $(0,1)$.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" לפי המינוס שב-$f'$ - סוג הקיצון נקבע מהמעבר בסימן: מפלוס למינוס זה מקסימום.

$h$ אינה מוגדרת היכן ש-$f'=0$, כלומר ב-$x=0$ בלבד.

הסימן של $h$ כסימן $f'$, והסימן של $f'=-xe^{-\frac{x^2}2}$ כסימן $-x$.

חיובית ל-$x<0$, שלילית ל-$x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב שתחום ההגדרה של $h$ הוא כל $x$, כמו של $f'$ - $h=\frac1{f'}$, והמכנה $f'(x)$ מתאפס ב-$x=0$, ולכן $x\neq0$.

לפי ד(1), $h$ חיובית משמאל לציר ה-$y$ ושלילית מימינו.

בגרף I הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$ והימני מתחתיו; בגרף II להפך.

בנוסף, כש-$x\to0$ או $x\to\pm\infty$, $f'\to0$ ולכן $|h|\to\infty$ - בשני הגרפים הענפים מתרחקים בשני הקצוות, אבל רק בגרף I הסימנים נכונים.

הגרף של $h$ הוא גרף I.

טעות נפוצה: לבחור את גרף II כי הענף הימני שלו עולה ל-$+\infty$ ליד $x=0$, "כמו $\frac1x$" - כאן $h=-\frac{e^{\frac{x^2}2}}{x}$, ולכן ליד $0^+$ היא שואפת ל-$-\infty$ ושלילית לכל $x>0$, כמו בגרף I.

$h(x)=-\frac{e^{\frac{x^2}2}}x$. נגזרת מנה:

$h'>0$ כש-$x^2<1$ ($x\neq0$), ו-$h'<0$ כש-$x^2>1$.

עלייה: $-1<x<0$, $0<x<1$; ירידה: $x<-1$, $x>1$. (הקיצונים של $h$ נמצאים בדיוק בנקודות הפיתול של $f$.)

טעות נפוצה: לגזור את $e^{\frac{x^2}2}$ כ-$e^{\frac{x^2}2}$ בלי הנגזרת הפנימית $x$ - מתקבל $h'=-\frac{e^{\frac{x^2}2}(x-1)}{x^2}$ ותחומים שגויים.

בקטע $[-2,-1]$ $x<0$, ולפי ד(1) $h(x)>0$.

האינטגרנד חיובי והגבול העליון גדול מהתחתון ($-1>-2$), ולכן האינטגרל חיובי.

טעות נפוצה: לקבוע "שלילי" כי גבולות האינטגרל שליליים - הסימן נקבע מהאינטגרנד ומסדר הגבולות, ולא מהסימן של הגבולות עצמם.

בגלל $\ln x$: $x>0$ (וזה כבר מבטיח $x\ne0$ בשבר).

טעות נפוצה: לענות $x\ge0$ - $\ln0$ אינו מוגדר.

$f'=0$ ב-$x=3$; שלילית לפני, חיובית אחרי - מינימום. $f(3)=\ln3+1$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(3)=\ln3+3$ - $\frac33=1$.

טעות נפוצה: לפרק $\frac{x+3}{x}$ ל-$1+3$ במקום $1+\frac3x$.

הערך הקטן ביותר של $f$ הוא ערך המינימום $1+\ln3>0$, ולכן $f(x)>0$ לכל $x>0$.

$g'(x)=-f(x)<0$ לכל $x>0$, ולכן $g$ יורדת בכל התחום.

טעות נפוצה: לקבוע את המונוטוניות של $g$ לפי המונוטוניות של $f$ (ולא לפי הסימן שלה) ולענות "יורדת ב-$0<x<3$ ועולה ב-$x>3$" - $g'=-f$, ולכן מה שקובע הוא הסימן של $f$, שחיובי לכל $x$.

$x+3>0$, ולכן $1-\ln x=0$: $x=e$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=1$ מ-$\ln x=1$ - $\ln x=1$ פירושו $x=e^1=e$.

עבור $x\ge1$: $\ln x\ge0$, ולכן $-\frac{\ln x}{x}\le0$, ו-$-\frac3{x^2}<0$. הסכום שלילי.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac1x\cdot\frac3x=\frac3x$ - המכפלה היא $\frac3{x^2}$.

$h<0$ בקטע, ולכן $S=\int_1^e(-h)dx$. $\int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{\ln^2x}{2}$ ($\ln x$ כפול הנגזרת שלו):

טעות נפוצה: לכתוב $\int\frac{\ln x}{x}dx=\ln(\ln x)$ - זו הקדומה של $\frac{1}{x\ln x}$, לא של $\frac{\ln x}{x}$.