מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 11 בדרך לבגרות

נוסחת המרחק של נקודה $(x,y)$ מהישר $ax+by+c=0$ היא $\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$:

הישר $\ell_2$ אנכי, והמרחק ממנו הוא ההפרש בשיעורי ה-$x$: $d_2=|x+2|$.

טעות נפוצה: לכתוב $d_2=|x-2|$ - המרחק מהישר $x=-2$ הוא $|x-(-2)|$.

משווים את המרחקים: $|3x+4y-22|=5|x+2|$.

מקרה ראשון:

מקרה שני:

טעות נפוצה: לפתור רק את המקרה שבו הביטויים שווים - שוויון ערכים מוחלטים נותן גם את המקרה הנגדי, ולכן יש שני חוצי זווית.

שיפוע $\ell_1$: $y=-\frac34x+\frac{11}2$, כלומר $-\frac34$.

שיפוע ישר מאונך הוא ההופכי הנגדי: $\frac43$.

טעות נפוצה: לקרוא את השיפוע של $\ell_1$ כ-$3$ או כ-$-\frac43$ ישירות מהמקדמים - צריך לבודד את $y$: $y=-\frac34x+\frac{11}2$.

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן M על הישר מסעיף ב(1). M גם על חוצה הזווית $y=\frac12x+8$:

בדיקה: המרחק מ-$M$ לישר $x=-2$ הוא $8+2=10$.

טעות נפוצה: לחשב את הרדיוס כמרחק מ-M לראשית או לציר ה-$y$ ($R=8$) - המעגל משיק לישר $x=-2$, לא לציר.

הצבה: $4^2=16=8\cdot2$, ולכן A על הפרבולה.

כאן $2p=8$, כלומר $p=4$. המשיק ב-$(x_0,y_0)$: $y_0y=p(x+x_0)$:

שיפוע המשיק 1, ושיפוע $\ell_1$ הוא $-\frac34$ - ישרים שונים, ולכן $\ell_1$ אינו משיק לפרבולה ב-A.

טעות נפוצה: להציב $p=8$ בנוסחת המשיק (המקדם של $x$ במשוואה) - במשוואה $y^2=2px$ המקדם הוא $2p$, ולכן $p=4$.

הפרבולה סימטרית לציר ה-$x$, ולכן נקודת ההשקה השנייה היא $(2,-4)$. המרכז במרחק שווה משתי נקודות ההשקה, ולכן על האנך האמצעי שלהן - ציר ה-$x$.

המרכז גם על הנורמל לפרבולה ב-A: שיפוע המשיק 1, ולכן שיפוע הנורמל $-1$:

חיתוך עם $y=0$: המרכז $(6,0)$.

המעגל: $(x-6)^2+y^2=32$.

טעות נפוצה: להשתמש בישר מסעיף ב(1) (המאונך ל-$\ell_1$) כנורמל - הוא מאונך ל-$\ell_1$, שאינו משיק לפרבולה, ולכן חיתוכו עם ציר ה-$x$ אינו המרכז.

הולכים מ-S ל-A, ומשם לאורך הצלעות ל-C:

(במלבן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline{v}$.)

טעות נפוצה: לכתוב $+\underline{w}$. הדרך מתחילה ב-S ויורדת ל-A, כלומר $\overrightarrow{SA}=-\underline{w}$.

$C=B+\overrightarrow{AD}=(4,0,0)+(0,6,0)=(4,6,0)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע כהפרש $\frac{D-B}{2}=(-2,3,0)$. אמצע קטע הוא ממוצע השיעורים, לא חצי מהווקטור.

המישור מכיל את AC ומקביל ל-SD, ולכן הנורמל שלו $\underline{n}=(a,b,c)$ מאונך לשני הכיוונים:

$\overrightarrow{AC}=C-A=(4,6,0)$, $\overrightarrow{SD}=D-S=(0,6,-6)$.

מהמשוואה השנייה $c=b$, ומהראשונה $a=-\frac32b$. בוחרים $b=-2$: $\underline{n}=(3,-2,-2)$.

המישור עובר דרך $A(0,0,0)$:

בדיקה: $C(4,6,0)$: $12-12-0=0$ ✓. $S(0,0,6)$ אינה במישור ($-12\neq0$), ולכן SD מקביל למישור ולא מוכל בו.

טעות נפוצה: לקחת $\overrightarrow{SD}=(0,6,6)$ (הרכיב השלישי הוא $0-6=-6$). אז $6b+6c=0$, הנורמל יוצא $(3,-2,2)$ והמישור $3x-2y+2z=0$ - שאינו מקביל ל-SD.

נקודה על SB: $S+t\left(B-S\right)=(4t,0,6-6t)$, $0\le t\le1$.

מציבים במישור:

$K(2,0,3)$ - אמצע SB.

טעות נפוצה: לפתוח את $-2(6-6t)$ כ-$-12-12t$. אז מתקבל $12t-12-12t=0$, כלומר "אין פתרון", ומסיקים בטעות שהמישור לא חותך את SB.

הווקטורים פרופורציוניים, ו-K אינה על הישר SD (שיעור ה-$x$ שלה 2, ועל SD $x=0$), ולכן הישרים מקבילים ולא מתלכדים.

זו התוצאה המוכרת: K ו-M אמצעי SB ו-BD, ולכן KM קטע אמצעים במשולש BSD.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{MK}=(0,-3,3)=-\frac12\overrightarrow{SD}$ ולהסיק שהישרים "אינם מקבילים כי הכיוונים מנוגדים". מקדם פרופורציה שלילי מתאים לישרים מקבילים - רק הכיוון על הישר מתהפך.

כופלים מונה ומכנה בצמוד של המכנה:

הרדיוס $|z_1|=\sqrt{4+1}=\sqrt5$, והמעגל $x^2+y^2=5$.

טעות נפוצה: לחשב $(2-i)(2+i)=4-1=3$ - $-i\cdot i=-i^2=+1$, ולכן המכפלה $4+1=5$.

מרכז הריבוע בראשית, וסיבוב ב-$90^\circ$ הוא כפל ב-$i$:

האלכסון הוא קוטר: $2\sqrt5$, והשטח $\frac{(2\sqrt5)^2}{2}=10$.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כריבוע הקוטר, $20$ - שטח ריבוע הוא מחצית ריבוע האלכסון.

כפל ב-$w$ מסובב כל נקודה ב-$30^\circ$ סביב הראשית ומותח את מרחקה מהראשית פי $|w|=2$. כל הקודקודים עוברים אותו סיבוב ואותה מתיחה, ולכן הריבוע עובר לריבוע.

צלעותיו גדלות פי 2, ולכן השטח גדל פי $2^2=4$: $4\cdot10=40$.

טעות נפוצה: להכפיל את השטח ב-2 בלבד (פי $|w|$) - כשכל האורכים גדלים פי 2, השטח גדל פי 4.

הנקודות $3z_1$ ו-$-3z_1$ סימטריות ביחס לראשית, וכך גם $iz_1$ ו-$-iz_1$: האלכסונים חוצים זה את זה - מקבילית.

כפל במספר ממשי חיובי אינו מסובב, ולכן האלכסון $3z_1$ נשאר מאונך לאלכסון $iz_1$ - מקבילית עם אלכסונים מאונכים היא מעוין.

אורכי האלכסונים $6\sqrt5$ ו-$2\sqrt5$ שונים, ולכן זה לא ריבוע.

טעות נפוצה: לענות "מלבן" - מלבן הוא מקבילית עם אלכסונים שווים; כאן האלכסונים מאונכים ושונים באורכם.

$x>0$ (לוגריתם), והמכנה לא מתאפס: $\ln x\ne2$, כלומר $x\ne e^2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne2$ - המכנה מתאפס כש-$\ln x=2$, כלומר $x=e^2\approx7.39$.

ב-$x=e^2$ המכנה 0 והמונה 4: אסימפטוטה אנכית $x=e^2$.

אסימפטוטה אופקית $y=1$ (כש-$x\to0^+$ גם $f\to1$, אבל זה קצה התחום).

טעות נפוצה: לכתוב $x=0$ כאסימפטוטה - הגבול של $f$ ב-$0^+$ הוא 1, סופי.

עם ציר ה-$y$ אין חיתוך ($x=0$ לא בתחום).

$\ln x+2=0\Rightarrow\ln x=-2\Rightarrow x=e^{-2}$: הנקודה $\left(e^{-2},0\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=-e^2$ - $\ln x=-2$ פירושו $x=e^{-2}=\frac1{e^2}$, מספר חיובי.

המונה שלילי והמכנה חיובי, ולכן $f'<0$: $f$ יורדת ב-$0<x<e^2$ וב-$x>e^2$.

טעות נפוצה: לכתוב שהפונקציה יורדת "בכל $x>0$" כתחום אחד - ב-$x=e^2$ יש אסימפטוטה, ולכן אלה שני תחומי ירידה נפרדים.

ענף שמאלי: מתחיל ב-$(0,1)$ (נקודה ריקה), יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$e^{-2}$ ושואף ל-$-\infty$ ליד $e^2$.

ענף ימני: יורד מ-$+\infty$ ליד $e^2$ ושואף ל-1 מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את החיתוך עם ציר ה-$x$ מימין לאסימפטוטה - $e^{-2}\approx0.14$, קרוב לראשית.

עבור $x>e^2$: $\ln x>2$, ולכן המכנה $\ln x-2>0$, והמונה $\ln x+2$ גדול ממנו ב-4.

מנה של מספר חיובי במספר חיובי קטן ממנו גדולה מ-1: $f(x)>1$.

לפי א(4) $f'(x)<0$, ולכן בתחום הזה $f>0>f'$ - שני האגפים לא יכולים להיות שווים, ואין פתרון.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$f'>0$ בתחום כי הגרף "מתקרב לאסימפטוטה $y=1$" - $f$ מתקרבת אליה מלמעלה ויורדת ($f'<0$ לפי א(4)); מי שמניח $f'>0$ לא מוצא סתירה בסימנים ועונה בטעות שייתכן פתרון.

צריך $f(x)>0$. טבלת סימנים לפי $e^{-2}$ (אפס המונה) ו-$e^2$ (אפס המכנה):

$0<x<e^{-2}$: מונה ומכנה שליליים - $f>0$. $e^{-2}<x<e^2$: מונה חיובי, מכנה שלילי - $f<0$. $x>e^2$: $f>0$.

תחום ההגדרה: $0<x<e^{-2}$ או $x>e^2$.

טעות נפוצה: לקחת רק את $x>e^2$ - גם ליד הראשית $f$ חיובית (שני הגורמים שליליים).

ליד $e^{-2}$ (משמאל) $f\to0^+$, ולכן $g\to-\infty$: $x=e^{-2}$.

ליד $e^2$ (מימין) $f\to+\infty$, ולכן $g\to+\infty$: $x=e^2$.

כש-$x\to\infty$, $f\to1$ ו-$g\to0$: $y=0$. (ליד $0^+$ גם $g\to0$ - נקודה ריקה $(0,0)$.)

$g$ יורדת בשני הענפים (כמו $f$, כי $\ln$ עולה). הענף השמאלי מתחת לציר ($0<f<1$), הימני מעליו ($f>1$).

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה של $g$ רק במקומות שבהם $f$ לא מוגדרת - גם במקום שבו $f$ מתאפסת $\ln f\to-\infty$.

$e^2\approx7.39<8$, ולכן הקטע בתחום $x>e^2$, שבו $f>1$ (סעיף ב), ולכן $g=\ln f>0$ ו-$\int_8^{10}g\,dx=S$.

$\ln(3f)=\ln3+\ln f=\ln3+g$:

טעות נפוצה: לכתוב $\int_8^{10}\ln3\,dx=\ln3$ - אינטגרל של קבוע הוא הקבוע כפול אורך הקטע, $2\ln3$.

$f(-x)=\frac{-10x}{4+x^2}=-f(x)$ - אי-זוגית.

$f'=0$ ב-$x=\pm2$. $f'>0$ ב-$-2<x<2$ ו-$f'<0$ מחוץ לקטע: מינימום $(-2,-2.5)$, מקסימום $(2,2.5)$.

המעלה של המכנה גדולה מהמעלה של המונה, ולכן $f\to0$ כש-$x\to\pm\infty$: אסימפטוטה $y=0$.

טעות נפוצה: בנגזרת המנה לכתוב $10\cdot2x$ במקום $10x\cdot2x$ (לשכוח את $x$ שבמונה) - מתקבלת נגזרת שאינה מתאפסת ב-$\pm2$.

$h$ מוגדרת כש-$f(x)>0$: המכנה חיובי, ולכן כש-$10x>0$, כלומר $x>0$.

$h(x)=0\iff f(x)=1$:

שני הפתרונות חיוביים ($5-\sqrt{21}\approx0.42$, $5+\sqrt{21}\approx9.58$), ולכן שתי נקודות חיתוך.

טעות נפוצה: לפתור $f(x)=0$ ולקבל $x=0$ - $\ln$ מתאפס כשהביטוי שבתוכו שווה 1, ו-$x=0$ אינו בתחום ההגדרה.

$(4+x^2)'=2x$ ו-$10x=5\cdot2x$:

$g(-x)=5\ln(4+x^2)-5\ln4=g(x)$ - זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $g(x)=10\ln(4+x^2)$ - צריך לחלק בנגזרת המכנה $2x$, ולכן המקדם 5.

$g$ זוגית, ולכן $\int_{-2}^{0}g\,dx=\int_{0}^{2}g\,dx$, כלומר האינטגרל מ-$-2$ עד 0 הוא חצי מהאינטגרל המלא: $t=0$ מקיים.

$g(x)=5\ln\frac{4+x^2}{4}>0$ לכל $x\neq0$, ולכן $\int_{-2}^{t}g\,dx$ עולה ממש ב-$t$, ואין ערך נוסף.

טעות נפוצה: לענות $t=2$ - עד 2 מתקבל האינטגרל כולו, לא חציו.