מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 13 בדרך לבגרות

משלימים לריבוע: $x^2+4x=(x+2)^2-4$.

המרכז $(-2,0)$ והרדיוס $\sqrt{16}=4$.

טעות נפוצה: לקרוא את המרכז $(2,0)$ מתוך $(x+2)^2$. הצורה היא $(x-a)^2$, ולכן $a=-2$.

המרחק של המרכז $(-2,0)$ מהישר האופקי $y=4$ הוא ההפרש בשיעורי ה-$y$: $|4-0|=4$.

המרחק שווה לרדיוס, ולכן הישר משיק.

נקודת ההשקה נמצאת על האנך מהמרכז לישר - הקו האנכי $x=-2$ - ולכן היא $(-2,4)$.

בדיקה: $(-2+2)^2+4^2=16$ ✓.

טעות נפוצה: להציב $y=4$ ולקבל $(x+2)^2=0$, ואז לחשוב שאין פתרון "כי יצא אפס". פתרון יחיד ($x=-2$) הוא בדיוק סימן למשיק.

מעגל II: $x^2+y^2=16$ (ההזזה לא משנה את הרדיוס).

נסמן $A(x_0,y_0)$, ולכן $D(x_0,0)$.

P אמצע AD:

A על המעגל: $x_0^2+y_0^2=16$. מציבים:

טעות נפוצה: להציב $y_0=\frac y2$ (הפוך). P היא האמצע, ולכן $y=\frac{y_0}{2}$ ומכאן $y_0=2y$.

$a^2=16$, $b^2=4$, והציר הגדול על ציר ה-$x$.

המוקדים $(2\sqrt3,0)$ ו-$(-2\sqrt3,0)$, והמרחק ביניהם $4\sqrt3$.

לפי הגדרת האליפסה: $CK+CF=2a=8$.

היקף: $8+4\sqrt3\approx14.93$.

טעות נפוצה: לחשב $c^2=a^2+b^2=20$ (כמו בהיפרבולה), ולקבל מוקדים $(\pm2\sqrt5,0)$ והיקף $8+4\sqrt5\approx16.94$. באליפסה $c^2=a^2-b^2$.

הבסיס KF על ציר ה-$x$ ואורכו $4\sqrt3$; הגובה הוא $|y_C|$.

על האליפסה $|y|\le b=2$, והערך $2$ מתקבל בקודקודי הציר הקטן $(0,\pm2)$.

השטח המקסימלי: $2\sqrt3\cdot2=4\sqrt3\approx6.93$.

טעות נפוצה: לקחת את $a=4$ כגובה המקסימלי. הנקודות הרחוקות ביותר מציר ה-$x$ הן קודקודי הציר הקטן, במרחק $b$.

$\overrightarrow{ED}=-\frac12\underline w$ ($E$ אמצע המקצוע $DD'$).

$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}=-\underline v$ ו-$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DC}=\underline v$ - $DC$ מקביל ל-$AB$, ולכן $\overrightarrow{DC}=\underline u$.

($-\frac12+\frac29=-\frac9{18}+\frac4{18}=-\frac5{18}$.)

טעות נפוצה: לשכוח את $\overrightarrow{ED}$ ולכתוב $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{DM}$ - הווקטורים יוצאים מנקודות שונות.

מציבים את הביטויים מסעיף א:

זה בדיוק $\overrightarrow{EM}$ מסעיף ב.

טעות נפוצה: לבדוק רק את מקדמי $\underline u$ ו-$\underline v$ - צריך שגם מקדם $\underline w$ יתאים, אחרת השוויון לא מתקיים.

$\overrightarrow{EA}$ ו-$\overrightarrow{EC}$ לא מקבילים ושניהם במישור $AEC$, שעובר דרך $E$.

$\overrightarrow{EM}$ הוא צירוף לינארי שלהם (ג(1)), ולכן $M$ נמצאת במישור $AEC$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$M$ במישור רק אם המקדמים מסתכמים ב-1 - זה תנאי לישר $AC$, לא למישור.

מקצועות התיבה ניצבים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$, ו-$\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2$ וכן הלאה.

$\overrightarrow{DM}$ מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור $AEC$, ולכן הוא מאונך למישור.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות לווקטור אחד במישור - וקטור יכול להיות מאונך לישר אחד במישור בלי להיות מאונך למישור.

$M$ במישור ו-$DM$ מאונך לו, ולכן המרחק הוא $|\overrightarrow{DM}|$:

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את המקדמים ($\frac49\cdot4+\dots$) - אורך צירוף של וקטורים ניצבים הוא שורש סכום ריבועי הרכיבים.

האלכסונים חוצים זה את זה בראשית: $C=-z$.

$OB\perp OA$ ו-$B$ ברביע השני, ולכן $B$ היא סיבוב של $A$ ב-$90^\circ$ נגד כיוון השעון - כפל ב-$i$.

$OB=\frac{BD}2=AC=2\cdot OA$ - מתיחה פי 2:

טעות נפוצה: לכתוב $B=iz$ - הסיבוב נכון, אבל בלי המתיחה. $OB$ ארוך פי 2 מ-$OA$, כי $BD=2AC$.

בכפל מספרים בהצגה קוטבית כופלים מודולים ומחברים זוויות. $2i=2\,cis90^\circ$, $-1=cis180^\circ$, $-2i=2\,cis270^\circ$:

טעות נפוצה: לכפול את הזוויות ($90^\circ\cdot30^\circ$) במקום לחבר אותן. בכפל מספרים מרוכבים הזוויות מתחברות.

$\frac1{R\,cis\varphi}=\frac1R\,cis(-\varphi)$:

טעות נפוצה: להשאיר את הזווית כמו שהיא ($\frac12\,cis30^\circ$). בדיקה: $2\,cis30^\circ\cdot\frac12\,cis30^\circ=cis60^\circ\neq1$, ולכן זה אינו ההופכי.

$\frac12\,cis330^\circ$ ו-$\frac12\,cis150^\circ$ נגדיים (הפרש $180^\circ$): אלכסון שעובר בראשית באורך $\frac12+\frac12=1$.

$\frac14\,cis240^\circ$ ו-$\frac14\,cis60^\circ$ נגדיים: אלכסון באורך $\frac12$.

הזוויות $330^\circ$ ו-$240^\circ$ שונות ב-$90^\circ$ - האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה (מעוין):

טעות נפוצה: לחשב את השטח כמכפלת המודולים $\frac12\cdot\frac14$. המודולים הם חצאי אלכסונים, ושטח מעוין הוא חצי מכפלת האלכסונים השלמים.

מודולים: $|w|^5=|\bar w|=|w|$. $w\neq0$, ולכן $|w|^4=1$ ו-$|w|=1$.

כופלים ב-$w$: $w^6=w\bar w=|w|^2=1$.

כלומר $1,\ cis60^\circ,\ cis120^\circ,\ -1,\ cis240^\circ,\ cis300^\circ$.

טעות נפוצה: להשוות ארגומנטים $5\theta=-\theta$ בלי $360^\circ k$: מתקבל $\theta=0^\circ$ ופתרון יחיד $w=1$. הנכון: $6\theta=360^\circ k$, שישה פתרונות.

כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן $f(x)\to(0-2)^2-9=-5$.

כאשר $x\to\infty$: $f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לחשב $(0-2)^2=-4$ ולקבל $y=-13$ - ריבוע של מספר שלילי חיובי.

לפי כלל השרשרת: $f'(x)=2(e^x-2)\cdot e^x$.

$f'=0$ כאשר $e^x=2$, כלומר $x=\ln2$. עבור $x<\ln2$: $f'<0$; עבור $x>\ln2$: $f'>0$ - מינימום.

$f(\ln2)=0-9=-9$: $\min(\ln2,-9)$.

טעות נפוצה: לגזור $(e^x-2)^2$ כ-$2(e^x-2)$ בלי לכפול בנגזרת הפנימית $e^x$.

ציר ה-$y$: $f(0)=(1-2)^2-9=-8$.

ציר ה-$x$: $(e^x-2)^2=9$, $e^x-2=3$ (האפשרות $-3$ נותנת $e^x=-1$), $x=\ln5$.

הסקיצה: משמאל מתחת ל-$y=-5$ וקרוב אליה, יורדת דרך $(0,-8)$ למינימום $(\ln2,-9)$, עולה וחוצה את ציר ה-$x$ ב-$(\ln5,0)$.

טעות נפוצה: לקבל גם $e^x=-1$ ולכתוב $x=\ln(-1)$ - $e^x$ תמיד חיובי, והפתרון הזה נפסל.

$t=e^x$: $t^2-8t+12=0$, $t=2$ או $t=6$.

$x=\ln2$: $y=8-17=-9$; $x=\ln6$: $y=24-17=7$.

טעות נפוצה: לכתוב $(e^x)^2=e^{x^2}$ - $(e^x)^2=e^{2x}$.

בין $\ln2$ ל-$\ln6$: $g-f=-(e^{2x}-8e^x+12)=-(t-2)(t-6)>0$ - $g$ מעל.

טעות נפוצה: לכתוב $\int e^{2x}dx=e^{2x}$ (בלי לחלק ב-2) - מתקבל $\left[-e^{2x}+8e^x-12x\right]_{\ln2}^{\ln6}=-12\ln3$, מספר שלילי, ומי שלוקח ערך מוחלט עונה $12\ln3\approx13.18$; הקדומה של $e^{2x}$ היא $\frac{e^{2x}}2$.

$f$ שלילית עבור $x<\ln5$; ב-$h$ החלק הזה משתקף מעל ציר ה-$x$.

המינימום $(\ln2,-9)$ הופך למקסימום $(\ln2,9)$, האסימפטוטה $y=-5$ הופכת ל-$y=5$, ובאפס $(\ln5,0)$ יש מינימום.

טעות נפוצה: להשאיר את האסימפטוטה $y=-5$ - גם היא משתקפת, כי הגרף משמאל מתחת לציר.

מהלך $h$: עולה מ-5 (אסימפטוטה) עד 9, יורדת ל-0 ב-$\ln5$, עולה ל-$\infty$.

$y=7$: בעלייה השמאלית (בין 5 ל-9), בירידה ובעלייה הימנית - 3 נקודות.

$y=3$: הענף השמאלי נמצא כולו מעל 5, ולכן רק בירידה ובעלייה הימנית - 2 נקודות.

טעות נפוצה: לספור נקודה גם בענף השמאלי עבור $y=3$ - שם $h>5$.

$x>0$ בגלל הלוגריתם, ו-$\ln x\neq0$ בגלל המכנה, כלומר $x\neq1$.

מפצלים את השבר:

טעות נפוצה: לצמצם $\ln x$ במונה ובמכנה ולקבל $f=1+1=2$ או $f=\frac1{\ln x}$ - מצמצמים רק גורם של כל המונה, לא מחובר אחד.

כש-$x\to1$: $\frac1{\ln x}\to\pm\infty$ - אסימפטוטה $x=1$.

כש-$x\to\infty$: $\frac1{\ln x}\to0$, $f\to1$ - אסימפטוטה $y=1$. (כש-$x\to0^+$ גם $f\to1$: נקודה ריקה $(0,1)$.)

ולכן $f$ יורדת בכל אחד מהתחומים $0<x<1$, $x>1$.

טעות נפוצה: לכתוב את הנגזרת כ-$\frac1{x\ln^2x}$ (בלי מינוס) - הנגזרת של $\frac1t$ היא $-\frac1{t^2}$.

צריך $f<0$: $\frac{1+\ln x}{\ln x}<0$.

עם $t=\ln x$: המונה מתאפס ב-$t=-1$, המכנה ב-$t=0$. המנה שלילית כשהם בסימנים מנוגדים: $-1<t<0$.

טעות נפוצה: לכתוב $-1<x<0$ (לשכוח לחזור מ-$t$ ל-$x$) - צריך להעלות את $e$ בחזקת הגבולות: $\frac1e<x<1$.

כש-$x\to\left(\frac1e\right)^+$: $1+\ln x\to0^+$ ו-$\ln x\to-1$, ולכן $f\to0^-$, $-f\to0^+$ ו-$g\to-\infty$. אסימפטוטה $x=\frac1e$.

כש-$x\to1^-$: $\ln x\to0^-$, $f\to-\infty$, $-f\to+\infty$ ו-$g\to+\infty$. אסימפטוטה $x=1$.