מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 7 בדרך לבגרות

נסמן $C(x,y)$:

משלימים לריבוע (מוסיפים $16$ ו-$9$ לשני האגפים):

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 את האגף הימני ולכתוב $x^2+y^2-8x-6y=22$ - כל המשוואה מחולקת ב-2, כולל המספר.

ההזזה מעבירה את המרכז $(4,3)$ לראשית: $x^2+y^2=36$.

עם ציר ה-$y$: $y^2=36$, ולכן $E(0,6)$, $G(0,-6)$.

שיפוע $EF_1$: $m=\frac{0-6}{c-0}=-\frac6c$, והישר עובר ב-$(0,6)$:

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע כ-$\frac{c-0}{0-6}$ (הפרש ה-$x$ חלקי הפרש ה-$y$) - שיפוע הוא הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$.

שיפוע $GF_2$: $m=\frac{0-(-6)}{-c-0}=-\frac6c$, והישר עובר ב-$(0,-6)$:

לשני הישרים אותו שיפוע $-\frac6c$ וחיתוכים שונים עם ציר ה-$y$ (6 ו-$-6$), ולכן הם מקבילים.

טעות נפוצה: לכתוב שיפוע $\frac6c$ - הישר עובר מ-$(-c,0)$ (משמאל למעלה) אל $(0,-6)$ (מימין למטה), ולכן הוא יורד.

מרחק בין ישרים מקבילים $Ax+By+C_1=0$ ו-$Ax+By+C_2=0$ הוא $\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$:

מחלקים ב-2.4 ומעלים בריבוע:

$b=6$ ($E$ ו-$G$ הם קודקודי הציר הקטן), ו-$a^2=b^2+c^2=36+64=100$:

טעות נפוצה: לחבר את המקדמים החופשיים במקום לחסר ($|-6c+6c|=0$) - בנוסחה מחסרים את שני המקדמים כפי שהם כתובים: $-6c-(+6c)$.

המעגל משיק לציר ה-$x$, ולכן המרחק מהמרכז לציר ה-$x$, שהוא $|y|$, שווה ל-$r$.

באותו אופן המרחק לציר ה-$y$, $|x|$, שווה ל-$r$.

ברביע השני $x<0$ ו-$y>0$, ולכן $x=-r$, $y=r$: המרכז $(-r,r)$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמשיק לציר ה-$x$ קובע את שיעור ה-$x$ של המרכז - המרחק מציר ה-$x$ נמדד אנכית, ולכן הוא קובע את שיעור ה-$y$.

$EF_1$ עם $c=8$: $6x+8y-48=0$, ואחרי חלוקה ב-2: $3x+4y-24=0$.

המרחק מהמרכז $(-r,r)$ לישר שווה לרדיוס:

$r-24=5r$ נותן $r=-6$ - נפסל. $24-r=5r$ נותן $r=4$.

טעות נפוצה: לפתור רק $r-24=5r$, לקבל רדיוס שלילי ולהסיק שאין מעגל - בערך מוחלט חייבים לבדוק את שתי האפשרויות.

E אמצע SD: $\overrightarrow{AE}=\frac12(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AD})=\frac12\underline u+\frac12\underline w$.

$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AS}=\underline u+\underline v-\underline w$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AC}$ (כאילו N על האלכסון AC). אז $\overrightarrow{EN}=-\frac16\underline u+\frac13\underline v-\frac12\underline w$.

$\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד 6. לכן המכפלות המעורבות מתאפסות:

$EN=\sqrt6$.

טעות נפוצה: לשכוח ש-$\underline u^2=|\underline u|^2=36$ ולסכם רק את ריבועי המקדמים: $\frac1{36}+\frac19+\frac1{36}=\frac16$, כלומר $EN=\frac{1}{\sqrt6}$.

$D(6,0,0)$, $S(0,0,6)$, $C=B+\overrightarrow{AD}=(6,6,0)$.

E אמצע SD: $E(3,0,3)$.

בדיקה עם סעיף ב: $\overrightarrow{EN}=(-1,2,1)$, ואורכו $\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$.

טעות נפוצה: למדוד את השליש מ-C: $C+\frac13\overrightarrow{CS}=(4,4,2)$.

מציבים את שלוש הנקודות:

$B(0,6,0)$: $0+6-6=0$. $E(3,0,3)$: $6+0-6=0$. $N(2,2,4)$: $4+2-6=0$.

שלוש הנקודות אינן על ישר אחד ($\overrightarrow{BE}=(3,-6,3)$ ו-$\overrightarrow{BN}=(2,-4,4)$ אינם מקבילים), ולכן הן קובעות מישור אחד - וזה המישור $2x+y-6=0$.

(למשוואה אין איבר עם $z$: המישור מקביל לציר ה-$z$.)

טעות נפוצה: לחשב נורמל בטעות סימן ולקבל $(2,-1,0)$, כלומר $2x-y+6=0$ - מישור שהנקודה E אינה עליו ($6+6\ne0$).

לשתי הפירמידות בסיס משותף ENB, ולכן $V=\frac13S_{ENB}\cdot d$ והיחס בין הנפחים שווה ליחס בין המרחקים: $12:6=2$.

נפח הפירמידה CENB גדול פי 2.

טעות נפוצה: לקחת את היחס $SN:SC=1:3$ ולומר שהנפח גדול פי 3. המרחקים מהמישור מתייחסים כמו $SN:NC=1:2$.

חלקים ממשיים שווים: $a-3=1-a$, ולכן $a=2$.

חלקים מדומים נגדיים: $a-1=-(3-2a)=2a-3$, ולכן $a=2$. שני התנאים מתקיימים.

$z_1=-1+i$, $z_2=-1-i$.

טעות נפוצה: להשוות גם את החלקים המדומים ($a-1=3-2a$), לקבל $a=\frac43$ שסותר את $a=2$, ולהסיק שאין ערך מתאים.

$|z_1|=|z_2|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$.

$z_1=-1+i$ ברביע השני: הזווית עם הציר הממשי השלילי $45^\circ$, ולכן $\arg z_1=135^\circ$.

$z_2=-1-i$ ברביע השלישי: $\arg z_2=225^\circ$ (או $-135^\circ$).

$z_1=\sqrt2\operatorname{cis}135^\circ$, $z_2=\sqrt2\operatorname{cis}225^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת $\arg z_1=\arctan\frac{1}{-1}=-45^\circ$ בלי לבדוק את הרביע, ולכתוב $z_1=\sqrt2\operatorname{cis}(-45^\circ)$ - זה $1-i$.

$\frac{z_1}{\sqrt2}=\operatorname{cis}135^\circ$, ולפי דה-מואבר $\left(\operatorname{cis}135^\circ\right)^4=\operatorname{cis}540^\circ=\operatorname{cis}180^\circ=-1$.

$w_1=\left(\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^4\right)^n=(-1)^n$ - ממשי לכל $n$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\sqrt2$ רק פעם אחת אחרי ההעלאה בחזקה: $\frac{z_1^4}{\sqrt2}=\frac{-4}{\sqrt2}=-2\sqrt2$.

$\frac{z_2}{\sqrt2}=\operatorname{cis}225^\circ$:

(מורידים כפולות של $360^\circ$: $900^\circ n=720^\circ n+180^\circ n$, $450^\circ=360^\circ+90^\circ$.)

$\cos(180^\circ n+90^\circ)=0$, ולכן $w_2=(-1)^n i$ - מדומה טהור.

טעות נפוצה: לפתח $(-1-i)^2=1+i^2=0$ ולהסיק $w_2=0$ - הפיתוח הנכון $(-1-i)^2=1+2i+i^2=2i$.

$w_1\in\{1,-1\}$ ו-$w_2\in\{i,-i\}$.

המרכז $p$ על הציר הממשי ובמרחק שווה מ-$1$ ומ-$-1$: $p=0$. הרדיוס $m=1$, וגם $|\pm i|=1$.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין $1$ ל-$-1$ כרדיוס ולענות $m=2$ - זה הקוטר.

טעות נפוצה: לחסר רק את $x^2$ ולשכוח לפתוח את הסוגריים, ולקבל $\frac{2x+2-x^2+2x-2}{e^x}$.

$f(0)=4$. $e^x>0$, ולכן $f=0$ רק כאשר $4-x^2=0$: $x=\pm2$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x=2$ - גם $(-2)^2=4$.

$g'=f$, ולכן הנקודות החשודות לקיצון של $g$ הן האפסים של $f$: $x=\pm2$.

סימן $g'=f$ לפי $4-x^2$: שלילי עבור $x<-2$, חיובי בין $-2$ ל-$2$, שלילי עבור $x>2$.

$x=-2$: מינימום, $g(-2)=\frac{4-4-2}{e^{-2}}=-2e^2\approx-14.78$.

$x=2$: מקסימום, $g(2)=\frac{4+4-2}{e^2}=\frac{6}{e^2}\approx0.81$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{-2}{e^{-2}}=-\frac{2}{e^2}$ - חלוקה ב-$e^{-2}$ היא כפל ב-$e^2$.

$f\ge0$ בין $x=-2$ ל-$x=2$:

טעות נפוצה: לכתוב $g(2)-g(-2)=\frac{6}{e^2}-2e^2$ ולקבל שטח שלילי - $g(-2)$ שלילי, ומחסרים אותו.

לפי כלל השרשרת $\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}=\frac{-f}{g^2}$.

באינטגרל: $\frac{e^{2x}}{(x^2+2x-2)^2}=\frac{1}{g^2(x)}$ ו-$\frac{x^2-4}{e^x}=-f(x)$, ולכן האינטגרנד הוא $\frac{-f}{g^2}=\left(\frac1g\right)'$.

בתחום $[1,2]$ $g>0$ ($g(1)=\frac1e$):

טעות נפוצה: להציב בגבול התחתון $x=1$ את $x^2+2x-2=3$ במקום 1.

כש-$x\to0^+$: המונה $1+\ln x\to-\infty$ והמכנה $\to0^+$, ולכן $f\to-\infty$: אסימפטוטה $x=0$.

כש-$x\to\infty$: $\frac1x\to0$ ו-$\frac{\ln x}{x}\to0$: אסימפטוטה $y=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=1$ כי "המונה מתחיל ב-1" - כל המונה מחולק ב-$x$ ששואף לאינסוף.

טעות נפוצה: לכתוב $x=-e$ - לוגריתם מוגדר רק למספר חיובי, ו-$e^{-1}=\frac1e$.

$f'(x)=0$ כש-$\ln x=0$, $x=1$. עבור $x<1$, $\ln x<0$ ו-$f'>0$; עבור $x>1$, $f'<0$ - מקסימום.

$f(1)=\frac{1+0}{1}=1$. נקודת מקסימום $(1,1)$.

טעות נפוצה: לקבוע מינימום לפי הסימן של $\ln x$ (שלילי ואז חיובי) - שוכחים את המינוס שלפני השבר.

ליד $x=0$ הגרף בתחתית ($-\infty$), עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$\frac1e$, מגיע למקסימום $(1,1)$, ואחר כך יורד ומתקרב לאסימפטוטה $y=0$ מלמעלה (עבור $x>\frac1e$ המונה חיובי).

טעות נפוצה: לצייר את החיתוך עם ציר ה-$x$ מימין למקסימום - $\frac1e\approx0.37<1$.

טעות נפוצה: לפצל את $\frac{1+\ln x}{x}$ ל-$1+\frac{\ln x}{x}$ (לחלק ב-$x$ רק את $\ln x$) ולקבל $f-g=1+\frac{\ln x}{x}-\frac1x$.