מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 8 בדרך לבגרות

הזווית ב-$A$ ישרה, ולכן המכפלה הסקלרית של $\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ שווה 0:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AB}=(-3,t)$ (את שיעורי $B$ במקום ההפרש $B-A$) ולקבל $c=3+\frac{t^2}{3}$.

$M$ אמצע $BC$:

מציבים $t=y$: $x=\frac{y^2}{12}$, כלומר $y^2=12x$.

זו פרבולה שקודקודה בראשית (הראשית עצמה לא מתקבלת, כי $t\neq0$), ציר הסימטריה שלה ציר ה-$x$, והיא פתוחה ימינה כי $12>0$.

טעות נפוצה: לחשב $x_M=\frac{c}{2}$ ולשכוח את $x_B=-3$ - האמצע הוא ממוצע שני הקצוות.

משוואת המשיק ל-$y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$: $yy_1=p(x+x_1)$. כאן $2p=12$, $p=6$:

ל-$P(3,6)$ מתאים $t=6$, ולפי סעיף א $c=3+\frac{36}{6}=9$, כלומר $C(9,6)$.

לשני הישרים שיפוע 1, ו-$A(3,0)$ אינה על המשיק ($0\neq6$). לכן הם מקבילים.

טעות נפוצה: להציב במשוואת המשיק $p=12$ ולקבל $6y=12(x+3)$ - ב-$y^2=2px$ המקדם 12 הוא $2p$.

ל-$y^2=2px$ המוקד $(\frac p2,0)$ והמדריך $x=-\frac p2$. כאן $p=6$:

מוקד $(3,0)$ - זו בדיוק $A$. מדריך $x=-3$ - ו-$x_B=-3$, כלומר $B$ על המדריך.

טעות נפוצה: לכתוב מוקד $(6,0)$ (את $p$ במקום $\frac p2$).

לפי הגדרת הפרבולה, המרחק של $M$ מהמוקד $A$ שווה למרחקה מהמדריך $x=-3$:

$y_M^2=12\cdot12=144$, וברביע הראשון $y_M=12$. $M(12,12)$, ולכן $t=12$.

$B(-3,12)$, ו-$x_C=2x_M-x_B=24+3=27$: $C(27,12)$. (בדיקה לפי סעיף א: $c=3+\frac{144}{6}=27$.)

טעות נפוצה: לכתוב $AM=x_M-3$ (מרחק מהישר $x=3$) ולקבל $x_M=18$.

$AC$: דרך $A(3,0)$ ו-$C(27,12)$, שיפוע $\frac12$: $x-2y-3=0$.

$\ell$: משיק ב-$M(12,12)$: $12y=6(x+12)$, כלומר $x-2y+12=0$.

$A$ על $AC$, ולכן היא נקודת ההשקה עם $AC$; המעגל בין שני ישרים מקבילים, והקוטר שלו $d$: $r=\frac{3\sqrt5}{2}$.

המרכז על האנך ל-$AC$ ב-$A$, בצד של $\ell$ (בכיוון $(-1,2)$, כי ב-$A$ הביטוי $x-2y+12$ שווה 15 וצריך להקטין אותו):

טעות נפוצה: לבחור את הכיוון $(1,-2)$ ולקבל $(\frac92,-3)$ - נקודה בצד השני של $AC$, רחוקה מ-$\ell$.

נקודת המפגש של התיכונים היא ממוצע הקודקודים:

טעות נפוצה: לחלק ב-2 במקום ב-3 (אמצע קטע) ולקבל $(3,3,3)$ - נקודה שאינה בבסיס בכלל.

$\overrightarrow{OM}=(2,2,2)$, $\overrightarrow{AB}=(-6,6,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-6,0,6)$.

$\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ אינם מקבילים ושניהם במישור ABC, ולכן $\overrightarrow{OM}$ מאונך למישור. M בבסיס, ולכן OM הוא הגובה מ-O.

טעות נפוצה: לבדוק ניצבות רק לווקטור אחד בבסיס - ניצבות לישר אחד במישור לא מספיקה.

לפי סעיף ב, $\overrightarrow{OM}=(2,2,2)$ מאונך למישור, ולכן גם $(1,1,1)$ הוא נורמל: $x+y+z+D=0$.

מציבים $A(6,0,0)$: $6+D=0$, $D=-6$.

טעות נפוצה: לכתוב $x+y+z=0$ - המישור הזה עובר ב-O, ולא בבסיס.

לשתי הפירמידות בסיס משותף ABC, ולכן יחס הנפחים הוא יחס הגבהים: $PM=2\cdot OM$.

P על הישר OM: $P=(\lambda,\lambda,\lambda)$. $\overrightarrow{MP}=(\lambda-2)(1,1,1)$ ו-$\overrightarrow{OM}=2(1,1,1)$, ולכן:

$P(6,6,6)$ (מעבר לבסיס) או $P(-2,-2,-2)$ (מעבר ל-O).

טעות נפוצה: לבחור $P=2M=(4,4,4)$ - אז $PM=OM$ והנפחים שווים; הגובה של PABC נמדד מ-P עד הבסיס.

$z_3=z_1q^2$, ומהנתון $z_3=z_1^3$, ולכן $z_1q^2=z_1^3$.

$z_1\ne0$, ולכן $q^2=z_1^2$, כלומר $(q-z_1)(q+z_1)=0$.

$q=z_1$ או $q=-z_1$.

טעות נפוצה: לכתוב $z_3=z_1q^3$ - האיבר השלישי מתקבל אחרי שתי הכפלות במנה.

למספר וצמודו אותו מודול: $|\overline{z_3}|=|z_3|=|z_1^3|=|z_1|^3$.

$|-4z_1|=4|z_1|$.

($z_1\ne0$, ולכן מותר לחלק ב-$|z_1|$.)

טעות נפוצה: לכתוב $|-4z_1|=-4|z_1|$ - מודול של מספר תמיד אי-שלילי.

$z_1=2\,\text{cis}\theta$, $0^\circ<\theta<90^\circ$. אז $\overline{z_3}=8\,\text{cis}(-3\theta)$, ו-$-4z_1=8\,\text{cis}(\theta+180^\circ)$ (המינוס מוסיף $180^\circ$).

ברביע הראשון: $\theta=45^\circ$.

טעות נפוצה: להשוות $-3\theta=\theta$ בלי ה-$180^\circ$ של המינוס, ולקבל $\theta=0^\circ$ או $90^\circ$ - שאינם ברביע הראשון.

$z_m=z_1q^{m-1}=z_1\cdot z_1^{m-1}=z_1^m$.

לפי משפט דה-מואבר:

טעות נפוצה: להעלות בחזקה רק את המודול ולהשאיר את הארגומנט $45^\circ$ - בדה-מואבר הארגומנט מוכפל ב-$m$.

$z_6=2^6\text{cis}270^\circ=64(0-i)=-64i$: החלק הממשי 0 - מדומה.

$z_8=2^8\text{cis}360^\circ=256$: החלק המדומה 0 - ממשי.

טעות נפוצה: לקבוע לפי זוגיות המעריך ("חזקה זוגית - ממשי") ולענות ש-$z_6$ ממשי - הקביעה תלויה בארגומנט $45^\circ m$: ממשי רק כשהוא כפולה של $180^\circ$.

לפי ג(1): $\frac{z_m}{2^m}=\text{cis}(45^\circ m)$. היחס בין שני איברים סמוכים: $\frac{\text{cis}(45^\circ(m+1))}{\text{cis}(45^\circ m)}=\text{cis}45^\circ$ - קבוע, ולכן זו סדרה הנדסית.

(אלה שמונת שורשי היחידה מסדר 8 - קודקודי מתומן משוכלל - וסכומם 0.)

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הסכום $q=z_1$ במקום מנת הסדרה החדשה, $\text{cis}45^\circ$.

המכנה מתאפס כש-$e^x=4$, $x=\ln4$. התחום: $x\neq\ln4$.

ב-$x=\ln4$ המונה $4\neq0$ והמכנה 0: אסימפטוטה אנכית $x=\ln4$.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, $f\to\frac{0}{-4}=0$: $y=0$.

$x\to+\infty$: $f=\frac{1}{1-4e^{-x}}\to1$: $y=1$.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה האנכית $x=4$. המכנה מתאפס כש-$e^x=4$, כלומר $x=\ln4\approx1.39$.

נגזרת של מנה:

המונה $-4e^x<0$ והמכנה חיובי, ולכן $f'<0$: הפונקציה יורדת בכל אחד מהתחומים $x<\ln4$ ו-$x>\ln4$.

טעות נפוצה: לכתוב את כלל המנה בסדר הפוך ($u v'-u'v$) ולקבל $+\frac{4e^x}{(e^x-4)^2}$, כלומר "עולה".

צריך ש-$f$ תהיה מוגדרת ($x\neq\ln4$) וגם $f(x)\neq2$:

התחום: $x\neq\ln4$, $x\neq\ln8$.

טעות נפוצה: להשמיט את $x\neq\ln4$. $g$ מחושבת דרך $f$, ושם $f$ אינה מוגדרת.

ב-$x=\ln8$ המכנה של $g$ מתאפס והמונה 1: אסימפטוטה $x=\ln8$.

ב-$x=\ln4$: $f\to\pm\infty$, ולכן $g=\frac{1}{f-2}\to0$. הפונקציה שואפת למספר סופי - אין אסימפטוטה, יש נקודה חסרה $(\ln4,0)$.

$x\to-\infty$: $f\to0$, $g\to-\frac12$. $x\to+\infty$: $f\to1$, $g\to\frac{1}{1-2}=-1$.

טעות נפוצה: לענות "יש אסימפטוטה ב-$\ln4$ כי שם $f$ מתפוצצת". כש-$f\to\infty$, ההופכי שלה שואף לאפס.

ב-$x=\ln8$: $f=2$. $f$ יורדת (סעיף ב) ושואפת ל-1, ולכן בתחום $x>\ln8$: $1<f(x)<2$.

אז $-1<f(x)-2<0$, וההופכי של מספר בין $-1$ ל-0 קטן מ-$-1$:

$\ln8\approx2.08<3$, ולכן כל הקטע $[3,5]$ בתחום הזה. האינטגרל קטן מהאינטגרל של הפונקציה הקבועה $-1$:

טעות נפוצה: להפוך את אי-השוויון בטעות: מ-$-1<f-2<0$ להסיק $-1<g<0$. כשלוקחים הופכי של מספרים שליליים קטנים בערכם המוחלט, מקבלים מספרים גדולים בערכם המוחלט.

טעות נפוצה: לפתור $x^2>3$ כ-$x>\sqrt3$ בלבד ולשכוח את הענף השלילי.

נגזרת של $\ln u$ היא $\frac{u'}{u}$:

טעות נפוצה: לגזור $\ln(x^2-3)$ כ-$\frac{1}{x^2-3}$ בלי לכפול בנגזרת הפנימית $2x$.

$f'=0$ כש-$x=-3$ או $x=1$. $1^2-3<0$, ולכן $x=1$ אינו בתחום - נפסל.

בענף השמאלי המכנה חיובי: עבור $x<-3$ שני הגורמים שליליים, $f'>0$; עבור $-3<x<-\sqrt3$, $f'<0$. מקסימום:

טעות נפוצה: לקבוע שב-$x=1$ יש נקודת מינימום - $x=1$ אינו בתחום ההגדרה.

כי $e^{\ln u}=u$ לכל $u>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $e^{x+\ln(x^2-3)}=e^x+(x^2-3)$ - חזקה של סכום היא מכפלה של חזקות.

$g'(x)=f'(x)\cdot e^{f(x)}$, ו-$e^{f(x)}>0$, ולכן סימן $g'$ כסימן $f'$: אותה נקודה חשודה ואותו שינוי סימן - מקסימום ב-$x=-3$.

טעות נפוצה: לחשב $g(-3)=f(-3)\cdot e^{-3}$ - $g$ היא $e$ בחזקת $f$, לא מכפלה.

$g$ היא קדומה של $f'\cdot g$. בקטע $(-4,-3)$ $f'>0$ ו-$g>0$, ולכן הגרף מעל ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: לחשב $g(-4)=(16-3)e^{4}$ - המעריך הוא $x$ עצמו: $e^{-4}$.