מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 6 בדרך לבגרות

אמצע הקטע:

שיפוע AB:

האנך האמצעי מאונך ל-AB, ולכן שיפועו $1$, והוא עובר באמצע הקטע:

טעות נפוצה: להעביר את הישר המאונך דרך A במקום דרך אמצע הקטע: $y-2=x+6$, כלומר $y=x+8$ - האנך האמצעי עובר באמצע הקטע $(1,-5)$.

מרכז המעגל נמצא במרחק שווה מ-A ומ-B (שתיהן על המעגל), ולכן על האנך האמצעי $y=x-6$.

המרכז גם על ציר ה-$y$ ($x=0$):

(בדיקה: $MB=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10$.)

טעות נפוצה: לחשב את הרדיוס כחצי מאורך AB ($\frac{\sqrt{392}}{2}$) - AB אינו קוטר, אלא מיתר, כי המרכז $(0,-6)$ אינו אמצע AB.

משוואת המעגל: $x^2+(y+6)^2=100$. בציר ה-$x$: $y=0$.

נקודות החיתוך $(\pm8,0)$ הן המוקדים, ולכן $c=8$.

$2a=2R=20$, כלומר $a=10$:

טעות נפוצה: לכתוב במכנים $a$ ו-$b$ במקום $a^2$ ו-$b^2$ ($\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$).

המוקד השמאלי $(-8,0)$, ולכן הישר הוא $x=-8$. מציבים באליפסה:

$TQ=3.6-(-3.6)=7.2$.

$F(8,0)$. הגובה מ-F לבסיס TQ (שעל הישר $x=-8$) הוא $8-(-8)=16$.

טעות נפוצה: לקחת את הגובה כ-8 (המרחק של F מהראשית) ולקבל שטח $\frac12\cdot7.2\cdot8=28.8$ - הגובה הוא המרחק של F מהישר $x=-8$, כלומר 16.

$\underline n_1=(0,0,1)$, $\underline n_2=(0,1,1)$.

טעות נפוצה: לחשב $|\underline n_2|=1+1=2$ (בלי שורש), לקבל $\cos\alpha=\frac12$ ומכאן $\alpha=60^\circ$.

הצבה ב-$\pi_2$: $-1+7-6=0$, ולכן $A\in\pi_2$.

האנך ל-$\pi_1: z=2$ הוא בכיוון $(0,0,1)$: משנים רק את $z$, ולכן $B=(1,-1,2)$.

$AB=|7-2|=5$.

טעות נפוצה: לחשב את המרחק לפי $|7+2|$ (לקרוא את המישור כ-$z=-2$) ולקבל $AB=9$.

על $\ell$ מתקיים $z=2$, ומ-$\pi_2$: $y=6-z=4$. ה-$x$ חופשי.

$\ell:\ \underline x=(0,4,2)+s(1,0,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=6+z=8$ ולקבל $(0,8,2)+s(1,0,0)$ - הנקודה $(0,8,2)$ לא על $\pi_2$.

נקודה על $\ell$: $(s,4,2)$. $\vec{B P}=(s-1,5,0)\perp(1,0,0)$, ולכן $s=1$: $C(1,4,2)$.

$\overrightarrow{BA}=(0,0,5)$, $\overrightarrow{BC}=(0,5,0)$, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ - זווית ישרה ב-$B$.

טעות נפוצה: לקחת את $AB$ ו-$AC$ כניצבים ולחשב $\frac12\cdot5\cdot5\sqrt2=\frac{25\sqrt2}{2}$.

מציבים $\bar z=x-yi$:

מעגל שמרכזו $(4,3)$ ורדיוסו 5.

טעות נפוצה: לכתוב את המרכז $(4,-3)$ לפי הסימן של $3i$ - ה-$\bar z$ הופך את הסימן של $y$, ולכן $(3-y)^2=(y-3)^2$.

בהצגה קוטבית $z_M=r\,cis\,\theta$. ל-$z_A$ אותו ארגומנט $\theta$ וערך מוחלט $2r$, ולכן $z_A=2r\,cis\,\theta=2z_M$.

$A(8,6)$.

טעות נפוצה: להכפיל רק את החלק הממשי ($8+3i$) - כפל בממשי מכפיל את שני החלקים.

$z_3=z_1q^2$:

טעות נפוצה: לכתוב $z_3=z_1q^3$ - מהאיבר הראשון לשלישי יש שתי הכפלות במנה.

$z\cdot\bar z=|z|^2$. $|z_1|=|4+3i|=5$ ו-$|q|=\sqrt2$, ולכן $|z_k|=5\cdot(\sqrt2)^{k-1}$:

סדרה הנדסית עם איבר ראשון 25 ומנה 2:

טעות נפוצה: לחשב $z_k\cdot\bar z_k$ כ-$z_k^2$ - מכפלה במספר הצמוד נותנת את ריבוע הערך המוחלט, מספר ממשי.

$e^x-1\neq0\ \Rightarrow\ x\neq0$; $e^x-9\neq0\ \Rightarrow\ x\neq\ln9$.

בשתי הנקודות המכנה מתאפס והמונה (1 או 9) לא - אלה אסימפטוטות אנכיות: $x=0$, $x=\ln9$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq1$ ו-$x\neq9$ (ערכי $e^x$ במקום ערכי $x$), ואסימפטוטות $x=1$, $x=9$.

כאשר $x\to-\infty$, $e^x\to0$:

כאשר $x\to\infty$, $e^x\to\infty$ והשברים שואפים ל-0: $f(x)\to2$.

אסימפטוטות אופקיות: $y=0$ משמאל, $y=2$ מימין.

טעות נפוצה: לשכוח את המחובר $+2$ ולקבל $y=-2$ משמאל ו-$y=0$ מימין.

$\left(\frac{c}{g}\right)'=-\frac{c\,g'}{g^2}$, ו-$(e^x-1)'=(e^x-9)'=e^x$:

$e^x>0$ והמכנים ריבועים חיוביים, ולכן שני המחוברים שליליים: $f'(x)<0$, והפונקציה יורדת בכל קטע של התחום.

טעות נפוצה: לשכוח את נגזרת הפנים $e^x$ ולקבל $f'(x)=-\frac{1}{(e^x-1)^2}-\frac{9}{(e^x-9)^2}$.

מכנה משותף: $(e^x-1)(e^x-9)=e^{2x}-10e^x+9$.

המונה: $(e^x-9)+9(e^x-1)+2(e^{2x}-10e^x+9)=10e^x-18+2e^{2x}-20e^x+18=2e^{2x}-10e^x$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $2e^x\left(e^x-5\right)=0$, ו-$e^x>0$, ולכן $x=\ln5$.

הנקודה: $(\ln5,0)$.

טעות נפוצה: להוסיף גם את $x=0$ מ-"$2e^x=0$". $e^x$ אינה מתאפסת, ו-0 אינו בתחום.

משלבים: אסימפטוטות $x=0$, $x=\ln9$, $y=0$ (משמאל), $y=2$ (מימין); ירידה בכל קטע; חיתוך יחיד ב-$(\ln5,0)$.

ענף שמאלי: יורד מ-$y=0$ ל-$-\infty$ (כולו מתחת לציר).

ענף אמצעי: יורד מ-$+\infty$ ל-$-\infty$ דרך $(\ln5,0)$.

ענף ימני: יורד מ-$+\infty$ ומתקרב ל-$y=2$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לחבר את הענף השמאלי לאסימפטוטה $y=2$ (ההתנהגות ב-$+\infty$), במקום ל-$y=0$.

$\left(e^{2x}-10e^x+9\right)'=2e^{2x}-10e^x$ - זה המונה. לכן $\int f(x)\,dx=\ln\left|e^{2x}-10e^x+9\right|+C$.

$x=\ln2$ בענף האמצעי, משמאל ל-$\ln5$, ושם $f>0$: השטח בין $\ln2$ ל-$\ln5$.

טעות נפוצה: להציב את הגבולות בסדר הפוך ולקבל $-0.827$.

$x>0$ בגלל $\ln x$, ו-$3+\ln x\neq0\Rightarrow x\neq e^{-3}$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $x>0$ ולפסול רק את $e^{-3}$ - הלוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים.

ב-$x=e^{-3}$ המכנה מתאפס והמונה $e^{-3}\cdot(-3)\neq0$ - אסימפטוטה $x=e^{-3}$.

טעות נפוצה: לבדוק רק שהמכנה מתאפס - אם גם המונה היה מתאפס שם, ייתכן שלא הייתה אסימפטוטה.

$x\ln x=0$ ו-$x>0$, ולכן $\ln x=0$, $x=1$: $(1,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב גם $(0,0)$ - $x=0$ מחוץ לתחום.

נגזרת המונה $x\ln x$: $1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1$. נגזרת המכנה: $\frac1x$.

טעות נפוצה: לגזור את $x\ln x$ ל-$\frac1x$ (רק נגזרת הלוגריתם) - זו מכפלה, ונגזרתה $\ln x+1$.

$t=\ln x$: המונה $t^2+3t+3$, דיסקרימיננטה $9-12=-3<0$ - חיובי לכל $t$.

המכנה ריבוע, חיובי בתחום. לכן $f'>0$: עלייה ב-$0<x<e^{-3}$ וב-$x>e^{-3}$, ירידה - אין.

טעות נפוצה: להסיק מ"דיסקרימיננטה שלילית" שהביטוי שלילי - כשהמקדם של $t^2$ חיובי והדיסקרימיננטה שלילית, הביטוי חיובי תמיד.

$x\to0^+$: $x\ln x\to0$ והמכנה $\to-\infty$, ולכן $f\to0$.

ב-$0<x<e^{-3}$: המונה והמכנה שליליים, $f>0$ ועולה אל $+\infty$ ליד האסימפטוטה.

ב-$x>e^{-3}$: עולה מ-$-\infty$ דרך $(1,0)$ אל $+\infty$.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים בקו רציף - בין הענפים יש אסימפטוטה אנכית.

$x>0$ ו-$x\ln x\neq0$, כלומר $x\neq1$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=e^{-3}$ - שם המונה של $g$ מתאפס, וזה מותר.

$g(x)=\left(\frac{3}{\ln x}+1\right)\cdot\frac1x$.

$x\to0^+$: הסוגריים $\to1$, $\frac1x\to\infty$: $x=0$. $x\to1$: המונה $\to3$, המכנה $\to0$: $x=1$. $x\to\infty$: $g\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לשכוח את האסימפטוטה $x=0$ כי "שם $f$ שואפת ל-0" - בדיוק בגלל זה $g=\frac1f$ שואפת לאינסוף.

טעות נפוצה: לפרק את המכנה במקום את המונה ($\frac{3+\ln x}{x}+\frac{3+\ln x}{\ln x}$) - מפרקים רק סכום שבמונה.

ב-$e\le x\le e^2$: $\ln x\ge1>0$, ולכן $g>0$.

$\frac{3}{x\ln x}=3\cdot\frac{\frac1x}{\ln x}$ - קדומה $3\ln(\ln x)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\int\frac{1}{x\ln x}dx=\ln x\cdot\ln x$ או $\frac{1}{\ln x}$ - זו נגזרת חלקי פונקציה, וקדומתה $\ln(\ln x)$.