מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 11 מעל רמת בגרות

$B(-a,t)$, $C(c,t)$ עם $t\neq0$. הזווית ב-$A$ ישרה:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AB}=(-a,t)$ (את שיעורי $B$ במקום ההפרש $B-A$) - אז $-a(c-a)+t^2=0$, $c-a=\frac{t^2}a$, $x_M=\frac{t^2}{2a}$, ומתקבלת המשוואה השגויה $y^2=2ax$.

נסמן $M(x_1,t)$ עם $t>0$, $x_1=\frac{t^2}{4a}$.

$\ell$ (משיק ל-$y^2=4ax$, $p=2a$): $ty=2a(x+x_1)$, כלומר $2ax-ty+2ax_1=0$, שיפוע $\frac{2a}{t}$.

$AC$: שיפוע $\frac{t}{c-a}=\frac{2a}{t}$ ודרך $A(a,0)$: $2ax-ty-2a^2=0$.

השיפועים שווים - שני הישרים מקבילים. $A$ על $AC$ ועל המעגל, ולכן היא נקודת ההשקה עם $AC$, והקוטר הוא המרחק בין הישרים:

המרכז על הנורמל ל-$AC$ ב-$A$, בצד של $\ell$. ב-$A$ הביטוי $2ax-ty+2ax_1$ שווה $2a^2+2ax_1>0$, ובכיוון $(-2a,t)$ הוא קטן, ולכן:

שיעור ה-$x$ של המרכז הוא $\frac a2$ לכל $t$, ולכן כל המרכזים על הישר $x=\frac a2$ (ומאחר ש-$t>0$ - על החלק שבו $y>0$).

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין הישרים כרדיוס (ולא כקוטר) - אז $O=(a,0)+\frac{\sqrt{4a^2+t^2}}2\cdot\frac{(-2a,t)}{\sqrt{4a^2+t^2}}=\left(0,\frac t2\right)$, ומסיקים בטעות שהמרכזים על ציר ה-$y$, $x=0$.

לפי סעיף ב, המרכז הוא $(\frac a2,\frac t4)$:

$B(-a,t)=(-4,8)$, ו-$c=a+\frac{t^2}{2a}=4+\frac{64}{8}=12$: $C(12,8)$.

בדיקה: $\overrightarrow{AB}=(-8,8)$, $\overrightarrow{AC}=(8,8)$, $-64+64=0$.

טעות נפוצה: לחשב את $C$ כ-$(2x_M,t)$ ולשכוח את $x_B$: $x_M=\frac{64}{16}=4$, ו-$2x_M=8$ - אבל $x_C=2x_M-x_B=8+4=12$.

$M$ נמצאת על $\ell$. מעגל משיק לישר נפגש איתו בנקודה אחת בלבד - נקודת ההשקה. לכן המעגל עובר דרך $M$ רק אם $M$ היא נקודת ההשקה עם $\ell$.

נקודת ההשקה עם $\ell$ היא הקצה השני של הקוטר שיוצא מ-$A$ בכיוון הנורמל:

כלומר המעגל נוגע ב-$\ell$ בדיוק בנקודה שבה $\ell$ חותך את ציר ה-$y$ (בדיקה: ב-$x=0$ המשיק נותן $ty=2ax_1=\frac{t^2}{2}$, $y=\frac t2$).

$T=M$ דורש $\frac t2=t$, כלומר $t=0$ - לא ברביע הראשון. לכן אין נקודה כזאת.

טעות נפוצה: להניח שהמעגל משיק ל-$\ell$ בנקודה $M$, כי שם $\ell$ משיק לפרבולה, ולענות "כן, תמיד" - נקודת ההשקה של $\ell$ עם המעגל אינה נקודת ההשקה שלו עם הפרבולה.

$\overrightarrow{AE}=\frac12(\underline u+\underline w)$ (E אמצע SD).

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+k\overrightarrow{SC}=\underline w+k(\underline u+\underline v-\underline w)=k\underline u+k\underline v+(1-k)\underline w$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SC}=\underline w-\underline u-\underline v$ (הפוך). אז $\overrightarrow{AN}=-k\underline u-k\underline v+(1+k)\underline w$ ומתקבל $\overrightarrow{EN}=\left(-k-\frac12\right)\underline u-k\underline v+\left(k+\frac12\right)\underline w$.

נסמן $a=|\underline w|=|\underline u|=|\underline v|$; שלושת הווקטורים מאונכים זה לזה:

פרבולה פתוחה כלפי מעלה ב-$k$; המינימום בקודקוד $k=\frac{2}{2\cdot3}=\frac13$ (בתחום $0<k<1$):

הזווית: $\overrightarrow{SC}=\underline u+\underline v-\underline w$, ולכן

ב-$k=\frac13$ המכפלה מתאפסת: $EN\perp SC$, הזווית $90^\circ$. זה לא מקרי - הקטע הקצר ביותר מנקודה לישר הוא האנך לישר.

טעות נפוצה: לחשב את קודקוד הפרבולה כ-$k=-\frac ba=\frac23$ (בלי ה-2 במכנה). ב-$k=\frac23$ מתקבל $|\overrightarrow{EN}|^2=\frac{a^2}{2}$, שאינו המינימום.

$D(6,0,0)$, $S(0,0,6)$, $C(6,6,0)$, $E(3,0,3)$.

$\overrightarrow{BE}=(3,-6,3)\parallel(1,-2,1)$, $\overrightarrow{BN}=(6k,6k-6,6-6k)\parallel(k,k-1,1-k)$.

נורמל - מכפלה וקטורית (או פתרון שתי משוואות):

המישור עובר דרך $B(0,6,0)$:

בדיקה: $E(3,0,3)$: $3k-3+9k-3+6-12k=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $N=S+k\cdot C=(6k,6k,6)$ (לשכוח לחסר את S). מתקבל נורמל $(-k-1,\ k-1,\ 3k-1)$ ומישור שגוי, שאינו עובר דרך N האמיתית.

מישור SBC: $\overrightarrow{BS}=(0,-6,6)\parallel(0,-1,1)$, $\overrightarrow{BC}=(6,0,0)\parallel(1,0,0)$. נורמל מאונך לשניהם: $(0,1,1)$, והמישור $y+z-6=0$.

שני מישורים מאונכים כאשר הנורמלים שלהם מאונכים:

$k=\frac25$ (בתחום $0<k<1$).

טעות נפוצה: לדרוש שהנורמלים יהיו מקבילים (זה תנאי למישורים מקבילים). מקבלים $k-1=0$ וגם $2k-1=3k-1$ - סתירה, ומסיקים בטעות שאין ערך כזה.

לשתי הפירמידות בסיס משותף ENB, ולכן היחס בין הנפחים הוא היחס בין המרחקים של S ושל C מהמישור.

הקטע SC חותך את המישור ב-N, ולכן המרחקים מתייחסים כמו $SN:NC=k:(1-k)=\frac25:\frac35=2:3$.

בדיקה בחישוב: ב-$k=\frac25$ המישור ENB הוא $3x+y-z-6=0$ (אחרי כפל ב-$-5$).

$12:18=2:3$, ולכן $V_{SENB}:V_{CENB}=2:3$.

טעות נפוצה: לקחת את היחס $SN:SC=2:5$. זה יחס הנפח של SENB לנפח של הפירמידה כולה SCEB, לא לנפח CENB.

$z_3=z_1q^2=z_1^3$, ו-$z_1\ne0$, ולכן $q^2=z_1^2$.

טעות נפוצה: להוציא שורש משני האגפים ולקבל רק $q=z_1$ - למשוואה ריבועית במרוכבים יש שני פתרונות, $q=\pm z_1$.

$z_1=r\,\text{cis}\theta$: $\overline{z_3}=r^3\text{cis}(-3\theta)$, $-3z_1=3r\,\text{cis}(\theta+180^\circ)$.

מודולים: $r^3=3r$, ולכן $r=\sqrt3$.

ארגומנטים: $-3\theta=\theta+180^\circ+360^\circ k$, כלומר $\theta=-45^\circ-90^\circ k$; ברביע הראשון $\theta=45^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב את המודול של $-3z_1$ כ-$-3r$ ולקבל $r^2=-3$, "אין פתרון".

$z_m=z_1^m=\left(\sqrt3\right)^m\text{cis}(45^\circ m)$.

$z_m$ ממשי כש-$\sin(45^\circ m)=0$, כלומר $45^\circ m$ כפולה של $180^\circ$: $m$ מתחלק ב-4 ($m=4,8,12,\ldots$).

$z_m$ מדומה כש-$\cos(45^\circ m)=0$, כלומר $45^\circ m=90^\circ+180^\circ j$: $m=2+4j$ ($m=2,6,10,\ldots$).

כש-$m$ אי-זוגי הארגומנט הוא כפולה אי-זוגית של $45^\circ$, ו-$z_m$ אינו ממשי ואינו מדומה.

טעות נפוצה: לענות "כל $m$ זוגי - ממשי" - $z_2=3\,\text{cis}90^\circ=3i$ מדומה; צריך כפולה של $180^\circ$, לא של $90^\circ$.

$w_m=\text{cis}(45^\circ m)$: סדרה הנדסית עם איבר ראשון ומנה $\text{cis}45^\circ\ne1$.

$\text{cis}45^\circ\ne0$, ולכן $S_N=0$ בדיוק כש-$\text{cis}(45^\circ N)=1$, כלומר $45^\circ N$ כפולה של $360^\circ$: $N=8,16,24,\ldots$

טעות נפוצה: לענות "$N$ מתחלק ב-4" - ב-$N=4$ מתקבל $\text{cis}180^\circ=-1$, והמונה $-2\ne0$.

$|\text{cis}45^\circ|=1$, ולכן $|S_N|=\frac{|1-\text{cis}(45^\circ N)|}{|1-\text{cis}45^\circ|}$.

לכל זווית $\alpha$:

המכנה קבוע, והמונה הגדול ביותר כש-$\cos(45^\circ N)=-1$, כלומר $45^\circ N=180^\circ+360^\circ j$: $N=4+8j$.

בדיקה ישירה: $S_4=\text{cis}45^\circ+\text{cis}90^\circ+\text{cis}135^\circ+\text{cis}180^\circ=-1+(1+\sqrt2)i$, ו-$|S_4|^2=1+3+2\sqrt2=4+2\sqrt2$.

טעות נפוצה: לחשב את המכנה כ-$|1-\text{cis}45^\circ|=1-\cos45^\circ$ ולשכוח את רכיב הסינוס - מתקבל $|S_N|_{\max}=\frac{2}{1-\frac{\sqrt2}2}=4+2\sqrt2\approx6.83$, בלי השורש; המודול הוא $\sqrt{(1-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha}$.

המכנה מתאפס כש-$e^x=a$: יש פתרון $x=\ln a$ רק כש-$a>0$.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, $f\to\frac{a}{-a}=-1$. $x\to+\infty$: המכנה $\to\infty$, $f\to0$. (לכל $a\neq0$.)

עבור $a>0$, ב-$x=\ln a$ המונה $a\neq0$: אסימפטוטה $x=\ln a$.

$a>0$: $f'<0$ - יורדת ב-$x<\ln a$ וב-$x>\ln a$. $a<0$: $f'>0$ - עולה לכל $x$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול ב-$-\infty$ כ-$0$ "כי $e^x\to0$". המונה הוא $a$ (קבוע), לא $e^x$, ולכן הגבול $\frac{a}{-a}=-1$.

למשוואה $f(x)=m$ אין פתרון בדיוק כש-$m$ מחוץ לטווח של $f$. מוצאים את הטווח של כל ענף מהגבולות והמונוטוניות.

$a>0$, $x<\ln a$: $e^x-a\in(-a,0)$, ו-$f$ יורדת מ-$-1$ ל-$-\infty$: טווח $(-\infty,-1)$.

$a>0$, $x>\ln a$: $e^x-a>0$, $f$ יורדת מ-$+\infty$ ל-0: טווח $(0,\infty)$.

לכן עבור $a>0$ אין פתרון כש-$-1\le m\le0$.

$a<0$: $f$ עולה מ-$-1$ ל-0 ולא מגיעה אליהם: טווח $(-1,0)$. אין פתרון כש-$m\le-1$ או $m\ge0$.

טעות נפוצה: להשאיר את הקצוות $m=-1$ ו-$m=0$ כ"יש פתרון". אלה ערכי אסימפטוטות - הפונקציה מתקרבת אליהם ולא מגיעה.

$f(x)=-2$:

התחום: $x\neq\ln a$ (תחום $f$) ו-$x\neq\ln\frac a2$.

ב-$x=\ln\frac a2$ המכנה של $g$ מתאפס: אסימפטוטה אנכית.

ב-$x=\ln a$: $f\to\pm\infty$, $g\to0$ - נקודה חסרה $(\ln a,0)$, לא אסימפטוטה.

$x\to-\infty$: $f\to-1$, $g\to\frac{1}{1}=1$. $x\to+\infty$: $f\to0$, $g\to\frac12$.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה $x=\ln a-\ln2$ ואז "לפשט" ל-$x=\ln(a-2)$. $\ln\frac a2=\ln a-\ln2$, ולא $\ln(a-2)$.

מקום הקטעים ביחס לנקודות המיוחדות: $\ln\frac a2=\ln a-\ln2\approx\ln a-0.69$.

הקטע $[\ln a-3,\ln a-2]$ כולו משמאל ל-$\ln\frac a2$. שם $f$ יורדת מ-$-1$ ל-$-2$ (ב-$\ln\frac a2$ היא שווה $-2$), ולכן $0<f+2<1$ ו-$g>1$:

הקטע $[\ln a+1,\ln a+3]$ מימין ל-$\ln a$. שם $f>0$, ולכן $f+2>2$ ו-$0<g<\frac12$:

החסמים לא תלויים ב-$a$ (הקטעים זזים יחד עם $\ln a$), ולכן הטענה נכונה לכל $a>0$.