מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 10 מעל רמת בגרות

משלימים לריבוע את האיברים של $x$ ואת האיברים של $y$:

מציבים במשוואה:

זו משוואת מעגל שמרכזו $(-5,5)$ וריבוע הרדיוס שלו $50-t$ (חיובי, כי $t<50$).

$r=\sqrt{50-t}$.

טעות נפוצה: להחסיר רק אחד משני המספרים שנוספו בהשלמה לריבוע (25 במקום $25+25$), ולקבל $(x+5)^2+(y-5)^2=25-t$, כלומר $r=\sqrt{25-t}$.

ישר משיק למעגל כאשר המרחק ממרכז המעגל לישר שווה לרדיוס.

כותבים את הישר בצורה כללית: $2x-y=0$. המרכז הוא $(-5,5)$.

משווים לרדיוס מסעיף א:

טעות נפוצה: לחלק ב-$a^2+b^2=5$ במקום ב-$\sqrt{a^2+b^2}$: $d=\frac{15}{5}=3$, ואז $50-t=9$ ומתקבל $t=41$.

הזזה לא משנה את הרדיוס. מסעיפים א-ב: $r^2=50-5=45$, ולכן מעגל II: $x^2+y^2=45$.

נסמן $A(x_0,y_0)$. המיתר מאונך לציר ה-$y$, כלומר אופקי, ולכן מסימטריה ביחס לציר ה-$y$: $B(-x_0,y_0)$ ו-$AB=2|x_0|$.

P נמצאת על המיתר, ולכן $P(x,y)$ עם $y=y_0$.

מהתנאי $AB=4\cdot PO$:

A על מעגל II, ולכן $x_0^2+y_0^2=45$. מציבים $x_0^2=4x^2+4y^2$ ו-$y_0=y$:

זו משוואת אליפסה. (התנאי $|y_A|\le3$ מבטיח ש-$x^2=\frac{x_0^2}{4}-y_0^2=\frac{45-5y_0^2}{4}\ge0$, כלומר שקיימת נקודה P כזאת על המיתר.)

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את המקדם 2 ולכתוב $x_0^2=2(x^2+y^2)$. אז $2x^2+3y^2=45$, כלומר האליפסה $\frac{x^2}{22.5}+\frac{y^2}{15}=1$.

באליפסה $\frac{x^2}{11.25}+\frac{y^2}{9}=1$: $a^2=11.25$, $b^2=9$, והציר הגדול על ציר ה-$x$.

המוקדים: $K(1.5,0)$, $F(-1.5,0)$, ולכן $KF=2c=3$.

לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים הוא $2a$:

היקף המשולש: $CK+CF+KF=3\sqrt5+3\approx9.708$.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין המוקדים כ-$c$ במקום $2c$, ולקבל היקף $3\sqrt5+1.5\approx8.208$.

הבסיס KF מונח על ציר ה-$x$ ואורכו 3. הגובה לבסיס הוא המרחק של C מציר ה-$x$, כלומר $|y_C|$.

לכל נקודה על האליפסה $|y|\le b=3$, ו-$\frac83<3$, ולכן יש נקודות כאלה. מציבים $y=\frac83$ במשוואת האליפסה:

לכן למשל $C\left(\frac{\sqrt{85}}{6},\frac83\right)$ מקיימת את הדרוש (יש ארבע נקודות כאלה). השטח הגדול ביותר האפשרי הוא $\frac12\cdot3\cdot3=4.5$, ו-4 קטן ממנו.

טעות נפוצה: לקחת כבסיס את $c=1.5$ במקום $KF=2c=3$. אז $\frac12\cdot1.5\cdot|y_C|=4$ נותן $|y_C|=\frac{16}{3}>3$, והתשובה השגויה "לא".

$\overrightarrow{AD}=\underline v+\underline w$, $\overrightarrow{DB}=\underline u-\underline v-\underline w$, $\overrightarrow{DC}=-\underline w$.

מ-$E$ עד $D$ נשאר החלק $1-t$ של המקצוע: $\overrightarrow{ED}=(1-t)(\underline v+\underline w)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{ED}=t\cdot\overrightarrow{AD}$ - $t$ הוא החלק מ-$A$ עד $E$, ומ-$E$ עד $D$ נשאר $1-t$.

$\underline w$ מאונך למישור $ABC$ ו-$\underline u$, $\underline v$ נמצאים בו; וקטור המקביל למישור הוא צירוף של $\underline u$, $\underline v$ בלבד, ולכן מקדם $\underline w$ מתאפס:

מציבים במקדמים האחרים: מקדם $\underline v$ הוא $1-t-\frac{1-t}{2}=\frac{1-t}{2}$, כמו מקדם $\underline u$:

טעות נפוצה: לאפס את מקדם $\underline v$ במקום את מקדם $\underline w$ ולקבל $k=1-t$, ואז $\overrightarrow{EF}=(1-t)\underline u-(1-t)\underline w$ - וקטור כזה אינו מקביל למישור $ABC$, כי יש לו רכיב בכיוון $\underline w$ המאונך למישור.

לפי סעיף ב, $\overrightarrow{EF}$ הוא כפולה של $\underline u+\underline v$ (ו-$\frac{1-t}{2}\ne0$ כי $t<1$).

אם $M$ אמצע $BC$, אז $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\underline u+\underline v)$. לכן לכל $t$: $\overrightarrow{EF}\parallel\overrightarrow{AM}$ - הישר המבוקש הוא התיכון $AM$.

$\underline u+\underline v$ אינו כפולה של $\underline u$ (כי $\underline u$, $\underline v$ אינם מקבילים), ולכן $EF$ אינו מקביל ל-$AB$ לאף $t$.

$E$ נמצאת על $AD$ ושונה מ-$A$ ($t>0$), ולכן היא מחוץ למישור $ABC$. הישר $EF$ מקביל למישור ועובר דרך נקודה שמחוץ לו, ולכן אין לו נקודה משותפת עם המישור - ובפרט עם $AB$.

לכל $0<t<1$ הישרים לא מקבילים ולא נחתכים: הם מצטלבים.

טעות נפוצה: לחפש $t$ שעבורו מקדם $\underline v$ מתאפס כדי ש-$EF$ יהיה מקביל ל-$AB$ - אחרי תנאי ההקבלה למישור שני המקדמים שווים, ומתאפסים יחד רק ב-$t=1$, כשאין ישר ($E=D=F$).

הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ב-$A$ (הניצבים על הצירים): $S_{ABC}=\frac12\cdot6\cdot8=24$.

$DC$ מאונך לבסיס, ולכן הוא הגובה:

$D$ מעל $C$ בגובה 12: $D(0,8,12)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ ולקבל $DC=4$.

$\underline u+\underline v=(6,0,0)+(0,8,0)=(6,8,0)$, ואורכו 10.

$k=\frac{1-t}{2}=\frac14$. $E=\frac12D=(0,4,6)$ (אמצע $AD$).

$\overrightarrow{DB}=(6,-8,-12)$, $\overrightarrow{DC}=(0,0,-12)$:

בדיקה: $\overrightarrow{EF}=(1.5,2,0)$, ואורכו $\sqrt{2.25+4}=2.5$.

טעות נפוצה: לחשב את אורך $\underline u+\underline v$ כ-$|\underline u|+|\underline v|=14$ - אורך של סכום וקטורים אינו סכום האורכים.

$\frac{z}{\bar z}=\text{cis}(\alpha-(-\alpha))=\text{cis}\,2\alpha$, ו-$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i=\text{cis}\,240^\circ$:

$\alpha=120^\circ$ (רביע שני) או $300^\circ$ (רביע רביעי). לכן $\alpha=120^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת ארגומנט $120^\circ$ ל-$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ - החלק המדומה שלילי, והמספר ברביע השלישי.

B ו-C צמודים ($\text{cis}(\pm240^\circ)=-\frac12\mp\frac{\sqrt3}{2}i$), ולכן סימטריים ביחס לציר הממשי, וקודקוד הראש על האנך האמצעי לבסיס - הציר הממשי.

$k=bi$ מבטל את החלק המדומה: $b=-\frac{\sqrt3}{2}R$.

טעות נפוצה: לקבוע ש-A היא $z$ עצמו או $|z|$ על הציר - הוספת $k$ מדומה טהור שומרת את החלק הממשי של $z$, $-\frac R2$.

$OB=OC=1$ ו-$AB=AC$, כלומר ABOC דלתון שאלכסוניו AO ו-BC מאונכים. הדלתון הוא מעוין כשהאלכסונים חוצים זה את זה, כלומר אמצע AO הוא אמצע BC.

אמצע BC: $-\frac12$ (על הציר הממשי). אמצע AO: $\frac{A+0}{2}=-\frac R4$.

(בדיקה: $A=-1$, $AB=\left|-1-\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\right|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1=OB$.)

טעות נפוצה: לדרוש $AO=BC$ - זה תנאי לריבוע או למלבן; במעוין האלכסונים חוצים זה את זה, ולא בהכרח שווים.

$BC=\sqrt3$ (בין $-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ ל-$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$). הבסיס על הישר $x=-\frac12$, והגובה הוא המרחק של $A\left(-\frac R2,0\right)$ מהישר:

$R=3$ או $R=-1$. $R$ הוא מודול, ולכן $R>0$: $R=3$.

(עבור $R=1$, A על הקטע BC ואין משולש.)

טעות נפוצה: למדוד את הגובה מ-A עד הראשית ($\frac R2$) במקום עד הישר של הבסיס $x=-\frac12$ - מתקבל $\frac{\sqrt3}{4}R=\frac{\sqrt3}{2}$ ו-$R=2$, שגוי.

$g'=0$: $x=-k$ או $x=2-k$. סימן $g'$ לפי $(x+k)(2-k-x)$: שלילי עבור $x<-k$, חיובי בין $-k$ ל-$2-k$, שלילי עבור $x>2-k$.

$x=-k$: מינימום, $g(-k)=0$.

$x=2-k$: מקסימום, $g(2-k)=\frac{2^2}{e^{2-k}}=4e^{k-2}$.

טעות נפוצה: לכתוב $g(2-k)=\frac{4}{e^{2}}$ ולשכוח שהמעריך הוא $2-k$, לא 2.

נקודת המקסימום: $x=2-k$, $y=4e^{k-2}$.

מסלקים את $k$: $k-2=-x$, ולכן $y=4e^{-x}$.

כל נקודות המקסימום (לכל $k$) נמצאות על גרף הפונקציה $y=\frac{4}{e^x}$, ולכל $x$ יש $k=2-x$ מתאים - כל הגרף מתקבל.

טעות נפוצה: להציב $k$ מסוים (למשל $k=0$) ולענות "הנקודה $(2,\frac{4}{e^2})$" - צריך קשר בין $x$ ל-$y$ שאינו תלוי ב-$k$.

התנהגות בקצוות: כאשר $x\to-\infty$, $g\to\infty$ (מונה חיובי וגדל, $e^{-x}\to\infty$); כאשר $x\to\infty$, $g\to0$ מלמעלה.

מהלך הגרף: יורד מ-$\infty$ ל-0 (ב-$x=-k$), עולה ל-$4e^{k-2}$ (ב-$x=2-k$), ויורד שוב ושואף ל-0 בלי להגיע אליו.

ישר אופקי $y=m$ חותך כל אחד משלושת הקטעים המונוטוניים כאשר $0<m<4e^{k-2}$: פעם בקטע היורד הראשון, פעם בקטע העולה ופעם בקטע היורד האחרון (כי שם $g$ יורדת מ-$4e^{k-2}$ לכיוון 0).

עבור $m=4e^{k-2}$ שני פתרונות, עבור $m>4e^{k-2}$ פתרון אחד, עבור $m=0$ פתרון אחד, ועבור $m<0$ אין.

טעות נפוצה: לכלול את $m=0$ - באגף ימין $g$ רק שואפת ל-0, ולכן ל-$g(x)=0$ יש פתרון יחיד $x=-k$.

$g'$ מתאפסת ב-$x=-k$ וב-$x=2-k$, וביניהן $g'>0$; מחוץ לקטע הזה $g'<0$ ושואפת ל-$-\infty$ משמאל, ולכן השטח הסגור הוא בין שני האפסים.

$g$ היא פונקציה קדומה של $g'$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac4{e^{2-k}}=4e^{2-k}$ (בלי להפוך את סימן המעריך) ולקבל $2-k=1$, כלומר $k=1$; $\frac1{e^{2-k}}=e^{k-2}$, ולכן $k-2=1$.

שלילית משמאל ל-1, חיובית בין 1 ל-4, שלילית מימין ל-4.

מינימום $f(1)=5\ln5-2\approx6.05$; מקסימום $f(4)=5\ln20-8\approx6.98$.

טעות נפוצה: לשכוח את נגזרת הפנים ולקבל $\frac{5}{x^2+4}=2$, $x^2=-1.5$ - "אין קיצון".

$x\le4$: $f$ יורדת עד $x=1$ ועולה עד $x=4$, ולכן הערך הקטן ביותר שלה בתחום הזה הוא $f(1)\approx6.05>0$ - אין חיתוך.

$x>4$: $f$ יורדת מ-$f(4)\approx6.98>0$. כאשר $x\to\infty$ האיבר $-2x$ גובר על $5\ln\left(x^2+4\right)$, ולכן $f\to-\infty$.

פונקציה רציפה ויורדת ממש שעוברת מערך חיובי לערכים שליליים מתאפסת בדיוק פעם אחת. לכן יש חיתוך אחד בדיוק (בערך ב-$x\approx12.8$).

טעות נפוצה: לחשוב ש-$f\to+\infty$ כאשר $x\to\infty$ (כי הלוגריתם גדל), ולהסיק שאין חיתוך כלל.

ל-$g$ יש אסימפטוטה אנכית בנקודה $x_0$ שבה $f(x_0)=m$ ו-$f(x)\to m$ מלמעלה מצד אחד לפחות (כלומר הנקודה בשפת התחום). נעבור על מיקום $m$ ביחס ל-$f(1)\approx6.05$ ו-$f(4)\approx6.98$.

$m<f(1)$: ל-$f(x)=m$ פתרון אחד בלבד (בענף הימני; משמאל ל-4 תמיד $f\ge f(1)>m$). אסימפטוטה אחת.

$m=f(1)$: פתרונות $x=1$ ופתרון בענף הימני. ב-$x=1$ $f-m\ge0$ ונוגעת ב-0, ולכן $g\to-\infty$ משני הצדדים - גם זו אסימפטוטה. שתיים.

$f(1)<m<f(4)$: שלושה פתרונות (אחד בכל ענף מונוטוני), וכל אחד בשפת התחום. שלוש.

$m=f(4)$: פתרונות - אחד משמאל ל-1, ו-$x=4$. ליד $x=4$ מתקיים $f\le m$ משני הצדדים, כך שאין שם נקודות של התחום ואין אסימפטוטה. אחת.

$m>f(4)$: פתרון אחד (בענף השמאלי). אחת.

טעות נפוצה: ב-$m=f(1)$ לא לספור את $x=1$ ("רק נקודת השקה") ולענות 1. $f-m\to0^+$ שם משני הצדדים, ולכן $g\to-\infty$.