מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 12 מעל רמת בגרות

המוקדים על ציר ה-$y$, ולכן הציר הגדול על ציר ה-$y$, והמשוואה הקנונית היא $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$, עם מוקדים $(0,\pm c)$ ו-$a^2=b^2+c^2$.

מהמוקד הנתון: $c^2=132$, ולכן $a^2=b^2+132$.

הנקודה $A(-3,6)$ על האליפסה: $\frac{9}{b^2}+\frac{36}{a^2}=1$.

נסמן $t=b^2$ ונציב $a^2=t+132$:

נכפול ב-$t(t+132)$:

$t=12$ או $t=-99$. $b^2$ חיובי, ולכן $b^2=12$ ו-$a^2=12+132=144$.

משוואת האליפסה: $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{144}=1$. בדיקה: $\frac{9}{12}+\frac{36}{144}=0.75+0.25=1$.

טעות נפוצה: לכתוב את המשוואה כאילו המוקדים על ציר ה-$x$, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ עם $a^2=b^2+132$. אז $\frac{9}{t+132}+\frac{36}{t}=1$, ומתקבל $b^2\approx38.0$, $a^2\approx170.0$ - אליפסה שהציר הגדול שלה על ציר ה-$x$, בסתירה למוקד הנתון על ציר ה-$y$.

הנקודה B: מציבים $x=0$ במשוואת האליפסה: $\frac{y^2}{144}=1$, $y=12$ (החלק החיובי). $B(0,12)$.

השיפוע של הישר AO: $m=\frac{6-0}{-3-0}=-2$, ולכן משוואתו $y=-2x$.

נקודה כללית על הישר: $C(t,-2t)$, כאשר $t$ הוא פרמטר שמשתנה כש-C זזה על הישר.

אמצע הקטע BC:

נסמן $x=\frac t2$ ו-$y=6-t$, ונסלק את $t$: מהמשוואה הראשונה $t=2x$.

המקום הגאומטרי של הנקודות P הוא הישר $y=-2x+6$ (ישר המקביל ל-AO).

טעות נפוצה: לקחת את $b$ במקום את $a$ כחיתוך עם ציר ה-$y$, כלומר $B(0,\sqrt{12})$. אז $P\left(\frac t2,\sqrt3-t\right)$ ומתקבל הישר $y=-2x+\sqrt3$. כשמציבים $x=0$ נשאר $\frac{y^2}{144}=1$, ולכן $y=12$.

הישרים $y=-2x$ ו-$y=-2x+6$ מקבילים (אותו שיפוע). מעגל המשיק לשני ישרים מקבילים נמצא ביניהם, והמרחק בין הישרים הוא הקוטר שלו.

נכתוב את הישרים בצורה $2x+y=0$ ו-$2x+y-6=0$. המרחק ביניהם:

לכן הרדיוס $R=\frac{3}{\sqrt5}$ ו-$R^2=\frac95=1.8$.

המעגל משיק ל-AO בנקודה O, ולכן הרדיוס לנקודת ההשקה ניצב ל-AO: המרכז על הישר הניצב ל-AO דרך O. שיפוע AO הוא $-2$, ולכן שיפוע הניצב $\frac12$: $y=\frac12x$.

מרכז $M(2m,\,m)$ במרחק $R$ מ-O:

המרכז צריך להיות בין שני הישרים. עבור $m=0.6$: $M(1.2,0.6)$, ומרחקו מהישר $2x+y-6=0$ הוא $\frac{|2.4+0.6-6|}{\sqrt5}=\frac{3}{\sqrt5}=R$, כנדרש. עבור $m=-0.6$ המרכז $(-1.2,-0.6)$ בצד השני של AO, ומרחקו מהישר השני $\frac{9}{\sqrt5}$ - נפסל.

משוואת המעגל: $(x-1.2)^2+(y-0.6)^2=1.8$.

טעות נפוצה: לקחת לניצב את השיפוע ההופכי בלי לשנות סימן ($-\frac12$) ולחפש את המרכז על $y=-\frac12x$. מתקבל $(x-1.2)^2+(y+0.6)^2=1.8$ - מעגל שעובר ב-O אבל אינו משיק שם ל-AO.

K על SB: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AS}+t\,\overrightarrow{SB}=\underline{w}+t\left(\underline{u}-\underline{w}\right)=t\underline{u}+(1-t)\underline{w}$.

K במישור שעובר דרך A, מכיל את $\overrightarrow{AC}=\underline{u}+\underline{v}$ ומקביל ל-$\overrightarrow{SD}=\underline{v}-\underline{w}$:

$\underline{u},\underline{v},\underline{w}$ אינם במישור אחד, ולכן ההצגה יחידה ומשווים מקדמים:

מכאן $\beta=-t$ ו-$t=1-t$, כלומר $t=\frac12$. K אמצע SB: $SK:KB=1:1$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SB}=\underline{u}+\underline{w}$. אז $\overrightarrow{AK}=t\underline{u}+(1+t)\underline{w}$, ההשוואה נותנת $t=1+t$, ומסיקים בטעות שהמישור אינו חותך את SB. $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AS}=\underline{u}-\underline{w}$.

$C=B+\overrightarrow{AD}=(4,3,0)$. $\overrightarrow{AC}=(4,3,0)$, $\overrightarrow{SD}=(0,3,-h)$.

נורמל $(a,b,c)$ מאונך לשניהם:

בוחרים $b=-4h$: $a=3h$, $c=\frac{3b}{h}=-12$. $\underline{n}=(3h,-4h,-12)$.

דרך A: $3hx-4hy-12z=0$.

בדיקה: K אמצע SB, $K(2,0,\frac h2)$: $6h-0-6h=0$ ✓.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SD}=(0,3,h)$ (טעות סימן ברכיב ה-$z$). אז $3b+hc=0$, הנורמל $(3h,-4h,12)$ והמישור $3hx-4hy+12z=0$ - שאינו עובר דרך K.

נורמל הבסיס (מישור $z=0$) הוא $(0,0,1)$. הזווית בין מישורים היא הזווית בין הנורמלים (החדה):

$h>0$, ולכן $h=\frac{12}{5}=2.4$.

טעות נפוצה: להוציא שורש מכל איבר בנפרד: $\sqrt{25h^2+144}=5h+12$. אז $\frac{12}{5h+12}=\frac1{\sqrt2}$ נותן $h=\frac{12(\sqrt2-1)}5\approx0.99$.

נורמל למישור SBD: מאונך ל-$\overrightarrow{SB}=(4,0,-h)$ ול-$\overrightarrow{SD}=(0,3,-h)$.

$(a,b,c)$: $4a-hc=0$, $3b-hc=0$. בוחרים $c=12$: $a=3h$, $b=4h$. $\underline{m}=(3h,4h,12)$.

מישורים מאונכים אם ורק אם הנורמלים מאונכים:

הביטוי שלילי לכל $h$ ולעולם אינו אפס. לכן אין $h$ כזה.

טעות נפוצה: לקחת $\overrightarrow{SB}=(4,0,h)$ ו-$\overrightarrow{SD}=(0,3,h)$ (טעות סימן בשניהם): הנורמל יוצא $(3h,4h,-12)$, המכפלה $9h^2-16h^2+144=0$ נותנת $h=\frac{12}{\sqrt7}$, ועונים בטעות "כן". $\overrightarrow{SB}=B-S=(4,0,-h)$.

מציבים $z=x+iy$. אגף שמאל: $2x^2+2xyi$. אגף ימין: $3x+3iy-x+iy+12+8i=(2x+12)+(4y+8)i$.

מהראשונה $x^2-x-6=0$, כלומר $x=3$ או $x=-2$. מהשנייה $y(2x-4)=8$: עבור $x=3$, $y=4$; עבור $x=-2$, $y=-1$ (רביע שלישי).

$z_1=3+4i$. מרכז הריבוע בראשית, והקודקודים הבאים בכפל ב-$i$:

טעות נפוצה: לכתוב $-\bar z=-x-iy$ - בצמוד החלק המדומה מחליף סימן, ולכן $-\bar z=-x+iy$.

הקודקודים ברביעים הראשון והשלישי הם $\pm z_1$, ואלה ברביעים השני והרביעי הם $\pm iz_1$. אחרי ההכפלה מתקבלים שני זוגות של נקודות סימטריות ביחס לראשית: $\pm w_1z_1$ ו-$\pm w_2iz_1$.

כל זוג נמצא על ישר דרך הראשית. כיוון הישר הראשון: $\arg z_1+\alpha$. כיוון הישר השני: $\arg z_1+90^\circ+\alpha+\beta$. ההפרש בין הכיוונים: $90^\circ+\beta$.

אם ההפרש $180^\circ$, שני הישרים מתלכדים וכל ארבע הנקודות על ישר אחד: $90^\circ+\beta=180^\circ$, כלומר $\beta=90^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $\beta=0^\circ$ - אז הזווית בין הישרים נשארת $90^\circ$ (כמו בריבוע), והנקודות יוצרות מרובע.

שני הזוגות סימטריים ביחס לראשית, ולכן האלכסונים חוצים זה את זה - המרובע הוא מקבילית.

אורכי האלכסונים: $2r_1|z_1|=10r_1$ ו-$10r_2$. מקבילית עם אלכסונים שווים היא מלבן, ולכן מלבן אם ורק אם $r_1=r_2$.

מעוין דורש אלכסונים מאונכים: $90^\circ+\beta=90^\circ$ (או $270^\circ$), כלומר $\beta=0^\circ$ או $\beta=180^\circ$ - שניהם מחוץ לתחום $0^\circ<\beta<180^\circ$. לכן המרובע אינו יכול להיות מעוין (ובפרט לא ריבוע).

טעות נפוצה: לחשוב שעבור $r_1=r_2$ המרובע הוא ריבוע - שוויון האלכסונים נותן מלבן, וניצבות אין לאף $\beta$ בתחום.

שטח הריבוע: האלכסון קוטר באורך 10, $S=\frac{100}{2}=50$.

שטח המרובע החדש לפי האלכסונים והזווית ביניהם:

טעות נפוצה: לפתור $\cos\beta=\frac12$ בלי ערך מוחלט ולקבל רק $\beta=60^\circ$ - גם $\beta=120^\circ$ נותן זווית בין אלכסונים של $210^\circ$, כלומר $30^\circ$, עם אותו שטח.

אנכיות: $e^x=2$ ו-$e^x=8$, כלומר $x=\ln2$ ו-$x=\ln8=3\ln2$.

כאשר $x\to-\infty$: $f(x)\to\frac{2}{-2}+\frac{8}{-8}+a=a-2$.

כאשר $x\to\infty$: $f(x)\to a$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=2$ ו-$x=8$ כאסימפטוטות אנכיות - אלה ערכי $e^x$.

כלומר $f$ יורדת בכל אחד משלושת הקטעים. בודקים את טווח הערכים של כל ענף:

$x<\ln2$: יורדת מהערך הגבולי $a-2$ ל-$-\infty$, ולכן מקבלת בדיוק את הערכים שמתחת ל-$a-2$. יש בה אפס אם ורק אם $a-2>0$.

$\ln2<x<\ln8$: יורדת מ-$+\infty$ ל-$-\infty$ - חותכת את ציר ה-$x$ בדיוק פעם אחת, לכל $a$.

$x>\ln8$: יורדת מ-$+\infty$ לערך הגבולי $a$, ומקבלת את הערכים שמעל $a$. יש בה אפס אם ורק אם $a<0$.

מסכמים: $a<0$ - שתי נקודות (אמצעי וימני); $0\le a\le2$ - נקודה אחת (אמצעי בלבד); $a>2$ - שתי נקודות (שמאלי ואמצעי).

טעות נפוצה: לשכוח שהענף האמצעי חותך תמיד, ולענות "נקודה אחת עבור $a<0$ או $a>2$, ואף נקודה עבור $0\le a\le2$".

$e^{\ln5}=5$:

$a=2$. (לפי סעיף ב, עבור $a=2$ זו נקודת החיתוך היחידה.)

טעות נפוצה: טעות סימן ב-$\frac{8}{5-8}$ (לכתוב $\frac83$) ולקבל $\frac23+\frac83+a=0$, $a=-\frac{10}{3}$.

$x=\ln4$ נמצא בענף האמצעי, משמאל לנקודת החיתוך $\ln5$, ושם $f>0$: השטח בין $\ln4$ ל-$\ln5$.

אין נוסחה ישירה לאינטגרל של $\frac{2}{e^x-2}$, ולכן מכנסים לשבר אחד עם מכנה $(e^x-2)(e^x-8)=e^{2x}-10e^x+16$:

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, ולכן הקדומה היא $\ln\left|e^{2x}-10e^x+16\right|$:

טעות נפוצה: "לבצע אינטגרל" ל-$\frac{2}{e^x-2}$ כאילו היה $\frac{2}{x-2}$, כלומר $2\ln|e^x-2|$. כך מתקבל $\left[2\ln|e^x-2|+8\ln|e^x-8|+2x\right]_{\ln4}^{\ln5}\approx-1.04$, ו"שטח" 1.04.

$e^x\ne a$, כלומר $x\ne\ln a$ (מוגדר כי $a>0$). שם המונה $a\ne0$ - אסימפטוטה $x=\ln a$.

$x\to\infty$: $f=\frac1{1-ae^{-x}}\to1$. $x\to-\infty$: $f\to\frac0{-a}=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=a$ או $y=\frac1a$ - $a$ מופיע רק באיבר החופשי של המכנה, והוא זניח ליד $e^x$ כש-$x\to\infty$.

יורדת בשני הענפים, לכל $a>0$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^x-a$ כ-$e^x-1$ - הנגזרת של קבוע היא 0.

ענף שמאלי ($x<\ln a$): $f<0$, יורדת מ-$0^-$ (כש-$x\to-\infty$) ל-$-\infty$. הטווח: $(-\infty,0)$.

ענף ימני ($x>\ln a$): יורדת מ-$+\infty$ ל-$1^+$. הטווח: $(1,\infty)$.

כל ענף רציף ויורד, ולכן מקבל כל ערך בטווח שלו פעם אחת. ערכים שאינם באף טווח: $0\le m\le1$.

טעות נפוצה: לכלול את $m=0$ ואת $m=1$ בטווח של הפונקציה ולענות "$0<m<1$" - אלה ערכי האסימפטוטות, שהפונקציה מתקרבת אליהם ולא מגיעה, ולכן גם להם אין פתרון: $0\le m\le1$.

$g(x)=\frac{e^x-a}{e^x}=1-ae^{-x}$, והאסימפטוטה האופקית שלה $y=1$ (כש-$x\to\infty$). $g<1$, וההפרש $1-g=ae^{-x}$.

$\ln(2a)$ ו-$\ln(4a)$ גדולים מ-$\ln a$, ולכן הקטע כולו בענף הימני.

השטח הוא $\frac14$ לכל $a>0$. הסבר: הגדלת $a$ פי $k$ מזיזה את הגרף של $g$ ימינה ב-$\ln k$ ($1-kae^{-x}=1-ae^{-(x-\ln k)}$), וגם הישרים זזים באותה מידה - השטח רק מוזז.

טעות נפוצה: לכתוב $e^{-\ln(2a)}=-2a$ או $\frac12a$ - $e^{-\ln(2a)}=\frac1{2a}$.

$a>1$, ולכן $\ln a>0$ וכל התחום $x<0$ בענף השמאלי, שבו $f<0$ ו-$f$ יורדת מ-$0^-$ ל-$-\infty$.

$s'(x)=-\big(f(x)-g(x)\big)=g(x)-f(x)=\frac1{f(x)}-f(x)=\frac{1-f^2(x)}{f(x)}$.

$s'=0$ כש-$f^2=1$, ובענף השמאלי $f=-1$: $e^x=a-e^x$, כלומר $e^x=\frac a2$, $x=\ln\frac a2$.

סימן: משמאל לנקודה $-1<f<0$, ולכן $1-f^2>0$ ו-$s'<0$; מימינה $f<-1$, $1-f^2<0$ ו-$s'>0$ - מינימום.

הנקודה צריכה להיות בתחום $x<0$: $\ln\frac a2<0$, כלומר $a<2$. עבור $a\ge2$, $f>-1$ בכל התחום, $s'<0$ תמיד, ואין קיצון.

לכן: ל-$s$ יש קיצון רק כש-$1<a<2$, ב-$x=\ln\frac a2$, והוא מינימום.