מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

$BC$ מקבילה לציר ה-$y$, ולכן ל-$B$ ול-$C$ אותו שיעור $x$. נסמן אותו ב-$t$ ($t\neq0$): $B(t,-a)$, $C(t,c)$.

הזווית ב-$A$ ישרה:

$M$ אמצע $BC$:

מסלקים את $t$: $y=\frac{x^2}{4a}$, כלומר:

הראשית ($t=0$) אינה מתקבלת.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AB}=(t,-a)$ (לשכוח לחסר את שיעור ה-$y$ של $A$) - אז $t^2-a(c-a)=0$, $c-a=\frac{t^2}a$, $y_M=\frac{t^2}{2a}$, ומתקבלת המשוואה השגויה $x^2=2ay$.

$x^2=2py$ עם $2p=4a$: פרבולה שקודקודה בראשית וציר הסימטריה שלה ציר ה-$y$.

$x^2\ge0$, ולכן $4ay\ge0$: כאשר $a>0$ כל הנקודות עם $y\ge0$ - פתוחה כלפי מעלה; כאשר $a<0$ - כלפי מטה.

בסרטוט: שתי פרבולות שנוגעות בראשית (נקודה ריקה), כל אחת שיקוף של השנייה בציר ה-$x$ (כשהערך המוחלט של $a$ שווה).

טעות נפוצה: לשרטט פרבולות פתוחות ימינה ושמאלה - המשתנה בריבוע הוא $x$, ולכן ציר הסימטריה הוא ציר ה-$y$.

ברביע הראשון $x_M=t>0$ ו-$y_M>0$, ולכן $a>0$. $M(t,y_1)$ עם $y_1=\frac{t^2}{4a}$.

משוואת המשיק ל-$x^2=2py$ בנקודה $(x_1,y_1)$: $xx_1=p(y+y_1)$. כאן $p=2a$:

שיפוע $\ell$ הוא $\frac{t}{2a}$. (אפשר גם לגזור: $y=\frac{x^2}{4a}$, $y'=\frac{x}{2a}$, וב-$x=t$ מקבלים $\frac{t}{2a}$.)

שיפוע $AC$, לפי סעיף א:

השיפועים שווים, ו-$A(0,a)$ אינה על $\ell$ (הצבה: $0=2a(a+y_1)$, לא מתקיים). לכן $\ell\parallel AC$.

טעות נפוצה: לחשב את שיפוע $AC$ כ-$\frac{t}{c-a}$ (הפרש ה-$x$ חלקי הפרש ה-$y$) ולקבל $\frac{2a}{t}$ - השיפוע הוא הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$.

$y_B=-a=-4$, ולכן $a=4$ והפרבולה היא $x^2=16y$.

ל-$x^2=16y$: $p=8$, המוקד $(0,4)$ והמדריך $y=-4$. כלומר $A$ היא המוקד.

לפי הגדרת הפרבולה, $AM$ שווה למרחק של $M$ מהמדריך:

$x_M^2=16\cdot9=144$, ו-$M$ ברביע הראשון: $x_M=12$. $M(12,9)$.

(אפשר גם בלי המוקד: $x^2+(y-4)^2=169$ עם $x^2=16y$ נותן $y^2+8y-153=0$, $y=9$ או $y=-17$, והשני נפסל.)

$B$ על הישר $y=-4$ ובאותו $x$ כמו $M$: $B(12,-4)$. $M$ אמצע $BC$:

בדיקה: $\overrightarrow{AB}=(12,-8)$, $\overrightarrow{AC}=(12,18)$, $144-144=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $AM=y_M-4$ (מרחק מהישר $y=4$ במקום מהמדריך $y=-4$) ולקבל $y_M=17$, $M(4\sqrt{17},17)$.

$AC$: דרך $A(0,4)$ עם שיפוע $\frac{22-4}{12}=\frac32$: $y=\frac32x+4$, כלומר $3x-2y+8=0$.

$\ell$: משיק ל-$x^2=16y$ ב-$M(12,9)$, $p=8$: $12x=8(y+9)$, כלומר $3x-2y-18=0$.

$A$ על $AC$ ועל המעגל, ולכן היא נקודת ההשקה עם $AC$. הקוטר שווה למרחק בין הישרים המקבילים:

המרכז על האנך ל-$AC$ ב-$A$, בצד של $\ell$. ב-$A$: $3x-2y-18=-26$, וכדי להתקרב לאפס הולכים בכיוון הנורמל $(3,-2)$:

בדיקה: מרחק $(3,2)$ מ-$\ell$: $\frac{|9-4-18|}{\sqrt{13}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין הישרים כרדיוס ($r=2\sqrt{13}$) - מתקבל המרכז $(6,0)$, שמרחקו מ-$AC$ כפול מהדרוש; המעגל נוגע בשני הישרים משני צדיו, ולכן המרחק ביניהם הוא הקוטר.

אם הנורמלים מקבילים, $\underline n_1=t\underline n_2$, הרכיב השני נותן $t=1$, ואז $k+1=k$ - סתירה.

לכן המישורים אינם מקבילים לאף $k$, ונחתכים בישר.

טעות נפוצה: לחפש $k$ שעבורו $\underline n_1\cdot\underline n_2=0$ - זה תנאי למישורים מאונכים, לא למקבילים.

$\ell$ אינו נחתך עם $[yz]$ כשהוא מקביל אליו ואינו מוכל בו. בנקודה של $\ell$ שבה $x=0$ צריכות להתקיים שתי משוואות המישורים:

מחסרים: $(k-2)z=-8$.

אם $k\ne2$ יש פתרון יחיד, כלומר $\ell$ חותך את $[yz]$ בנקודה אחת.

אם $k=2$ מתקבל $0\cdot z=-8$ - אין פתרון: אין על $\ell$ אף נקודה עם $x=0$.

בדיקה בדרך אחרת: ב-$k=2$, $\pi_1: 3x+y+z+6=0$ ו-$\pi_2: 2x+y+z-2=0$; חיסור נותן $x=-8$, כלומר $\ell$ מוכל כולו במישור $x=-8$, המקביל ל-$[yz]$.

$k=2$.

טעות נפוצה: לדרוש שווקטור הכיוון של $\ell$ יהיה מאונך ל-$(1,0,0)$ ולעצור שם - כך מקבלים "מקביל", אבל צריך גם לוודא שהישר אינו מוכל ב-$[yz]$ (אחרת הוא חותך אותו בכל נקודה).

מסעיף ב(1): $(k-2)z=-8$, ולכן

מ-$y+z=2$:

בדיקה ב-$k=0$: $P(0,-2,4)$; ב-$\pi_1$: $-2-4+6=0$ ✓, ב-$\pi_2$: $-2+4-2=0$ ✓.

טעות נפוצה: לחסר את המשוואות בסדר הפוך ולקבל $z=\frac{8}{k-2}$ - סימן הפוך. הצבה של ערך אחד של $k$ בשתי המשוואות מגלה את הטעות.

$A$: $x=z=0$ ב-$\pi_1$: $y=-6$, $A(0,-6,0)$. $B$: $x=z=0$ ב-$\pi_2$: $y=2$, $B(0,2,0)$. שתיהן אינן תלויות ב-$k$.

שלוש הנקודות במישור $[yz]$. $AB=8$, והגובה מ-$P$ לציר ה-$y$ הוא $|z_P|=\frac{8}{|2-k|}$:

שני הערכים שונים מ-2, ולכן P קיימת בשניהם.

טעות נפוצה: לשכוח את הערך המוחלט ולפתור $\frac{32}{2-k}=16$ בלבד, ולקבל רק $k=0$ - לגובה אין סימן, ולכן גם $k=4$ (שבו $z_P=-4$) נותן שטח 16.

$k=0$: $\underline n_1=(1,1,-1)$, $\underline n_2=(0,1,1)$:

המכפלה הסקלרית מתאפסת, ולכן המישורים מאונכים: $90^\circ$.

$k=4$: $\underline n_1=(5,1,3)$, $\underline n_2=(4,1,1)$:

טעות נפוצה: ב-$k=0$ להציב ולקבל $\cos\alpha=0$ ולכתוב $\alpha=0^\circ$ (מישורים מקבילים) - $\cos\alpha=0$ פירושו $\alpha=90^\circ$.

$-81=81\operatorname{cis}180^\circ$.

לפתרונות מודול $\sqrt[4]{81}=3$ וארגומנט $\frac{180^\circ+360^\circ k}4=45^\circ+90^\circ k$:

טעות נפוצה: לחלק רק את $180^\circ$ ב-4 ולקבל פתרון אחד, $3\operatorname{cis}45^\circ$ - יש להוסיף $\frac{360^\circ}4=90^\circ$ בכל פעם.

שתי נקודות $P$, $Q$ (שונות מ-$O$) נמצאות על ישר אחד שעובר דרך $O$ אם ורק אם הקרניים $OP$ ו-$OQ$ מתלכדות או הפוכות, כלומר הפרש הארגומנטים הוא כפולה של $180^\circ$.

בתחום $30^\circ<\alpha<100^\circ$: $\alpha=45^\circ$ ($k=1$) או $\alpha=90^\circ$ ($k=2$).

טעות נפוצה: להשוות את הארגומנטים $5\alpha=\alpha$ בלבד - כך מפספסים נקודות שנמצאות משני צדי הראשית.

$w_1$ הוא פתרון, ולכן $r=3$ ו-$\alpha$ אחד מהארגומנטים $45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ$.

מבין $45^\circ$ ו-$90^\circ$ (סעיף ב) רק $45^\circ$ מתאים: $\alpha=45^\circ$, $r=3$.

טעות נפוצה: לבחור $\alpha=90^\circ$ - $3\operatorname{cis}90^\circ=3i$ ו-$(3i)^4=81\ne-81$.

$A$: $w_1=3\operatorname{cis}45^\circ$. $C$: $w_2=9\operatorname{cis}225^\circ$ ($5\alpha=225^\circ$).

$B$: $w_3=4i=4\operatorname{cis}90^\circ$. $D$: $w_4=\frac6i=\frac{6\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}=-6i=6\operatorname{cis}270^\circ$.

$225^\circ-45^\circ=180^\circ$: $A$ ו-$C$ על קרניים הפוכות, $O$ על $AC$ ו-$AC=3+9=12$.

$B$ ו-$D$ על הציר המדומה משני צדי $O$: $BD=4+6=10$.

הזווית בין האלכסונים היא הזווית בין $OA$ ($45^\circ$) ל-$OB$ ($90^\circ$): $45^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $AC$ כהפרש המודולים ($9-3=6$) - $A$ ו-$C$ משני צדי $O$, ולכן מחברים.

חוצה הזווית בין $OA$ ($45^\circ$) ל-$OB$ ($90^\circ$) הוא הקרן בזווית $67.5^\circ$: $u=\rho\operatorname{cis}67.5^\circ$.

$\bar u=\rho\operatorname{cis}292.5^\circ$ ו-$\frac1u=\frac1\rho\operatorname{cis}292.5^\circ$ (בשניהם הארגומנט $-67.5^\circ$):

$|u|>1$, ולכן $u=3\operatorname{cis}67.5^\circ$.

טעות נפוצה: לבחור $\rho=\frac13$ - שני הפתרונות מקיימים את המשוואה, והתנאי $|u|>1$ פוסל את $\frac13$.

המכנה חיובי תמיד, ולכן אין אסימפטוטה אנכית.

$x\to\infty$: $\frac{1+a\frac{x}{e^x}}{1-\frac{x}{e^x}}\to1$. $x\to-\infty$: $e^x\to0$ והמנה מתקרבת ל-$\frac{ax}{-x}=-a$.

$a+1>0$, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $1-x$: מקסימום ב-$x=1$, $f(1)=\frac{e+a}{e-1}$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $a>-1$ בקביעת סוג הקיצון - הגורם $a+1$ קובע את הסימן, ורק כשהוא חיובי זה מקסימום.

$f(0)=\frac{1}{1}=1$, ולכן המשיק: $y=4x+1$.

טעות נפוצה: להשוות את $f(0)$ ל-4 במקום את $f'(0)$ - שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת.

נסמן $M=\frac{e+3}{e-1}\approx3.33$ (המקסימום).

$f(x)+3=\frac{4e^x}{e^x-x}>0$: משמאל הגרף מעל $y=-3$ ומתקרב אליו. $f(x)-1=\frac{4x}{e^x-x}$: חיובי ל-$x>0$, ולכן מימין הגרף מעל $y=1$ ומתקרב אליו.

ב-$x<1$ הפונקציה עולה מ-$-3$ (לא כולל) עד $M$; ב-$x>1$ היא יורדת מ-$M$ עד 1 (לא כולל).

ישר אופקי $y=m$:

$m\le-3$: לא פוגש את הגרף. $-3<m\le1$: פוגש רק את הענף העולה - פתרון אחד ($m=1$ ב-$x=0$). $1<m<M$: פוגש את שני הענפים - שני פתרונות. $m=M$: רק בקיצון - פתרון אחד. $m>M$: אין.

טעות נפוצה: לספור שני פתרונות גם ל-$m=1$ - הענף היורד רק מתקרב ל-$y=1$ ואינו מגיע אליו.

נקודות הפיתול של $f$ הן נקודות הקיצון של $f'$. $f'>0$ ל-$x<1$, $f'(1)=0$, ו-$f'\to0$ כש-$x\to-\infty$ - ולכן ל-$f'$ יש מקסימום בתחום $x<1$. ב-$x>1$, $f'<0$ ושואפת ל-0 - יש שם מינימום.

בדיוק שתי נקודות פיתול, אחת ב-$x=0$: זה המקסימום של $f'$. לכן $f'$ יורדת ב-$0<x<1$, ו-$f$ קעורה שם.

פונקציה קעורה נמצאת מעל המיתר ומתחת למשיק. בקטע $[0,1]$:

המיתר מ-$(0,1)$ ל-$\left(1,\frac{e+3}{e-1}\right)$: $y=1+\frac{4}{e-1}x$. המשיק ב-$x=0$ (סעיף ב): $y=1+4x$.