מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

$a^2=18$ ו-$c^2=18-b^2$. האלכסונים של המרובע הם $F_1F_2=2c$ ו-$D_1D_2=2b$; הם מאונכים וחוצים זה את זה, וריבוע הוא מעוין שאלכסוניו שווים: $c=b$.

טעות נפוצה: לדרוש שהצלע $F_1D_1$ תהיה שווה לאלכסון, או לקחת $c=a$. בריבוע האלכסונים שווים זה לזה: $2c=2b$.

$a=\sqrt{18}=3\sqrt2$ ו-$F_1(-3,0)$.

$E$ בין $F_1$ ל-$M$ על ישר אחד, ולכן $F_1M=F_1E+EM$, ועם הנתון $EM=EF_2$:

(סכום המרחקים מהמוקדים קבוע לכל נקודה על האליפסה.) כל $M$ במרחק $6\sqrt2$ מ-$F_1$, ולהפך כל נקודה במרחק הזה מתקבלת (הקרן מ-$F_1$ חותכת את האליפסה בדיוק פעם אחת). המקום הגאומטרי:

טעות נפוצה: לכתוב רדיוס $2a=36$ (לכפול את $a^2$ במקום את $a$) או לרשום $r^2=6\sqrt2$. הרדיוס הוא $2\sqrt{18}=6\sqrt2$, ובמשוואה מופיע ריבועו, 72.

אחרי ההזזה: $x^2+y^2=72$.

כפל שיעור ה-$y$ ב-$k$: $Y=ky_0$, כלומר $y_0=\frac{Y}{k}$. מציבים:

$0<k<1$, ולכן $72k^2<72$: הציר הגדול אופקי והמוקדים על ציר ה-$x$, עם

הקודקודים של האליפסה הנתונה על ציר ה-$x$ הם $\left(\pm\sqrt{18},0\right)$, ולכן $c'^2=18$:

($k>0$, ולכן הערך השלילי נפסל.) האליפסה: $\frac{x^2}{72}+\frac{y^2}{54}=1$.

טעות נפוצה: לדרוש שהמוקדים יהיו $(\pm3,0)$ - אלה המוקדים של האליפסה הנתונה, לא הקודקודים שלה. הקודקודים על ציר ה-$x$ נמצאים ב-$\pm a=\pm\sqrt{18}$.

נסמן את מוקדי האליפסה $\frac{x^2}{72}+\frac{y^2}{54}=1$ ב-$G_1\left(-3\sqrt2,0\right)$ ו-$G_2\left(3\sqrt2,0\right)$; כאן $a'=\sqrt{72}=6\sqrt2$.

היקף המשולש $PG_1G_2$:

$P$ על האליפסה, ולכן לפי הגדרתה $PG_1+PG_2=2a'=12\sqrt2$ - קבוע.

$G_1G_2=2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2$ - קבוע.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$2a$ של האליפסה הנתונה ($6\sqrt2$) - הנקודה $P$ נמצאת על האליפסה החדשה, ולכן סכום מרחקיה הוא $2a'$ של האליפסה החדשה.

הבסיס $G_1G_2=6\sqrt2$ על ציר ה-$x$, והגובה מ-$P(x_0,y_0)$ הוא $|y_0|$.

על האליפסה $\frac{x_0^2}{72}+\frac{y_0^2}{54}=1$ מתקיים $y_0^2\le54$, ולכן $|y_0|\le\sqrt{54}=3\sqrt6$ (בנקודות $(0,\pm3\sqrt6)$).

טעות נפוצה: לקחת את הבסיס כקוטר הגדול $2\sqrt{72}$ - הבסיס הוא בין המוקדים, לא בין הקודקודים.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline{u}+\underline{v}$ (במקבילית $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).

N אמצע SC, ולכן הווקטור מ-A אליה הוא ממוצע הווקטורים לקצות:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\frac12\overrightarrow{AC}$. אמצע הקטע SC הוא $\overrightarrow{AS}+\frac12\overrightarrow{SC}$, כלומר ממוצע של $\overrightarrow{AS}$ ו-$\overrightarrow{AC}$.

SA גובה, ולכן $\underline{w}\cdot\underline{u}=\underline{w}\cdot\underline{v}=0$.

האיברים $\underline{u}\cdot\underline{v}$ מתבטלים, ואיברי $\underline{w}$ הם אפס:

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{AC}$ כ-$\underline{v}-\underline{u}$ (האלכסון האחר): מתקבל $\frac12|\underline{v}-\underline{u}|^2=0$, כלומר "$B=D$" - סתירה במקום הוכחה. $\overrightarrow{AC}=\underline{u}+\underline{v}$.

מסעיף ב: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=10$.

$B(6,8,0)$.

במקבילית $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=(6,8,0)$:

טעות נפוצה: לחשב $C=B+\overrightarrow{DA}$, כלומר $(-4,8,0)$. הצלע BC שווה ומקבילה ל-AD, באותו כיוון: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(10,0,0)$.

הנורמל $\underline{n}=(a,b,c)$ מאונך ל-$\overrightarrow{BD}=(4,-8,0)$ ול-$\overrightarrow{SC}=(16,8,-8)$:

מהראשונה $a=2b$. מציבים: $32b+8b-8c=0$, כלומר $c=5b$. בוחרים $b=1$: $\underline{n}=(2,1,5)$.

דרך $D(10,0,0)$: $2x+y+5z=20$.

בדיקה: $B$: $12+8+0=20$ ✓. $S$: $40\neq20$, ולכן SC מקביל למישור ולא מוכל בו.

טעות נפוצה: להציב במשוואה את הנקודה S כדי למצוא את האיבר החופשי. S לא נמצאת במישור - המישור רק מקביל ל-SC.

נמצא את K: על SA כל הנקודות הן $(0,0,z)$. מציבים: $5z=20$, $z=4$. $K(0,0,4)$ - אמצע SA.

I: M אמצע BD (וגם אמצע AC): $M(8,4,0)$.

פרופורציוניים, ו-K אינה על SC - לכן $KM\parallel SC$. נכון (קטע אמצעים במשולש ASC).

II: BDK הוא המישור מסעיף ד, ו-SC מקביל לו: $(16,8,-8)\cdot(2,1,5)=32+8-40=0$.

ישר המאונך למישור מקביל לנורמל, ולכן מאונך ל-SC. נכון.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{SC}=(16,8,8)$ (טעות סימן ברכיב ה-$z$): אז $\overrightarrow{KM}=(8,4,-4)$ אינו פרופורציוני לו ועונים "I לא נכונה", ו-$(16,8,8)\cdot(2,1,5)=80\neq0$ ועונים "II לא נכונה". $\overrightarrow{SC}=C-S=(16,8,-8)$.

$z_1+z_2=-8i=8cis270^\circ$.

$w=2cis90^\circ=2i$, $w=2cis210^\circ=-\sqrt3-i$, $w=2cis330^\circ=\sqrt3-i$.

טעות נפוצה: לכתוב $-8i=8cis90^\circ$ - החלק המדומה שלילי, ולכן הארגומנט $270^\circ$ (או $-90^\circ$).

$z^n=2^ncis(n\theta)$. על ישר אחד דרך הראשית: הארגומנטים שווים או נבדלים ב-$180^\circ$:

בתחום $0^\circ\le\theta<360^\circ$: $0\le k<2(n-1)$, כלומר $k=0,1,\dots,2n-3$.

מספר האפשרויות: $2(n-1)$. (בדיקה: $n=3$ נותן 4, כמו $\theta=0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$.)

טעות נפוצה: לכתוב $\theta=\frac{360^\circ k}{n-1}$ (רק אותו כיוון) ולקבל $n-1$ אפשרויות - גם כיוונים מנוגדים נמצאים על אותו ישר.

צריך שכל אחד מהארגומנטים $90^\circ,210^\circ,330^\circ$ יהיה מהצורה $\frac{180^\circ k}{n-1}$, כלומר ש-$\frac{\varphi(n-1)}{180^\circ}$ יהיה שלם:

7 ו-11 זרים ל-6, ולכן צריך ש-6 יחלק את $n-1$ (וזה מבטיח גם את הראשון).

$n-1=6$, כלומר $n=7$. (אז $\theta=30^\circ k$, וכל הארגומנטים כפולות של $30^\circ$.)

טעות נפוצה: לבדוק רק את $2i$ ($90^\circ$) ולקבל $n=3$ - צריך שכל שלושת השורשים ייכללו.

ל-$n=7$ יש $2\cdot6=12$ מספרים, $2cis(30^\circ k)$ - קודקודים של מצולע משוכלל בן 12 צלעות החסום במעגל ברדיוס 2.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\sin60^\circ$ - הזווית המרכזית במצולע בן 12 צלעות היא $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$.

הכפל מסובב ב-$\alpha$ ומותח פי $m$, ולכן השטח גדל פי $m^2$: $12m^2=108$, $m=3$.

הקודקודים החדשים: $2cis(30^\circ k)\cdot3cis\alpha=6cis(30^\circ k+\alpha)$.

$3\sqrt2+3\sqrt2i=6cis45^\circ$ (ערך מוחלט $\sqrt{18+18}=6$ ✓). צריך $k$ שעבורו:

כש-$k$ עובר על $0,\dots,11$, $\alpha$ עובר על כל הזוויות $15^\circ+30^\circ j$: $15^\circ,45^\circ,75^\circ,\dots,345^\circ$ - 12 ערכים.

הסיבה: סיבוב ב-$30^\circ$ מעביר את המצולע המשוכלל לעצמו, ולכן כל אחד מ-12 הקודקודים יכול להגיע ל-$6cis45^\circ$.

טעות נפוצה: לענות רק $\alpha=45^\circ$ (בהנחה שהקודקוד 2 הוא זה שהגיע ל-$6cis45^\circ$) - כל קודקוד יכול להיות זה שעבר לשם.

$e^x-2\neq0$, כלומר $e^x\neq2$ ו-$x\neq\ln2$.

תחום ההגדרה: $x\neq\ln2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq\ln2$ וגם $x\neq\ln b$ (להוסיף את אפס המונה). מונה שמתאפס נותן נקודת חיתוך עם ציר $x$, לא נקודה מחוץ לתחום.

אנכית: ב-$x=\ln2$ המכנה מתאפס והמונה $2-b\neq0$ - אסימפטוטה $x=\ln2$.

$x\to\infty$: המכנה מסדר $e^{2x}$ והמונה מסדר $e^x$:

אסימפטוטה $y=0$.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, $f(x)\to\frac{-b}{(-2)^2}=-\frac b4$. אסימפטוטה $y=-\frac b4$.

טעות נפוצה: לחשב ב-$-\infty$: $\frac{-b}{-2^2}=\frac b4$ (לשים את המינוס מחוץ לריבוע). $(0-2)^2=4$ חיובי, ולכן הערך $-\frac b4$.

ציר $y$: $f(0)=\frac{1-b}{(1-2)^2}=1-b$. הנקודה $(0,1-b)$.

ציר $x$: $e^x=b$, ו-$b>0$, ולכן $x=\ln b$. הנקודה $(\ln b,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(1-2)^2=-1$ ולקבל $(0,b-1)$. ריבוע של מספר שלילי חיובי.

כלל המנה, עם $\left[(e^x-2)^2\right]'=2(e^x-2)e^x$:

$f'(\ln4)=0$: $2b-2-4=0$, $b=3$.

סביב $\ln4$: $e^x>2$, המכנה חיובי, והסימן לפי $4-e^x$: חיובי ואחר כך שלילי - מקסימום.

טעות נפוצה: להציב בנגזרת את $x=\ln4$ במקום $e^x=4$: $2b-2-\ln4=0$, ומתקבל $b=1+\ln2\approx1.69$. במשוואה מופיע $e^x$, ו-$e^{\ln4}=4$.

$f(x)=\frac{e^x-3}{(e^x-2)^2}$. $g=\frac1f$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מ-0.

$f$ לא מוגדרת ב-$\ln2$, ו-$f=0$ כאשר $e^x=3$, $x=\ln3$.

תחום: $x\neq\ln2$, $x\neq\ln3$.

טעות נפוצה: לשכוח את $x=\ln2$ כי בביטוי $\frac{(e^x-2)^2}{e^x-3}$ אין שם בעיה. $g$ מוגדרת רק היכן ש-$f$ עצמה מוגדרת.

$g(x)=\frac{(e^x-2)^2}{e^x-3}$.

$x=\ln3$: המכנה מתאפס והמונה $1\neq0$ - אסימפטוטה אנכית.

$x=\ln2$: $f\to-\infty$ ולכן $g\to0$ - חור בנקודה $(\ln2,0)$, לא אסימפטוטה.

$x\to-\infty$: $g\to\frac{4}{-3}=-\frac43$ - אסימפטוטה $y=-\frac43$.

$x\to\infty$: $g\approx e^x\to\infty$ - אין אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לכתוב $y=-\frac34$ (להעתיק את האסימפטוטה של $f$). האסימפטוטה של $\frac1f$ היא ההופכי: $\frac1{-3/4}=-\frac43$.

$f$: משמאל ל-$\ln2$ הנגזרת $\frac{e^x(4-e^x)}{(e^x-2)^3}$ שלילית (מכנה שלילי), ולכן $f$ יורדת מ-$-\frac34$ אל $-\infty$, דרך $(0,-2)$.

מימין ל-$\ln2$: עולה מ-$-\infty$, חותכת את ציר $x$ ב-$\ln3$, מקסימום $\left(\ln4,\frac14\right)$, ויורדת אל 0.

$g=\frac1f$: משמאל ל-$\ln2$ עולה מ-$-\frac43$ אל 0 (חור ב-$(\ln2,0)$), דרך $\left(0,-\frac12\right)$.

בין $\ln2$ ל-$\ln3$: $f$ עולה מ-$-\infty$ אל $0^-$, ולכן $g$ יורדת מ-0 אל $-\infty$.