דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 3 מעל רמת בגרות

5 יח"ל · שאלון 035572 · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 572 (5 יח"ל), מעל רמת בגרות: 5 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · אליפסה לא ידועה, משיק וריבוע שמרכזו בקודקוד

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2a2+y2144=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{144}=1, a>12a>12. הנקודה FF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-xx. הנקודה BB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-yy, והנקודה DD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBF עם המעגל. נתון: BD:DF=4:1BD:DF=4:1.

א.

מצאו את הערך של aa ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה DD ואת משוואת המשיק למעגל בנקודה DD.

בונים ריבוע שהנקודה BB היא נקודת המפגש של אלכסוניו, ואחת מצלעותיו נמצאת על המשיק שמצאתם בסעיף ב.

ג.

מצאו את משוואות הישרים שעליהם נמצאות ארבע הצלעות של הריבוע.

ד.

האם מרכז האליפסה O(0,0)O(0,0) נמצא בתוך הריבוע? האם המוקד השמאלי של האליפסה נמצא בתוך הריבוע? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

a=20a=20, (x−16)2+y2=16(x-16)^2+y^2=16

נסמן cc - המרחק של המוקד מהראשית: F(c,0)F(c,0), B(0,12)B(0,12), והקודקוד הימני (a,0)(a,0).

BF=c2+122=c2+b2=aBF=\sqrt{c^2+12^2}=\sqrt{c^2+b^2}=a

(כי באליפסה b2+c2=a2b^2+c^2=a^2.)

הרדיוס הוא DF=a−cDF=a-c, ולכן BD=BF−DF=a−(a−c)=cBD=BF-DF=a-(a-c)=c.

BDDF=ca−c=4⇒c=4a−4c⇒c=0.8a\frac{BD}{DF}=\frac{c}{a-c}=4\quad\Rightarrow\quad c=4a-4c\quad\Rightarrow\quad c=0.8a
a2−c2=144⇒a2−0.64a2=0.36a2=144⇒a=20a^2-c^2=144\quad\Rightarrow\quad a^2-0.64a^2=0.36a^2=144\quad\Rightarrow\quad a=20

c=16c=16, F(16,0)F(16,0), הרדיוס 20−16=420-16=4:

(x−16)2+y2=16(x-16)^2+y^2=16

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס כ-cc (המרחק של המוקד מהראשית) במקום a−ca-c: אז BD=a−cBD=a-c, מ-a−cc=4\frac{a-c}{c}=4 מתקבל c=0.2ac=0.2a, ו-0.96a2=1440.96a^2=144 נותן a=56≈12.25a=5\sqrt6\approx12.25. המעגל עובר בקודקוד (a,0)(a,0), ולכן הרדיוס a−ca-c.

סעיף ב

תשובה:

D(12.8,2.4)D(12.8,2.4), 4x−3y−44=04x-3y-44=0

DD נמצאת 45\frac45 מהדרך מ-B(0,12)B(0,12) ל-F(16,0)F(16,0):

xD=45⋅16=12.8,yD=12+45(0−12)=2.4x_D=\frac45\cdot16=12.8,\qquad y_D=12+\frac45(0-12)=2.4
mFD=2.4−012.8−16=−34⇒mמשיק=43m_{FD}=\frac{2.4-0}{12.8-16}=-\frac34\quad\Rightarrow\quad m_{\text{משיק}}=\frac43
y−2.4=43(x−12.8)⇒3y−7.2=4x−51.2⇒4x−3y−44=0y-2.4=\frac43(x-12.8)\quad\Rightarrow\quad 3y-7.2=4x-51.2\quad\Rightarrow\quad 4x-3y-44=0

טעות נפוצה: לחלק את BFBF ביחס 1:41:4 מ-BB ולקבל (3.2,9.6)(3.2,9.6) - נקודה שאינה על המעגל (DFDF חייב להיות 4).

סעיף ג

תשובה:

4x−3y−44=04x-3y-44=0, 4x−3y+116=04x-3y+116=0, 3x+4y+32=03x+4y+32=0, 3x+4y−128=03x+4y-128=0

המרחק של B(0,12)B(0,12) מהמשיק:

d=∣4⋅0−3⋅12−44∣5=805=16d=\frac{|4\cdot0-3\cdot12-44|}{5}=\frac{80}{5}=16

BB מרכז הריבוע, ולכן כל צלע במרחק 16 מ-BB, ואורך הצלע 32.

צלע מקבילה למשיק: 4x−3y+c=04x-3y+c=0. ב-BB: 4x−3y=−364x-3y=-36; על המשיק 4x−3y=444x-3y=44, כלומר המשיק "מעל" BB ב-80. הצלע הנגדית "מתחת" ב-80: 4x−3y=−1164x-3y=-116, כלומר 4x−3y+116=04x-3y+116=0.

שתי הצלעות האחרות מאונכות למשיק, ולכן מהצורה 3x+4y+e=03x+4y+e=0, במרחק 16 מ-BB:

∣3⋅0+4⋅12+e∣5=16⇒∣48+e∣=80⇒e=32 או e=−128\frac{|3\cdot0+4\cdot12+e|}{5}=16\quad\Rightarrow\quad|48+e|=80\quad\Rightarrow\quad e=32\ \text{או}\ e=-128

שני הערכים מתאימים - אלה שתי הצלעות משני צדי BB.

טעות נפוצה: לקחת את אורך הצלע כמרחק 16 (במקום 2⋅162\cdot16): אז הצלע הנגדית 4x−3y+36=04x-3y+36=0 (עוברת דרך BB עצמה) והצלעות הניצבות מ-∣48+e∣=40|48+e|=40: 3x+4y−8=03x+4y-8=0 ו-3x+4y−88=03x+4y-88=0. BB מרכז הריבוע, ולכן כל צלע במרחק חצי צלע ממנו.

סעיף ד

תשובה:

OO בתוך הריבוע; המוקד השמאלי (−16,0)(-16,0) מחוץ לריבוע

נקודה בתוך הריבוע אם היא בין שתי הצלעות המקבילות למשיק (−116<4x−3y<44-116<4x-3y<44) וגם בין שתי הצלעות הניצבות (−32<3x+4y<128-32<3x+4y<128).

בדיקה: ב-BB מתקבל 4x−3y=−364x-3y=-36 ו-3x+4y=483x+4y=48 - שניהם בתוך התחומים.

O(0,0)O(0,0): 4x−3y=04x-3y=0, בין −116-116 ל-4444; 3x+4y=03x+4y=0, בין −32-32 ל-128128. לכן OO בתוך הריבוע.

המוקד השמאלי (−16,0)(-16,0): 4x−3y=−644x-3y=-64, בין −116-116 ל-4444; אבל 3x+4y=−48<−323x+4y=-48<-32 - הנקודה מעבר לצלע 3x+4y+32=03x+4y+32=0. לכן היא מחוץ לריבוע.

(בדיקת מרחק: המרחק של (−16,0)(-16,0) מהישר 3x+4y−48=03x+4y-48=0, שעובר דרך BB ומאונך למשיק, הוא ∣−48−48∣5=19.2>16\frac{|-48-48|}{5}=19.2>16.)

טעות נפוצה: לבדוק רק את המרחק מהמשיק ומהצלע המקבילה לו (−64-64 בתחום) ולהסיק שהמוקד בתוך הריבוע - צריך לבדוק גם את זוג הצלעות השני.

שאלה 2 · וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE נמצאת על המקצוע CC′CC' כך ש-CE→=34CC′⃗\overrightarrow{CE}=\frac34\vec{CC'}.

AA'BB'CC'DD'E
א.

הביעו את EB→\overrightarrow{EB} ו-ED→\overrightarrow{ED} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

הנקודה MM מקיימת: CM→=−49u‾−19v‾+13w‾\overrightarrow{CM}=-\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac13\underline w.

ב.

הביעו את EM→\overrightarrow{EM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

נתון: EM→=a⋅EB→+b⋅ED→\overrightarrow{EM}=a\cdot\overrightarrow{EB}+b\cdot\overrightarrow{ED}. aa ו-bb הם פרמטרים.

ג(1).

מצאו את הערך של aa ואת הערך של bb.

ג(2).

האם הנקודה MM נמצאת במישור BDEBDE? נמקו את תשובתכם.

נתון כי ∣w‾∣=4|\underline w|=4 והווקטור CM→\overrightarrow{CM} מאונך למישור BDEBDE.

ד.

מצאו את הערך של ∣u‾∣|\underline u| ואת הערך של ∣v‾∣|\underline v|.

ה.

חשבו את המרחק בין הנקודה CC ובין המישור BDEBDE.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

EB→=−34w‾−v‾\overrightarrow{EB}=-\frac34\underline w-\underline v, ED→=−34w‾−u‾\overrightarrow{ED}=-\frac34\underline w-\underline u

EC→=−CE→=−34w‾\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{CE}=-\frac34\underline w.

מ-CC ל-BB: CB→=−AD→=−v‾\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}=-\underline v; מ-CC ל-DD: CD→=−AB→=−u‾\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-\underline u.

EB→=EC→+CB→=−34w‾−v‾\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}=-\frac34\underline w-\underline v
ED→=EC→+CD→=−34w‾−u‾\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CD}=-\frac34\underline w-\underline u

טעות נפוצה: לכתוב EC→=−14w‾\overrightarrow{EC}=-\frac14\underline w - היחס 34\frac34 נמדד מ-CC, ולכן EE במרחק 34\frac34 מהמקצוע מעל CC.

סעיף ב

תשובה:

EM→=−49u‾−19v‾−512w‾\overrightarrow{EM}=-\frac49\underline u-\frac19\underline v-\frac5{12}\underline w

EM→=EC→+CM→=−34w‾−49u‾−19v‾+13w‾\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CM}=-\frac34\underline w-\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac13\underline w
EM→=−49u‾−19v‾−512w‾\overrightarrow{EM}=-\frac49\underline u-\frac19\underline v-\frac5{12}\underline w

(−34+13=−912+412=−512-\frac34+\frac13=-\frac9{12}+\frac4{12}=-\frac5{12}.)

טעות נפוצה: לחבר CE→+CM→\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CM} - הכיוון של הקטע הראשון הפוך, ומתקבל +1312w‾+\frac{13}{12}\underline w.

סעיף ג(1)

תשובה:

a=19a=\frac19, b=49b=\frac49

aEB→+bED→=a(−v‾−34w‾)+b(−u‾−34w‾)=−bu‾−av‾−34(a+b)w‾a\overrightarrow{EB}+b\overrightarrow{ED}=a\left(-\underline v-\frac34\underline w\right)+b\left(-\underline u-\frac34\underline w\right)=-b\underline u-a\underline v-\frac34(a+b)\underline w

ההצגה באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w יחידה, ולכן משווים מקדמים לסעיף ב:

מקדם u‾\underline u: −b=−49-b=-\frac49, כלומר b=49b=\frac49.

מקדם v‾\underline v: −a=−19-a=-\frac19, כלומר a=19a=\frac19.

מקדם w‾\underline w (בדיקה): −34⋅59=−512-\frac34\cdot\frac59=-\frac5{12} - מתאים.

טעות נפוצה: להחליף בין aa ל-bb - aa הוא המקדם של EB→\overrightarrow{EB}, שבו מופיע v‾\underline v, ולכן aa נקבע ממקדם v‾\underline v.

סעיף ג(2)

תשובה:

כן

EB→\overrightarrow{EB} ו-ED→\overrightarrow{ED} הם שני וקטורים לא מקבילים במישור BDEBDE, שיוצאים מ-EE.

EM→=19EB→+49ED→\overrightarrow{EM}=\frac19\overrightarrow{EB}+\frac49\overrightarrow{ED} הוא צירוף לינארי שלהם, ולכן MM נמצאת במישור BDEBDE.

טעות נפוצה: לדרוש a+b=1a+b=1 - זה התנאי לכך ש-MM על הישר BDBD, לא במישור.

סעיף ד

תשובה:

∣u‾∣=3|\underline u|=3, ∣v‾∣=6|\underline v|=6

CM→\overrightarrow{CM} מאונך למישור, ולכן מאונך ל-EB→\overrightarrow{EB} ול-ED→\overrightarrow{ED}. מקצועות התיבה ניצבים זה לזה, ולכן u‾⋅v‾=u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0, ו-u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2 וכן הלאה.

CM→⋅EB→=(−49u‾−19v‾+13w‾)⋅(−v‾−34w‾)=19∣v‾∣2−14∣w‾∣2=0\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{EB}=\left(-\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac13\underline w\right)\cdot\left(-\underline v-\frac34\underline w\right)=\frac19|\underline v|^2-\frac14|\underline w|^2=0

∣w‾∣2=16|\underline w|^2=16: 19∣v‾∣2=4\frac19|\underline v|^2=4, ולכן ∣v‾∣=6|\underline v|=6.

CM→⋅ED→=(−49u‾−19v‾+13w‾)⋅(−u‾−34w‾)=49∣u‾∣2−14∣w‾∣2=0\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{ED}=\left(-\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac13\underline w\right)\cdot\left(-\underline u-\frac34\underline w\right)=\frac49|\underline u|^2-\frac14|\underline w|^2=0

49∣u‾∣2=4\frac49|\underline u|^2=4, ולכן ∣u‾∣=3|\underline u|=3.

טעות נפוצה: לכפול 13w‾⋅(−34w‾)\frac13\underline w\cdot\left(-\frac34\underline w\right) ולקבל −14∣w‾∣-\frac14|\underline w| בלי ריבוע - מכפלה סקלרית של וקטור בעצמו היא ריבוע האורך.

סעיף ה

תשובה:

2

MM במישור ו-CMCM מאונך לו, ולכן המרחק הוא ∣CM→∣|\overrightarrow{CM}|:

∣CM→∣2=1681∣u‾∣2+181∣v‾∣2+19∣w‾∣2=16⋅981+3681+169=169+49+169=4|\overrightarrow{CM}|^2=\frac{16}{81}|\underline u|^2+\frac1{81}|\underline v|^2+\frac19|\underline w|^2=\frac{16\cdot9}{81}+\frac{36}{81}+\frac{16}9=\frac{16}9+\frac49+\frac{16}9=4
∣CM→∣=2|\overrightarrow{CM}|=2

טעות נפוצה: לא להעלות בריבוע את המקדמים: 49∣u‾∣2+19∣v‾∣2+13∣w‾∣2=4+4+163=403\frac49|\underline u|^2+\frac19|\underline v|^2+\frac13|\underline w|^2=4+4+\frac{16}3=\frac{40}3, ולקבל ∣CM→∣≈3.65|\overrightarrow{CM}|\approx3.65. בריבוע האורך כל מקדם מופיע בריבוע: 1681\frac{16}{81}, 181\frac1{81}, 19\frac19.

שאלה 3 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועים

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64, כאשר cc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב(1).

הסבירו מדוע לכל cc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

ב(2).

ידוע כי z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3 הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של cc.

ג(1).

הציבו את הערך של cc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

ג(2).

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

3+i\sqrt3+i, 2i2i, −3+i-\sqrt3+i, −3−i-\sqrt3-i, −2i-2i, 3−i\sqrt3-i

−64=64cis180∘-64=64\text{cis}180^\circ, r=646=2r=\sqrt[6]{64}=2, θ=30∘+60∘k\theta=30^\circ+60^\circ k:

2cis30∘=3+i, 2cis90∘=2i, 2cis150∘=−3+i2\text{cis}30^\circ=\sqrt3+i,\ 2\text{cis}90^\circ=2i,\ 2\text{cis}150^\circ=-\sqrt3+i
2cis210∘=−3−i, 2cis270∘=−2i, 2cis330∘=3−i2\text{cis}210^\circ=-\sqrt3-i,\ 2\text{cis}270^\circ=-2i,\ 2\text{cis}330^\circ=\sqrt3-i

טעות נפוצה: לקחת r=646r=\frac{64}{6} - המודול של שורש מסדר 6 הוא השורש השישי של 64, כלומר 2.

סעיף ב(1)

תשובה:

מרכז בנקודה cc, צלע 2

עם w=z−cw=z-c: z=w+cz=w+c, כאשר ww פתרון של I. כל הפתרונות של II מתקבלים מפתרונות I בהזזה באותו וקטור cc.

פתרונות I: מודול 2 וזוויות בהפרש 60∘60^\circ - משושה משוכלל שמרכזו בראשית; כל שני שכנים יוצרים עם המרכז משולש שווה-צלעות, ולכן הצלע שווה לרדיוס, 2.

הזזה שומרת אורכים וזוויות: פתרונות II הם קודקודי משושה משוכלל שמרכזו cc (לכל פתרון ∣z−c∣=2|z-c|=2) וצלעו 2.

טעות נפוצה: לחשוב שהצלע שווה לקוטר (4) - במשושה משוכלל הצלע שווה לרדיוס המעגל החוסם.

סעיף ב(2)

תשובה:

c=3+ic=\sqrt3+i או c=3−ic=\sqrt3-i

המרחק בין שני הפתרונות הוא 232\sqrt3.

במשושה משוכלל שצלעו 2 יש שלושה מרחקים אפשריים בין קודקודים: 2 (שכנים), 232\sqrt3 (עם קודקוד אחד ביניהם), 4 (קודקודים נגדיים). לכן 00 ו-232\sqrt3 אינם נגדיים, ו-cc אינו אמצע הקטע ביניהם.

המרכז cc נמצא במרחק 2 משני הפתרונות. נסמן c=x+yic=x+yi:

x2+y2=4,(x−23)2+y2=4x^2+y^2=4,\qquad (x-2\sqrt3)^2+y^2=4

מחסרים: −43x+12=0-4\sqrt3x+12=0, x=3x=\sqrt3; אז y2=1y^2=1, y=±1y=\pm1.

בדיקה: עבור c=3+ic=\sqrt3+i, 0−c=−3−i0-c=-\sqrt3-i ו-23−c=3−i2\sqrt3-c=\sqrt3-i - שניהם פתרונות של I ✓. עבור c=3−ic=\sqrt3-i: −3+i-\sqrt3+i ו-3+i\sqrt3+i ✓.

c=3+ic=\sqrt3+i או c=3−ic=\sqrt3-i.

טעות נפוצה: להניח ש-00 ו-232\sqrt3 נגדיים ולקבל c=3c=\sqrt3 - אז ∣0−c∣=3≠2|0-c|=\sqrt3\ne2, כלומר 00 כלל אינו פתרון.

סעיף ג(1)

תשובה:

23+2i2\sqrt3+2i, 3+3i\sqrt3+3i, 2i2i, 00, 3−i\sqrt3-i, 232\sqrt3; המעגל (x−3)2+(y−1)2=4(x-\sqrt3)^2+(y-1)^2=4

c=3+ic=\sqrt3+i, ו-z=w+3+iz=w+\sqrt3+i:

(3+i)+c=23+2i,2i+c=3+3i,(−3+i)+c=2i(\sqrt3+i)+c=2\sqrt3+2i,\quad 2i+c=\sqrt3+3i,\quad(-\sqrt3+i)+c=2i
(−3−i)+c=0,−2i+c=3−i,(3−i)+c=23(-\sqrt3-i)+c=0,\quad -2i+c=\sqrt3-i,\quad(\sqrt3-i)+c=2\sqrt3

כולם במרחק 2 מ-cc:

(x−3)2+(y−1)2=4(x-\sqrt3)^2+(y-1)^2=4

טעות נפוצה: לחסר את cc במקום להוסיף (z=w−cz=w-c) - אז 00 ו-232\sqrt3 לא יופיעו ברשימה, בניגוד לנתון. כדאי לבדוק שהנתונים מתקיימים.

סעיף ג(2)

תשובה:

33

על הצירים: 00 (הראשית), 2i2i (על הציר המדומה), 232\sqrt3 (על הציר הממשי). שאר הפתרונות, 23+2i2\sqrt3+2i, 3+3i\sqrt3+3i, 3−i\sqrt3-i, אינם על ציר.

המשולש ישר-זווית בראשית, עם ניצבים 2 ו-232\sqrt3:

Sמשולש=2⋅232=23S_{\text{משולש}}=\frac{2\cdot2\sqrt3}{2}=2\sqrt3

המשושה: S=6⋅34⋅22=63S=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2=6\sqrt3.

6323=3\frac{6\sqrt3}{2\sqrt3}=3

טעות נפוצה: לחשב את שטח המשושה כשישה משולשים עם "גובה 2": 6⋅12⋅2⋅2=126\cdot\frac12\cdot2\cdot2=12, ולקבל יחס 1223=23≈3.46\frac{12}{2\sqrt3}=2\sqrt3\approx3.46 - הגובה של משולש שווה-צלעות שצלעו 2 הוא 3\sqrt3, ולכן שטח המשושה 636\sqrt3.

שאלה 4 · פונקציה ונגזרתה: , חקירה, שטח ואינטגרל

נתונות הפונקציות: f(x)=a−x2exf(x)=\frac{a-x^2}{e^x}, g(x)=x2+2x−7exg(x)=\frac{x^2+2x-7}{e^x} המוגדרות לכל xx. aa הוא פרמטר.

א.

מצאו את הערך של aa שבעבורו: f(x)=g′(x)f(x)=g'(x) לכל ערך של xx.

הציבו את הערך של aa שמצאתם, וענו על הסעיפים ב-ה שלפניכם.

ב(1).

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב(2).

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם הצירים.

ב(3).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של כל אחת מן הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו באותה מערכת צירים סקיצות של גרף הפונקציה f(x)f(x) ושל גרף הפונקציה g(x)g(x).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xx.

ה.

חשבו את הערך של הביטוי: ∫34(e2x(x2+2x−7)2)⋅(x2−9ex)dx\int_3^4\left(\frac{e^{2x}}{(x^2+2x-7)^2}\right)\cdot\left(\frac{x^2-9}{e^x}\right)dx.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

a=9a=9

גוזרים את gg לפי נגזרת מנה:

g′(x)=(2x+2)ex−(x2+2x−7)exe2x=2x+2−x2−2x+7ex=9−x2exg'(x)=\frac{(2x+2)e^x-(x^2+2x-7)e^x}{e^{2x}}=\frac{2x+2-x^2-2x+7}{e^x}=\frac{9-x^2}{e^x}

f(x)=g′(x)f(x)=g'(x) לכל xx כאשר המונים שווים: a−x2=9−x2a-x^2=9-x^2, כלומר a=9a=9.

טעות נפוצה: לפתוח −(x2+2x−7)-(x^2+2x-7) כ-−x2−2x−7-x^2-2x-7 (לשכוח להפוך את סימן ה-7) - מתקבל מונה −x2−5-x^2-5, ו-a=−5a=-5.

סעיף ב(1)

תשובה:

ציר yy: (0,9)(0,9); ציר xx: (−3,0)(-3,0), (3,0)(3,0)

f(x)=9−x2exf(x)=\frac{9-x^2}{e^x}.

חיתוך עם ציר yy: f(0)=91=9f(0)=\frac91=9, הנקודה (0,9)(0,9).

חיתוך עם ציר xx: ex>0e^x>0 לכל xx, ולכן השבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס: 9−x2=09-x^2=0, x=±3x=\pm3.

הנקודות (−3,0)(-3,0) ו-(3,0)(3,0).

טעות נפוצה: לכתוב רק x=3x=3 - ל-x2=9x^2=9 שני פתרונות, ולכן יש גם נקודת חיתוך (−3,0)(-3,0).

סעיף ב(2)

תשובה:

ציר yy: (0,−7)(0,-7); ציר xx: (−1−22,0)(-1-2\sqrt2,0), (−1+22,0)(-1+2\sqrt2,0)

חיתוך עם ציר yy: g(0)=−71=−7g(0)=\frac{-7}{1}=-7, הנקודה (0,−7)(0,-7).

חיתוך עם ציר xx: x2+2x−7=0x^2+2x-7=0:

x=−2±4+282=−2±422=−1±22x=\frac{-2\pm\sqrt{4+28}}{2}=\frac{-2\pm4\sqrt2}{2}=-1\pm2\sqrt2

הנקודות (−1−22,0)≈(−3.83,0)(-1-2\sqrt2,0)\approx(-3.83,0) ו-(−1+22,0)≈(1.83,0)(-1+2\sqrt2,0)\approx(1.83,0).

טעות נפוצה: לחשב את הדיסקרימיננטה כ-4−28<04-28<0 ולהסיק שאין חיתוך עם ציר ה-xx - b2−4ac=4−4⋅1⋅(−7)=32b^2-4ac=4-4\cdot1\cdot(-7)=32.

סעיף ב(3)

תשובה:

gg: min⁡(−3,−4e3)\min(-3,-4e^3), max⁡(3,8e3)\max\left(3,\frac8{e^3}\right); ff: max⁡(1−10, 37.58)\max\left(1-\sqrt{10},\ 37.58\right), min⁡(1+10, −0.130)\min\left(1+\sqrt{10},\ -0.130\right)

הפונקציה gg: לפי סעיף א, g′(x)=f(x)g'(x)=f(x). נקודות החשודות לקיצון של gg הן האפסים של ff: x=−3x=-3, x=3x=3.

סימן g′=fg'=f נקבע לפי 9−x29-x^2: שלילי עבור x<−3x<-3, חיובי עבור −3<x<3-3<x<3, שלילי עבור x>3x>3.

לכן ב-x=−3x=-3 מינימום: g(−3)=9−6−7e−3=−4e3≈−80.3g(-3)=\frac{9-6-7}{e^{-3}}=-4e^3\approx-80.3; ב-x=3x=3 מקסימום: g(3)=8e3≈0.398g(3)=\frac{8}{e^3}\approx0.398.

הפונקציה ff:

f′(x)=−2x⋅ex−(9−x2)exe2x=x2−2x−9exf'(x)=\frac{-2x\cdot e^x-(9-x^2)e^x}{e^{2x}}=\frac{x^2-2x-9}{e^x}

x2−2x−9=0x^2-2x-9=0: x=1±10x=1\pm\sqrt{10}. המונה פרבולה "מחייכת": חיובי מחוץ לשורשים ושלילי ביניהם.

ב-x=1−10≈−2.16x=1-\sqrt{10}\approx-2.16: f′f' עובר מחיובי לשלילי - מקסימום. 9−x2=9−(11−210)=210−29-x^2=9-(11-2\sqrt{10})=2\sqrt{10}-2:

f(1−10)=(210−2)e10−1≈4.325⋅8.69≈37.58f(1-\sqrt{10})=\left(2\sqrt{10}-2\right)e^{\sqrt{10}-1}\approx4.325\cdot8.69\approx37.58

ב-x=1+10≈4.16x=1+\sqrt{10}\approx4.16: f′f' עובר משלילי לחיובי - מינימום. 9−x2=9−(11+210)=−2−2109-x^2=9-(11+2\sqrt{10})=-2-2\sqrt{10}:

f(1+10)=−2−210e1+10≈−8.32564.2≈−0.130f(1+\sqrt{10})=\frac{-2-2\sqrt{10}}{e^{1+\sqrt{10}}}\approx\frac{-8.325}{64.2}\approx-0.130

טעות נפוצה: לקבוע את סוג הקיצון של gg לפי סימן f′f' ולא לפי סימן ff - מתקבל "מקסימום ב-x=−3x=-3 ומינימום ב-x=3x=3", ההפך; סוג הקיצון של gg נקבע לפי סימן g′=fg'=f.

סעיף ג

תשובה:

gg: יורדת מ-∞\infty, חוצה את ציר ה-xx ב-−1−22-1-2\sqrt2, יורדת למינימום (−3,−4e3)(-3,-4e^3), עולה דרך (0,−7)(0,-7) ו-(−1+22,0)(-1+2\sqrt2,0) עד (3,8e3)(3,\frac8{e^3}) ויורדת לאסימפטוטה y=0y=0; ff עולה מ-−∞-\infty דרך (−3,0)(-3,0) עד (1−10,37.58)(1-\sqrt{10},37.58), יורדת דרך (0,9)(0,9) ו-(3,0)(3,0) עד (1+10,−0.130)(1+\sqrt{10},-0.130) ושואפת ל-0 מלמטה

התנהגות באינסוף: כאשר x→∞x\to\infty המכנה exe^x גדל מהר יותר מכל פולינום, ולכן f→0f\to0 ו-g→0g\to0 - ציר ה-xx אסימפטוטה אופקית מימין.

כאשר x→−∞x\to-\infty: 1ex=e−x→∞\frac{1}{e^x}=e^{-x}\to\infty, ולכן g→∞g\to\infty (המונה x2+2x−7x^2+2x-7 חיובי) ו-f→−∞f\to-\infty (המונה 9−x29-x^2 שלילי).

gg: יורדת מ-∞\infty, חוצה את ציר ה-xx ב-−1−22≈−3.83-1-2\sqrt2\approx-3.83, ממשיכה לרדת עד המינימום (−3,−4e3)(-3,-4e^3), עולה דרך (0,−7)(0,-7), חוצה את הציר ב-−1+22≈1.83-1+2\sqrt2\approx1.83, מגיעה למקסימום (3,8e3)(3,\frac8{e^3}) ויורדת ל-0 מלמעלה.

ff: עולה מ-−∞-\infty דרך (−3,0)(-3,0) עד המקסימום (1−10,37.58)(1-\sqrt{10},37.58), יורדת דרך (0,9)(0,9) ו-(3,0)(3,0) עד המינימום (1+10,−0.130)(1+\sqrt{10},-0.130), ושואפת ל-0 מלמטה.

בדיקת התאמה: gg עולה בדיוק בקטע −3<x<3-3<x<3 שבו f>0f>0, ונקודות הקיצון של gg הן האפסים של ff.

טעות נפוצה: לשרטט את gg מתחת לציר ה-xx גם משמאל ל-x=−3x=-3 (כי שם המינימום) - gg חוצה את הציר ב-−1−22≈−3.83-1-2\sqrt2\approx-3.83 ושואפת ל-∞\infty, ולכן משמאל לנקודה הזאת היא חיובית.

סעיף ד

תשובה:

4e3+8e3≈80.744e^3+\frac8{e^3}\approx80.74

ff חותכת את ציר ה-xx ב-x=−3x=-3 וב-x=3x=3, וביניהם f≥0f\ge0. השטח הסגור הוא בין שתי הנקודות האלה.

לפי סעיף א, gg היא פונקציה קדומה של ff:

S=∫−33f(x) dx=g(3)−g(−3)=8e3−(−4e3)=4e3+8e3≈80.74S=\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=g(3)-g(-3)=\frac8{e^3}-\left(-4e^3\right)=4e^3+\frac8{e^3}\approx80.74

טעות נפוצה: לחשב g(−3)=−4e3g(-3)=\frac{-4}{e^3} (לכתוב e−3e^{-3} במכנה במקום e−(−3)=e3e^{-(-3)}=e^3 במונה) - מתקבל 12e3≈0.60\frac{12}{e^3}\approx0.60; −4e−3=−4e3\frac{-4}{e^{-3}}=-4e^3.

סעיף ה

תשובה:

e417−e38≈0.70\frac{e^4}{17}-\frac{e^3}{8}\approx0.70

מזהים את הגורמים בעזרת ff ו-gg:

e2x(x2+2x−7)2=1g2(x),x2−9ex=−f(x)=−g′(x)\frac{e^{2x}}{(x^2+2x-7)^2}=\frac{1}{g^2(x)},\qquad\frac{x^2-9}{e^x}=-f(x)=-g'(x)

לכן האינטגרנד הוא −g′(x)g2(x)\frac{-g'(x)}{g^2(x)}, וזו הנגזרת של 1g(x)\frac1{g(x)}. בקטע [3,4][3,4] g>0g>0 (השורשים של המונה מחוץ לקטע), ולכן אין בעיית הגדרה:

∫34−g′(x)g2(x)dx=[exx2+2x−7]34=e417−e38≈3.212−2.511≈0.70\int_3^4\frac{-g'(x)}{g^2(x)}dx=\left[\frac{e^x}{x^2+2x-7}\right]_3^4=\frac{e^4}{17}-\frac{e^3}{8}\approx3.212-2.511\approx0.70

התוצאה חיובית - כמצופה, כי f<0f<0 בקטע ולכן האינטגרנד −fg2-\frac{f}{g^2} חיובי.

טעות נפוצה: לכתוב את הפונקציה הקדומה כ-−1g(x)-\frac1{g(x)} (לשכוח שהנגזרת של 1g\frac1g כבר כוללת את המינוס) - מתקבל e38−e417≈−0.70\frac{e^3}{8}-\frac{e^4}{17}\approx-0.70.

שאלה 5 · משפחת פונקציות מעריכיות: מספר אפסים ותחום של לפי פרמטר

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−2ex+mf(x)=e^{2x}-2e^{x}+m, mm הוא פרמטר.

א.

מצאו, באמצעות mm, את נקודת הקיצון של f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

ב.

מצאו את כל הערכים של mm שבעבורם למשוואה f(x)=0f(x)=0 יש בדיוק שני פתרונות.

נתון: m=34m=\frac34.

ג.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ln⁡(f(x))\ln\left(f(x)\right) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ד.

מצאו את כל הערכים של mm שבעבורם הפונקציה ln⁡(f(x))\ln\left(f(x)\right) מוגדרת לכל xx, ולגרף שלה יש נקודה משותפת עם ציר ה-xx.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

min⁡(0, m−1)\min(0,\ m-1); y=my=m (כאשר x→−∞x\to-\infty)

f′(x)=2e2x−2ex=2ex(ex−1)f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x\left(e^x-1\right); f′=0f'=0 כאשר ex=1e^x=1, x=0x=0. משמאל f′<0f'<0, מימין f′>0f'>0: מינימום f(0)=1−2+m=m−1f(0)=1-2+m=m-1.

x→−∞x\to-\infty: f→mf\to m - אסימפטוטה y=my=m. x→∞x\to\infty: f→∞f\to\infty.

טעות נפוצה: לגזור e2xe^{2x} כ-e2xe^{2x} (בלי הגורם 2), לקבל e2x−2ex=0e^{2x}-2e^x=0, x=ln⁡2x=\ln2, ומינימום (ln⁡2,m)(\ln2,m).

סעיף ב

תשובה:

0<m<10<m<1

ff יורדת עבור x<0x<0 מהערך mm (שאינו מתקבל, אסימפטוטה) עד m−1m-1, ואחר כך עולה ל-∞\infty.

בענף הימני (x>0x>0) יש אפס כאשר m−1<0m-1<0. בענף השמאלי (x<0x<0) ff מקבלת בדיוק את הערכים שבין m−1m-1 ל-mm, ולכן יש שם אפס כאשר m−1<0<mm-1<0<m.

שני פתרונות בדיוק כאשר 0<m<10<m<1. (עבור m≤0m\le0 יש פתרון אחד, עבור m=1m=1 פתרון אחד, ועבור m>1m>1 אין.)

בדרך אלגברית: t=ex>0t=e^x>0, t2−2t+m=0t^2-2t+m=0; צריך שני שורשים חיוביים: Δ=4−4m>0\Delta=4-4m>0 ומכפלת השורשים m>0m>0.

טעות נפוצה: לדרוש רק Δ>0\Delta>0 ולענות m<1m<1 - עבור m≤0m\le0 אחד השורשים t≤0t\le0, ו-ex=te^x=t אין לו פתרון.

סעיף ג

תשובה:

x<−ln⁡2x<-\ln2 או x>ln⁡32x>\ln\frac32; אסימפטוטות: x=−ln⁡2x=-\ln2, x=ln⁡32x=\ln\frac32, y=ln⁡34y=\ln\frac34 (כאשר x→−∞x\to-\infty)

f(x)=e2x−2ex+34=(ex−12)(ex−32)f(x)=e^{2x}-2e^x+\frac34=\left(e^x-\frac12\right)\left(e^x-\frac32\right).

f>0f>0 כאשר ex<12e^x<\frac12 או ex>32e^x>\frac32, כלומר x<ln⁡12=−ln⁡2x<\ln\frac12=-\ln2 או x>ln⁡32x>\ln\frac32.

בקצוות הפנימיים f→0+f\to0^+, ולכן ln⁡f→−∞\ln f\to-\infty: אסימפטוטות אנכיות x=−ln⁡2x=-\ln2 ו-x=ln⁡32x=\ln\frac32.

x→−∞x\to-\infty: f→34f\to\frac34, ולכן ln⁡f→ln⁡34\ln f\to\ln\frac34 - אסימפטוטה y=ln⁡34y=\ln\frac34. x→∞x\to\infty: ln⁡f→∞\ln f\to\infty.

טעות נפוצה: להפוך את התחום ולכתוב −ln⁡2<x<ln⁡32-\ln2<x<\ln\frac32 - שם f<0f<0 (בין השורשים), ו-ln⁡\ln של מספר שלילי לא מוגדר.

סעיף ד

תשובה:

1<m≤21<m\le2

ln⁡f\ln f מוגדרת לכל xx כאשר f(x)>0f(x)>0 לכל xx, כלומר המינימום חיובי: m−1>0m-1>0, m>1m>1.

לגרף ln⁡f\ln f יש נקודה משותפת עם ציר ה-xx כאשר למשוואה f(x)=1f(x)=1 יש פתרון. עבור m>1m>1 ערכי ff הם f≥m−1f\ge m-1 (מקבלת כל ערך מ-m−1m-1 והלאה), ולכן צריך m−1≤1m-1\le1, m≤2m\le2.

(עבור m=2m=2 המינימום של ln⁡f\ln f הוא ln⁡1=0\ln1=0, והגרף משיק לציר ה-xx ב-x=0x=0.)

התשובה: 1<m≤21<m\le2.

טעות נפוצה: לדרוש m−1≥0m-1\ge0 ולענות 1≤m≤21\le m\le2 - עבור m=1m=1 f(0)=0f(0)=0, ו-ln⁡f\ln f לא מוגדרת ב-x=0x=0.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.