מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

המעגלים משיקים מבחוץ: $r+R=8$. היחס $1:3$ ו-$r<R$, ולכן $R=3r$:

משוואת המעגל שמרכזו $N(10,0)$: $(x-10)^2+y^2=36$.

$M(a,0)$ במרחק 8 מ-N:

שני הערכים חיוביים: $(x-2)^2+y^2=4$ או $(x-18)^2+y^2=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $R=\frac13r$ (להפוך את היחס) - הנתון $r<R$ קובע שהרדיוס הגדול הוא $R$, ולכן $R=3r$.

$a<10$, ולכן $a=2$: המעגל הקטן $(x-2)^2+y^2=4$ עובר בראשית ובנקודה $(4,0)$, והגדול $(x-10)^2+y^2=36$ מ-$x=4$ עד $x=16$. נקודת ההשקה $(4,0)$.

למעגלים המשיקים מבחוץ יש שלושה משיקים משותפים: המשיק בנקודת ההשקה (אנכי, כי קו המרכזים אופקי), ושני משיקים חיצוניים, סימטריים ביחס לציר ה-$x$, שנחתכים על ציר ה-$x$ משמאל למעגל הקטן.

ממשולשים דומים: $\frac{PM}{PN}=\frac26$ ו-$PN=PM+8$, ולכן $PM=4$ ו-$P(-2,0)$.

טעות נפוצה: לצייר ארבעה משיקים משותפים - כשהמעגלים משיקים, שני המשיקים שחוצים את קו המרכזים מתלכדים למשיק אחד בנקודת ההשקה.

נקודת ההשקה על קו המרכזים, במרחק $r=2$ מ-$M(2,0)$ לכיוון N: $(4,0)$.

הרדיוס אופקי, והמשיק מאונך לו, ולכן המשיק אנכי:

טעות נפוצה: לקחת את נקודת ההשקה במרחק $R=6$ מ-M, כלומר $(8,0)$ - המרחק 6 נמדד מהמרכז N: $10-6=4$.

מרחק כל מרכז מהמשיק שווה לרדיוס שלו:

מחלקים: $|10m+n|=3|2m+n|$.

באותו סימן: $10m+n=6m+3n$, כלומר $n=2m$.

בסימנים הפוכים: $10m+n=-6m-3n$, כלומר $n=-4m$, ואז $|2m-4m|=2\sqrt{m^2+1}$, כלומר $m^2=m^2+1$ - אין פתרון (זה המשיק האנכי $x=4$).

מציבים $n=2m$:

$m=\frac1{\sqrt3}$, $n=\frac2{\sqrt3}$ או $m=-\frac1{\sqrt3}$, $n=-\frac2{\sqrt3}$.

טעות נפוצה: להציב את אותו רדיוס (2) בשתי המשוואות - אז מתקבל $|10m+n|=|2m+n|$, ו-$n=-6m$, ישר שאינו משיק למעגל הגדול.

הישרים מסעיף ד: $y=\pm\frac{1}{\sqrt3}(x+2)$, שניהם עוברים ב-$(-2,0)$ וסימטריים ביחס לציר ה-$x$.

כופלים ב-$\sqrt3$: $x-\sqrt3y+2=0$. מרחק נקודה $(c,0)$ מהישר:

ומאותה סימטריה זה גם המרחק מהישר השני.

$R=6$: $\frac{|k+2|}{2}=6$, כלומר $k=10$ או $k=-14$.

$r=2$: $\frac{|t+2|}{2}=2$, כלומר $t=2$ או $t=-6$.

השקה מבחוץ: $|k-t|=8$.

$k=10,t=2$: אלה המעגלים הנתונים. $k=10,t=-6$ ו-$k=-14,t=2$: מרחק 16 - לא משיקים. $k=-14,t=-6$: מרחק 8 - מתאים.

לכן כן: $k=-14$, $t=-6$.

טעות נפוצה: לשכוח את הערך המוחלט ולקבל רק $k=10$, $t=2$ - כלומר רק את המעגלים הנתונים, ולהסיק בטעות שאין מעגלים אחרים.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{OE}=s\underline v$ - $s$ נמדד מ-$O'$, ולכן יוצאים מ-$O'$ (וקטור $\underline w$) ומוסיפים $s\vec{O'B}$.

$\vec{O'K}=\frac12\underline u+\frac12\underline v-\underline w$. הנקודות על ישר אחד אם ורק אם $\vec{O'N}=\lambda\vec{O'K}$ לאיזשהו $\lambda$.

$\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ אינם באותו מישור, ולכן משווים מקדמים:

מהראשונה $\lambda=\frac25$; מהשנייה $\frac{4s}{5}=\frac15$, כלומר $s=\frac14$; בדיקה בשלישית: $\frac{1+1}{5}=\frac25=\lambda$ ✓.

$\vec{O'N}=\frac25\vec{O'K}$, ולכן $O'K:O'N=5:2$.

טעות נפוצה: להסתפק בשתי המשוואות הראשונות - בלי בדיקת המשוואה השלישית לא הוכח שקיים $\lambda$ אחד לכל המקדמים.

נסמן את הגובה $h$: $A'(12,0,h)$, $B'(0,5,h)$, $K(6,2.5,0)$.

$\vec{A'B'}=(-12,5,0)$, $\vec{A'K}=(-6,2.5,-h)$. נורמל $(p,q,r)$: $-12p+5q=0$, $-6p+2.5q-hr=0$.

מהראשונה $q=2.4p$, ואז $-6p+6p-hr=0$, ומכיוון ש-$h>0$: $r=0$. נבחר $p=5$: $\underline n=(5,12,0)$.

דרך $A'$: $60+d=0$.

המשוואה לא תלויה ב-$h$: $K$ נמצאת בדיוק מתחת לאמצע $A'B'$, ולכן המישור מכיל ישר אנכי והוא מאונך לבסיס - זה המישור האנכי שעובר דרך הישר $AB$ (שמשוואתו בבסיס $\frac x{12}+\frac y5=1$).

טעות נפוצה: להניח $r\neq0$ ולנסות לקבוע את $h$ מהמשוואה - מהנתונים עד כה אין דרך למצוא את $h$, והמישור באמת לא תלוי בו.

לפי סעיף א עם $s=\frac14$: $\overrightarrow{ON}=\frac15\underline u+\frac15\underline v+\frac35\underline w$, ולכן $N=(2.4,\ 1,\ 0.6h)$.

המרחק מ-$N$ למישור (לא תלוי ב-$h$):

שטח $A'KB'$: $A'B'=\sqrt{144+25}=13$, והגובה מ-$K$ לאמצע $A'B'$ הוא $h$:

$6h=48\Rightarrow h=8$. לכן $O'(0,0,8)$ ו-$N(2.4,\ 1,\ 4.8)$.

טעות נפוצה: לחשב את המרחק מ-$N$ למישור הבסיס $AOB$ (כלומר $0.6h$) במקום למישור $A'KB'$ - בסיס הפירמידה הוא $A'KB'$.

$\bar z=R\,\text{cis}(-\alpha)$, ולכן:

$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$: מודול 1, ברביע הרביעי, $\cos\theta=\frac12$ - הארגומנט $300^\circ$.

$\alpha=150^\circ$ (רביע שני) או $\alpha=330^\circ$ (רביע רביעי). לכן $\alpha=330^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את הארגומנט של $\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ כ-$60^\circ$ או $-30^\circ$ - החלק המדומה שלילי, והזווית $300^\circ$ (או $-60^\circ$).

$|3iz|=3\cdot|i|\cdot|z|=3R$, $\left|\frac{\bar z}{i}\right|=\frac{|\bar z|}{|i|}=R$, $\left|\frac{z}{\bar z}\right|=1$:

טעות נפוצה: לחשב $|3iz|=3iR$ ולהשאיר $i$ - ערך מוחלט הוא מספר ממשי אי-שלילי, ו-$|i|=1$.

$z=2\,\text{cis}\,330^\circ$. לפי דה-מואבר:

($1980^\circ-5\cdot360^\circ=180^\circ$.)

$\frac{z}{\bar z}=\text{cis}\,300^\circ$:

($2700^\circ-7\cdot360^\circ=180^\circ$.) שני האגפים שווים $-1$.

טעות נפוצה: להעלות בחזקה רק את הארגומנט ולכתוב $z^6=2\,\text{cis}\,1980^\circ=-2$ - אז אגף ימין יוצא $\frac{-2}{64}=-\frac{1}{32}$ ולא $-1$, ו"מתקבל" ש-$\frac{z}{\bar z}$ אינו פתרון. גם המודול מועלה בחזקה: $2^6=64$.

$B=\frac{z}{\bar z}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ ו-$C=\frac{\bar z}{z}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ צמודים, ולכן סימטריים ביחס לציר הממשי, והאנך האמצעי ל-BC הוא הציר הממשי. קודקוד הראש A עליו: $z+k$ ממשי.

$k=bi$: $-1+b=0$, $b=1$, ולכן $k=i$ ו-$A=\sqrt3$.

טעות נפוצה: לבחור $k=-i$ (סימן הפוך) - אז $A=z+k=\sqrt3-2i$, שאינו על הציר הממשי. החלק המדומה של $z$ הוא $-1$, ולכן מוסיפים $+i$.

$A(\sqrt3,0)$, $B\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$, $O(0,0)$, $C\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$.

$AB=AC$ ו-$OB=OC=1$ - דלתון. האלכסונים AO (על הציר הממשי) ו-BC (אנכי) מאונכים, ו-BC חותך את AO בנקודה $\left(\frac12,0\right)$ שבין O ל-A, ולכן הדלתון קמור.

טעות נפוצה: לקחת את $|z|=2$ כאורך האלכסון AO - האלכסון הוא מ-O עד A, ו-$A=z+k=\sqrt3$, לא $z$.

$e^{2x}-6e^x+8=(e^x-2)(e^x-4)$ מתאפס ב-$x=\ln2$ וב-$x=\ln4$; המונה חיובי, ולכן אלה אסימפטוטות אנכיות.

$x\to\infty$: $f=\frac{2}{1-6e^{-x}+8e^{-2x}}\to2$. $x\to-\infty$: $f\to\frac08=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=2$, $x=4$ - אלה ערכי $e^x$.

$D=e^{2x}-6e^x+8$:

הסימן לפי $16-6e^x$: מתאפס ב-$e^x=\frac83$, $x=\ln\frac83\approx0.98$, שנמצא בין $\ln2\approx0.69$ ל-$\ln4\approx1.39$.

עלייה: $x<\ln2$, $\ln2<x<\ln\frac83$; ירידה: $\ln\frac83<x<\ln4$, $x>\ln4$.

נקודת מקסימום $\left(\ln\frac83,-16\right)$.

טעות נפוצה: לסווג את הנקודה כמינימום כי ערכה שלילי - הסוג נקבע לפי מעבר הנגזרת מחיובית לשלילית, וכאן זה מקסימום.

$2e^{2x}=6e^x\Rightarrow e^x=3$, $x=\ln3$ (בתחום, בין $\ln2$ ל-$\ln4$).

טעות נפוצה: להסיק שאין חיתוך כי המקסימום של $f$ הוא $-16$ ו"הגרף של $g$ נמוך יותר" - נקודת החיתוך נמצאת מתחת למקסימום, בענף היורד של $f$.

בודקים את הטווח של כל ענף (לפי א(1)-א(2)):

ענף שמאלי, $x<\ln2$: המכנה חיובי, $f$ עולה מ-$0$ (כש-$x\to-\infty$) ל-$+\infty$ (ליד $\ln2$). טווח $(0,\infty)$, וכל ערך מתקבל פעם אחת.

ענף אמצעי, $\ln2<x<\ln4$: המכנה שלילי, $f\to-\infty$ בשני הקצוות, עם מקסימום $-16$. כל $m<-16$ מתקבל פעמיים, $m=-16$ פעם אחת.

ענף ימני, $x>\ln4$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ ומתקרבת ל-$2$ מלמעלה:

טווח $(2,\infty)$, כל ערך פעם אחת.

סיכום: $m>2$ - שני פתרונות (שמאלי וימני); $0<m\le2$ - אחד (שמאלי); $-16<m\le0$ - אין; $m=-16$ - אחד; $m<-16$ - שניים (אמצעי).

טעות נפוצה: לכלול את $m=2$ או $m=0$ בענף שבו הם רק ערכי אסימפטוטה - $f$ אינה מקבלת את הערך 2 בענף הימני ואינה מקבלת 0 בכלל; $m=2$ מתקבל רק בענף השמאלי.

מימין ל-$\ln4$: $f-g=\frac{e^x(2e^x-6)}{D}>0$ (המכנה חיובי ו-$e^x>3$), ולכן $f$ מעל $g$.

המונה הוא נגזרת המכנה, ולכן:

$3-\sqrt{10}<0$ נפסל (וגם $d>5$ נדרש). $d=3+\sqrt{10}\approx6.16$.

טעות נפוצה: להשוות את $d^2-6d+8$ ל-$\ln3$ או ל-3 - השטח הוא הפרש לוגריתמים, ולכן המנה $\frac{h(d)}{h(5)}$ שווה 3, ו-$h(5)=3$, כלומר $h(d)=9$.