מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן $P$ על המעגל שקוטרו $AB$.

המרכז: $\left(\frac{(4-a)+(4+a)}{2},0\right)=(4,0)$ - אינו תלוי ב-$a$. הקוטר $AB=2a$, הרדיוס $a$.

בלי הנקודות $A$ ו-$B$ עצמן.

טעות נפוצה: לכתוב $(x-4)^2+y^2=4a^2$ - $2a$ הוא הקוטר, והרדיוס הוא $a$.

המוקד $(4,0)$, ולכן $\frac p2=4$, $p=8$, והפרבולה $y^2=16x$.

מציבים במשוואת המעגל:

$x+4=a$ או $x+4=-a$. בפרבולה $x\ge0$, ו-$-a-4<0$, ולכן $x=a-4$ (חיובי כי $a>4$).

$y^2=16(a-4)$, וברביע הראשון $y=4\sqrt{a-4}$.

(בדיקה דרך הגדרת הפרבולה: המרחק של $C$ מהמוקד הוא הרדיוס $a$, והוא שווה למרחק מהמדריך $x=-4$: $x_C+4=a$.)

טעות נפוצה: להשוות את $p$ לשיעור המוקד, $p=4$, ולקחת את הפרבולה $y^2=8x$. אז $(x-4)^2+8x=a^2$ נותן $x^2+16=a^2$, ומתקבל $C\left(\sqrt{a^2-16},\ \sqrt{8\sqrt{a^2-16}}\right)$. המוקד של $y^2=2px$ הוא $\left(\frac p2,0\right)$.

משיק לפרבולה $y^2=16x$ בנקודה $(x_0,y_0)$: $y_0y=8(x+x_0)$.

עם $x_0=a-4$, $y_0=4\sqrt{a-4}$:

המרחק מהמרכז $(4,0)$:

טעות נפוצה: לכתוב את המכנה $\sqrt{4+\sqrt{a-4}}$ - בנוסחת המרחק מעלים בריבוע את המקדם של $y$, ו-$\left(\sqrt{a-4}\right)^2=a-4$.

שני המשיקים המקבילים ל-$\ell$ נמצאים משני צדי המרכז, כל אחד במרחק $a$ (הרדיוס) מהמרכז.

הישר $\ell$ נמצא במרחק $2\sqrt a$ מהמרכז, ו-$2\sqrt a<a$ כש-$a>4$ - כלומר $\ell$ עובר בתוך המעגל, בין שני המשיקים.

לכן המרחקים מ-$\ell$ למשיקים: $a-2\sqrt a$ (למשיק שבאותו צד של $\ell$) ו-$a+2\sqrt a$ (למשיק שמעבר למרכז).

$\sqrt a=0$ נפסל ($a>4$), ולכן $\sqrt a=4$, $a=16$.

המרחקים: $16-8=8$ ו-$16+8=24$.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק מ-$\ell$ למשיק הרחוק כקוטר, $2a$: מ-$2a=3(a-2\sqrt a)$ מתקבל $a=6\sqrt a$, $a=36$, ומרחקים $24$ ו-$72$. המשיק הרחוק נמצא במרחק $a$ מהמרכז, ולכן במרחק $a+2\sqrt a$ מ-$\ell$.

$\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}=-\underline u+\underline v+\underline w$

שני וקטורים בלתי תלויים במישור: $\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$, $\overrightarrow{AB'}=\underline u+\underline w$.

בקובייה המכפלות המעורבות 0 ו-$\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2$:

$BD'$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, ולכן מאונך למישור $ACB'$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BD'}=\underline u+\underline v+\underline w$ - מ-B ל-A הולכים נגד $\underline u$.

נסמן ב-M את אמצע $CB'$. $\overrightarrow{BM}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB'})=\frac12(\underline v+\underline w)$.

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\underline u+\frac12\underline v+\frac12\underline w$, ומפגש התיכונים: $\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AM}$.

טעות נפוצה: לקחת $\frac12$ מהתיכון - מפגש התיכונים נמצא ב-$\frac23$ מהקודקוד.

הווקטורים פרופורציוניים ויוצאים מאותה נקודה B, ולכן B, E ו-$D'$ על ישר אחד.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{BD'}$ עם שגיאת סימן ($\underline u+\underline v+\underline w$), לא למצוא פרופורציה ל-$\overrightarrow{BE}$ ולהסיק שהנקודות אינן על ישר אחד.

$\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=0$: $60+12n=0$, $n=-5$.

$|\overrightarrow{DC}|=\sqrt{25+144}=13$, ולכן $144+25+p^2=169$, $p=0$. $A(12,-5,0)$.

$B=A+\overrightarrow{DC}=(17,7,0)$. לכל ארבעת הקודקודים $z=0$, ולכן ABCD במישור $z=0$.

טעות נפוצה: לחשב את אורך המקצוע כ-$5+12=17$ במקום $\sqrt{5^2+12^2}=13$ - אז $144+25+p^2=289$, $p^2=120$, ומתקבלת נקודה $A(12,-5,\pm2\sqrt{30})$ שאינה במישור $z=0$.

$BB'$ מאונך לבסיס (במישור $z=0$), באורך 13, ושיעור ה-$z$ של $B'$ חיובי:

טעות נפוצה: לקחת את אורך המקצוע 12 או 5 (שיעורי C) - אורך המקצוע הוא $|\overrightarrow{DC}|=13$.

A ו-$B'$ נמצאות בשני המישורים, ולכן $\ell=AB'$.

$\overrightarrow{AB'}=(17,7,13)-(12,-5,0)=(5,12,13)$:

טעות נפוצה: לבחור את $AB$ - B נמצאת בפאה $ABB'A'$ אבל לא במישור $ACB'$.

המישור צריך להיות מקביל לציר ה-$y$, ולכן $(0,1,0)$ וקטור כיוון שני:

בדיקה שהציר אינו מוכל: נקודה של המישור על ציר ה-$y$ מחייבת $x=12+5t=0$ ו-$z=13t=0$ - סתירה.

טעות נפוצה: לבחור את $(1,0,0)$ - זה מישור שמקביל לציר ה-$x$, והוא חותך את ציר ה-$y$.

$|12i|=12$, $|-5+12i|=13$, ולכן $|i\bar z+8-6i|^2=25$, $|i\bar z+8-6i|=5$.

מוציאים $i$ כגורם משותף: $\frac{8-6i}{i}=(8-6i)(-i)=-6-8i$, ולכן:

מעגל שמרכזו $(6,-8)$ ורדיוסו 5.

טעות נפוצה: לחלק ב-$i$ ככפל ב-$i$: $(8-6i)\cdot i=6+8i$, ואז $|\bar z+6+8i|=5$ ומתקבל המרכז השגוי $(-6,8)$ - חילוק ב-$i$ הוא כפל ב-$-i$: $\frac{8-6i}i=-6-8i$.

אותו ארגומנט: $A$ על הקרן מהראשית דרך $M$, כלומר $z_A=\lambda z_M$ עם $\lambda>0$.

$|z_M|=|6-8i|=10$. $A$ על הקרן ובמרחק 5 מ-$M$, ולכן $|z_A|=10-5=5$ או $|z_A|=10+5=15$ (הראשית מחוץ למעגל, כי $10>5$, ולכן שתי הנקודות על הקרן עצמה).

טעות נפוצה: למצוא רק את הנקודה הקרובה לראשית - הקרן חותכת את המעגל בשתי נקודות.

כפל ב-$q$ הוא סיבוב בזווית $\arg q$ ומתיחה פי $|q|$ סביב הראשית.

$q=\sqrt[4]{2}$: אין סיבוב - כל האיברים על הקרן $OA$, ולכן על ישר אחד.

$q=-\sqrt[4]{2}$: סיבוב ב-$180^\circ$ - האיברים מתחלפים בין הקרן $OA$ לקרן הנגדית, כולם על הישר $OA$.

$q=\pm\sqrt[4]{2}\,i$: סיבוב ב-$90^\circ$ - $z_2$ נמצא על ישר מאונך ל-$OA$ דרך הראשית, ו-$z_1$, $z_2$, $z_3$ אינם על ישר אחד ($z_1$ ו-$z_3$ על הישר $OA$, $z_2$ לא).

טעות נפוצה: לפסול את $q=-\sqrt[4]{2}$ כי "האיברים קופצים לצד השני" - הם עדיין על אותו ישר דרך הראשית.

$z_{n+1}=z_n\cdot\sqrt[4]{2}\,cis\,90^\circ$: הווקטור ל-$z_{n+1}$ הוא הווקטור ל-$z_n$ מסובב ב-$90^\circ$ ומוארך. לכן הזווית ב-$O$ ישרה.

$|z_n|=5\cdot2^{\frac{n-1}{4}}$, $|z_{n+1}|=5\cdot2^{\frac n4}$. השטח הוא חצי מכפלת הניצבים:

$2n-1>25.29$, כלומר $n>13.14$. הערך הקטן ביותר: $n=14$.

בדיקה: $S_{13}\approx951.4$, $S_{14}\approx1345.4$.

טעות נפוצה: לקחת את המודול של המנה כ-$\sqrt2$ במקום $\sqrt[4]2$ - אז $S_n=12.5\cdot2^{\frac{2n-1}2}>1000$ נותן $2n-1>12.64$ ומתקבל $n=7$; $|q|^4=2$, ולכן $|q|=\sqrt[4]2$.

כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$ מהר יותר מגידול $|x-2|$, ולכן $k(x)=(x-2)e^x\to0$. כאשר $x\to\infty$, $k\to\infty$.

$m(x)=e^x-1\to-1$ כאשר $x\to-\infty$, ו-$m\to\infty$ כאשר $x\to\infty$.

האסימפטוטות: $y=0$ ל-$k$, ו-$y=-1$ ל-$m$ (שתיהן כאשר $x\to-\infty$).

טעות נפוצה: לכתוב ל-$k$ את האסימפטוטה $y=-2$ "בגלל ה-$-2$". ה-$-2$ מוכפל ב-$e^x$, ולכן גם הוא נעלם.

$e^x>0$, ולכן $k'<0$ עבור $x<1$ ו-$k'>0$ עבור $x>1$: ירידה ב-$x<1$, עלייה ב-$x>1$ (מינימום $(1,-e)$).

$m'(x)=e^x>0$: $m$ עולה לכל $x$.

טעות נפוצה: לגזור $(x-2)e^x$ כ-$1\cdot e^x$ בלבד ולהסיק ש-$k$ עולה תמיד. כלל המכפלה נותן גם את האיבר $(x-2)e^x$.

$k(0)=(0-2)e^0=-2$: $(0,-2)$.

$m(0)=e^0-1=0$: $(0,0)$.

טעות נפוצה: לחשב $k(0)=0$ "כי יש $x$ בביטוי". הגורם הוא $x-2$, ובנקודה $x=0$ הוא $-2$.

$k$: מתקרבת ל-$y=0$ מלמטה משמאל, יורדת דרך $(0,-2)$ עד המינימום $(1,-e)$, ואחר כך עולה לאינסוף (חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=2$).

$m$: מתקרבת ל-$y=-1$ משמאל ועולה כל הזמן דרך $(0,0)$.

משמאל $k$ מעל $m$ ($0>-1$), ב-$x=0$ $k$ מתחת ל-$m$, ובהמשך $k$ עוברת שוב מעל $m$: חיתוך אחד ב-$c<0$ ואחד ב-$d>0$.

טעות נפוצה: לצייר את $k$ עולה כבר מ-$x=0$. המינימום של $k$ ב-$x=1$, ובין 0 ל-1 היא עדיין יורדת.

ב-$x=2$ המכנה מתאפס והמונה $e^2-1\ne0$: אסימפטוטה אנכית $x=2$.

כאשר $x\to-\infty$: המונה שואף ל-$-1$ והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f\to0$: $y=0$.

כאשר $x\to\infty$: $f\to\infty$, ואין אסימפטוטה אופקית מימין.

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה אנכית $x=0$, כי שם המונה מתאפס. אפס של המונה הוא נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$, לא אסימפטוטה.

$e^x-1=0$, $e^x=1$, $x=0$ (ו-$x=0$ בתחום).

טעות נפוצה: לפתור $e^x=1$ כ-$x=e$. $x=\ln1=0$.

$f'(x)=0$ בדיוק כאשר $k(x)=m(x)$. לפי הנתון לכך שני פתרונות בדיוק, $c$ ו-$d$, ושניהם בתחום ($k(2)=0\ne m(2)=e^2-1$).

טעות נפוצה: להפוך את הסדר בכלל המנה ולכתוב במונה $(e^x-1)-(x-2)e^x$, כלומר $f'(x)=\frac{m(x)-k(x)}{(x-2)^2}$ - נגזרת עם סימן הפוך, שממנה יוצאים תחומי עלייה וירידה הפוכים. הסדר הוא $\frac{u'v-uv'}{v^2}$.