בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2025 מועד א'

משלימים לריבוע את האיברים של $x$: $x^2-6x=(x-3)^2-9$.

מציבים במשוואה:

זו משוואת מעגל שמרכזו $(3,0)$ וריבוע הרדיוס שלו $9-t$ (חיובי, כי $t<9$).

$r=\sqrt{9-t}$.

טעות נפוצה: להעביר את $t$ באגף בלי להחליף סימן ולקבל $r=\sqrt{9+t}$. האיבר החופשי $t$ עובר לאגף ימין עם סימן מינוס.

ישר משיק למעגל כאשר המרחק ממרכז המעגל לישר שווה לרדיוס.

כותבים את הישר בצורה כללית: $x-y=0$. המרכז הוא $(3,0)$.

משווים לרדיוס מסעיף א:

טעות נפוצה: לשכוח את המכנה $\sqrt{a^2+b^2}$ בנוסחת המרחק ולקבל $\sqrt{9-t}=3$, כלומר $t=0$.

הזזה שמאלה לא משנה את הרדיוס. מסעיפים א-ב: $r^2=9-4.5=4.5$, ולכן מעגל II: $x^2+y^2=4.5$.

נסמן $A(x_0,y_0)$. המיתר מאונך לציר ה-$y$, כלומר אופקי, ולכן מסימטריה ביחס לציר ה-$y$: $B(-x_0,y_0)$ ו-$AB=2|x_0|$.

P נמצאת על המיתר, ולכן $P(x,y_0)$: שיעור ה-$y$ שלה שווה ל-$y_0$. נסמן $y=y_0$.

מהתנאי $AB=2\cdot PO$:

A על מעגל II, ולכן $x_0^2+y_0^2=4.5$. מציבים $x_0^2=x^2+y^2$ ו-$y_0=y$:

זו משוואת אליפסה. (התנאי $|y_A|\le1.5$ מבטיח ש-$x_0^2=4.5-y^2\ge y^2$, כלומר שקיימת נקודה P כזאת על המיתר.)

טעות נפוצה: להציב $x_0=x$, כאילו P היא A עצמה: מתקבל $x^2+y^2=4.5$ - מעגל II עצמו ולא אליפסה. P היא נקודה אחרת על המיתר, והקשר בין $x_0$ ל-$x$ מגיע רק מהתנאי $AB=2\cdot PO$.

באליפסה $\frac{x^2}{4.5}+\frac{y^2}{2.25}=1$: $a^2=4.5$, $b^2=2.25$, והציר הגדול על ציר ה-$x$.

המוקדים: $K(1.5,0)$, $F(-1.5,0)$, ולכן $KF=3$.

לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים הוא $2a$:

היקף המשולש: $CK+CF+KF=3\sqrt2+3\approx7.243$.

טעות נפוצה: לחשב $c^2=a^2+b^2=6.75$ (כמו בהיפרבולה), ולקבל $KF=2\sqrt{6.75}=3\sqrt3$ והיקף $3\sqrt2+3\sqrt3\approx9.44$. באליפסה $c^2=a^2-b^2$.

הבסיס KF מונח על ציר ה-$x$ ואורכו 3. הגובה לבסיס הוא המרחק של C מציר ה-$x$, כלומר $|y_C|$.

אבל לכל נקודה על האליפסה $|y|\le b=\sqrt{2.25}=1.5$.

$2>1.5$, ולכן אין נקודה C כזאת. (השטח הגדול ביותר האפשרי הוא $\frac12\cdot3\cdot1.5=2.25$.)

טעות נפוצה: לקחת כבסיס את $2a=3\sqrt2$ במקום את המרחק בין המוקדים $KF=2c=3$. אז יוצא $|y_C|=\frac{2}{\sqrt2}\approx1.41<1.5$ והתשובה השגויה "כן".

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן M (אמצע BD) היא גם אמצע האלכסון AC.

(במקבילית $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline{v}$.)

עוברים מ-S ל-M דרך A:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SA}=\underline{w}$. הווקטור הנתון הוא $\overrightarrow{AS}$, והכיוון ההפוך הוא $-\underline{w}$.

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\underline{u}-\underline{v}$.

SA גובה, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס: $\underline{w}\cdot\underline{u}=0$ ו-$\underline{w}\cdot\underline{v}=0$.

וקטורים מאונכים - המכפלה הסקלרית אפס:

פותחים סוגריים:

האיברים $\underline{u}\cdot\underline{v}$ מצטמצמים, ושני האיברים עם $\underline{w}$ הם אפס:

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{DB}$ כ-$\underline{u}+\underline{v}$ (האלכסון האחר): מתקבל $\frac12|\underline{u}+\underline{v}|^2=0$, כלומר "$\underline{u}=-\underline{v}$" - סתירה במקום הוכחה. $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\underline{u}-\underline{v}$.

מסעיף ב: $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}|$. $|\overrightarrow{AB}|=|(0,5,0)|=5$.

($p>0$.) לכן $D(3,4,0)$.

במקבילית $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(3,4,0)$:

טעות נפוצה: לחשב את C כ-$A+\overrightarrow{BD}=(3,-1,0)$. בקודקודים לפי הסדר ABCD, הצלע BC מקבילה ושווה ל-AD, ולכן $C=B+\overrightarrow{AD}$.

המישור מכיל את AC ומקביל ל-SD, ולכן הנורמל שלו $\underline{n}=(a,b,c)$ מאונך לשני הכיוונים:

$\overrightarrow{AC}=(3,9,0)$, $\overrightarrow{SD}=D-S=(3,4,-6)$.

מהמשוואה הראשונה $a=-3b$. מציבים בשנייה: $-9b+4b-6c=0$, כלומר $c=-\frac56b$.

בוחרים $b=-6$: $\underline{n}=(18,-6,5)$.

המישור עובר דרך $A(0,0,0)$:

בדיקה: $C$: $54-54+0=0$ ✓. $S(0,0,6)$ אינה במישור ($30\neq0$), ולכן SD מקביל למישור ולא מוכל בו.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SD}=(3,4,6)$ - לשכוח ש-S בגובה 6 ו-D בגובה 0, כך שהרכיב השלישי הוא $-6$. מתקבל נורמל אחר ומישור שאינו מקביל ל-SD.

נמצא את K: נקודה על SB היא $S+t\left(B-S\right)=(0,5t,6-6t)$, $0\le t\le1$. מציבים במישור:

$K(0,2.5,3)$ - אמצע SB.

I: M אמצע BD: $M(1.5,4.5,0)$.

הווקטורים פרופורציוניים, ו-K אינה על SD, ולכן $KM\parallel SD$ - נכון. (זה קטע האמצעים במשולש BSD.)

II: ACK הוא המישור מסעיף ד, ו-SD מקביל לו, ולכן $\overrightarrow{SD}\perp\underline{n}$: $(3,4,-6)\cdot(18,-6,5)=54-24-30=0$.

כל ישר שמאונך למישור מקביל לנורמל $\underline{n}$, ולכן מאונך גם ל-SD - נכון.

טעות נפוצה (II): לחשוב שישר מאונך למישור מאונך רק לישרים שבתוך המישור. הוא מאונך לכל ישר המקביל למישור, כי הכיוון של ישר כזה מאונך לנורמל.

$|z|$ הוא המרחק מהראשית, ו-$|z-(2+2i)|$ המרחק מהנקודה $(2,2)$. לכן זה אנך אמצעי.

$z-(2+2i)=(x-2)+i(y-2)$. מעלים בריבוע את שני הצדדים:

$y=-x+2$.

טעות נפוצה: לכתוב $|z-(2+2i)|^2=(x-2)^2+(y+2)^2$. החלק המדומה של $z-(2+2i)$ הוא $y-2$.

מחפשים שני מספרים שסכומם $2+2i$ ומכפלתם $4i$: $2$ ו-$2i$. לכן:

(בדיקה: $(z-2)(z-2i)=z^2-2iz-2z+4i$ ✓.)

הפתרונות: $z=2$ ו-$z=2i$, הנקודות $(2,0)$ ו-$(0,2)$.

הצבה ב-$y=-x+2$: $0=-2+2$ ✓, $2=-0+2$ ✓.

אפשר גם בנוסחת השורשים: $\Delta=(2+2i)^2-16i=8i-16i=-8i=(2-2i)^2$, $z=\frac{(2+2i)\pm(2-2i)}{2}$.

טעות נפוצה: לחשב $(2+2i)^2=4+4i^2=0$ ולשכוח את האיבר האמצעי $2\cdot2\cdot2i=8i$.

הריבוע: $A=2$, $B=2i$, $C=-2$, $D=-2i$ - כולם על המעגל $|z|=2$, בארגומנטים $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$.

סיבוב סביב הראשית בזווית $\alpha$ = כפל ב-$cis\,\alpha$: הנקודות החדשות $2cis\,\alpha$, $2cis(90^\circ+\alpha)$, ...

למשוואה $z^8=b$ יש בדיוק 8 פתרונות, והם קודקודי מתומן משוכלל: ההפרש בין ארגומנטים סמוכים $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$.

שמונה הנקודות שונות זו מזו ($\alpha=0^\circ$ או $90^\circ$ מחזירים את הריבוע לעצמו), ולכן הן כל שמונת הפתרונות, ו-$\alpha$ חייבת להשלים את הארגומנטים למרווחים של $45^\circ$: $\alpha=45^\circ$.

$b$ מתקבל מכל אחד מהפתרונות, למשל $z=2$:

טעות נפוצה: לכפול את המודול ב-$n$ במקום להעלות בחזקה: $b=2\cdot8=16$. לפי דה-מואבר $|z^8|=|z|^8$, ולכן $b=2^8=256$.

כל הנקודות על $|z|=2$, בארגומנטים $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$ ו-$15^\circ,105^\circ,195^\circ,285^\circ$.

לכל פתרון של $z^n=b$: $z^n=2^n\,cis(n\theta)$. כדי שכולם ייתנו אותו $b$ צריך ש-$n\theta$ יהיה זהה (עד כפולה של $360^\circ$) לכל ארגומנט $\theta$.

מ-$\theta=0^\circ$: $b=2^n$ (ממשי חיובי), ולכן צריך $n\theta$ כפולה של $360^\circ$ לכל $\theta$.

בעבור $\theta=15^\circ$: $15n$ כפולה של 360, כלומר $n$ כפולה של 24. אז גם $90n$, $105n$ וכו' כפולות של 360.

$n=24$, $b=2^{24}=16{,}777{,}216$. (וכל $n=24t$, $b=2^{24t}$.)

טעות נפוצה: לחשוב שמספיק ש-$n$ יהיה כפולה של 8 (כי יש 8 נקודות) ולענות $n=16$. עם $n=16$ המרווח בין הפתרונות $22.5^\circ$, והנקודה בארגומנט $15^\circ$ אינה פתרון.

הפונקציה מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס: $a-e^x\neq0$, כלומר $e^x\neq a$.

$a>0$: למשוואה $e^x=a$ יש פתרון $x=\ln a$, ולכן התחום: $x\neq\ln a$.

$a<0$: $e^x>0$ תמיד, ולכן $e^x\neq a$ לכל $x$ - התחום: כל $x$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq\ln a$ גם עבור $a<0$. $\ln a$ לא מוגדר למספר שלילי, ופירוש הדבר שהמכנה אף פעם לא מתאפס.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן $f(x)\to\frac{0}{a-0}=0$. אסימפטוטה $y=0$.

$x\to+\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^x$:

אסימפטוטה $y=-1$. (התוצאה זהה עבור $a>0$ ועבור $a<0$.)

טעות נפוצה: לקבוע שכאשר $x\to\infty$ "מונה ומכנה שואפים לאינסוף" ולכן הגבול 1. המכנה $a-e^x$ שואף ל-$-\infty$, והיחס הוא $-1$.

נגזרת של מנה:

$e^x>0$ והמכנה ריבוע חיובי, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $a$.

$a>0$: $f'>0$ - הפונקציה עולה בכל אחד מהתחומים $x<\ln a$ ו-$x>\ln a$.

$a<0$: $f'<0$ - יורדת לכל $x$.

טעות נפוצה: לגזור את המכנה $a-e^x$ כ-$e^x$ במקום $-e^x$. אז הנגזרת יוצאת $\frac{ae^x-2e^{2x}}{(a-e^x)^2}$ ומחפשים נקודות קיצון שאינן קיימות.

$a=3$: אסימפטוטה אנכית ב-$x=\ln3>0$, והפונקציה עולה בשני התחומים. גרף I יורד בשני הענפים, ובגרף IV האסימפטוטה בצד השלילי של ציר ה-$x$. גרף II: אסימפטוטה בצד החיובי, שני ענפים עולים, ומימין מתקרב ל-$y=-1$ - מתאים.

$a=-3$: אין אסימפטוטה אנכית, הפונקציה יורדת מ-0 (משמאל) אל $-1$ (מימין). זה גרף III.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I עבור $a=3$ כי האסימפטוטה בו במקום הנכון. צריך לבדוק גם את כיוון הענפים: עבור $a>0$ הפונקציה עולה.

$g$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ($x\neq\ln3$) וגם $f(x)+2\neq0$.

התחום: $x\neq\ln3$, $x\neq\ln6$.

טעות נפוצה: לשכוח את $x\neq\ln3$ כי "$g$ אין לה בעיה שם". $g$ בנויה מ-$f$, ובנקודה שבה $f$ לא מוגדרת גם $g$ לא מוגדרת.

אנכית: ב-$x=\ln6$ המכנה $f(x)+2\to0$ והמונה 1, ולכן $g\to\pm\infty$: אסימפטוטה $x=\ln6$.

ב-$x=\ln3$: $f(x)\to\pm\infty$, ולכן $g(x)=\frac{1}{f(x)+2}\to0$. זו נקודה חסרה $(\ln3,0)$, לא אסימפטוטה.

אופקיות מתוך סעיף א(2):

$x\to-\infty$: $f\to0$, $g\to\frac{1}{2}$. $x\to+\infty$: $f\to-1$, $g\to\frac{1}{-1+2}=1$.

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה $x=\ln3$ כי "הפונקציה לא מוגדרת שם". נקודה שאינה בתחום היא אסימפטוטה רק אם הפונקציה שואפת שם לאינסוף.

בונים את הסקיצה מהמידע שנאסף ומתמונת $f$ (גרף II):

$x<\ln3$: $f$ עולה מ-0 ל-$+\infty$, $f+2$ מ-2 ל-$+\infty$, ולכן $g$ יורדת מ-$\frac12$ ל-0 (חיובית).

$\ln3<x<\ln6$: $f$ עולה מ-$-\infty$ ל-$-2$, $f+2$ שלילי ושואף ל-0, ולכן $g$ יורדת מ-0 ל-$-\infty$.

$x>\ln6$: $f$ עולה מ-$-2$ ל-$-1$, $f+2$ עולה מ-0 ל-1, ולכן $g$ יורדת מ-$+\infty$ ל-1.

בסקיצה: אסימפטוטות $x=\ln6$, $y=\frac12$ (שמאל), $y=1$ (ימין), ועיגול ריק ב-$(\ln3,0)$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף של $g$ "שבור" ב-$x=\ln3$ עם אסימפטוטה. שם הגרף רציף מכל צד ועובר דרך עיגול ריק על ציר ה-$x$.

לא מחשבים את האינטגרלים - חוסמים את $g$ בכל קטע לפי הסקיצה.

בקטע $[-4,-2]$ (משמאל ל-$\ln3$): $0<g(x)<\frac12$. האינטגרל קטן מהשטח של מלבן ברוחב 2 וגובה $\frac12$:

בקטע $[2,3]$ (מימין ל-$\ln6\approx1.79$): $g(x)>1$. האינטגרל גדול מהשטח של מלבן ברוחב 1 וגובה 1:

לכן האינטגרל השמאלי קטן מהימני, והטענה לא נכונה.

טעות נפוצה: להשוות לפי אורך הקטעים ("הקטע השמאלי ארוך פי 2, לכן האינטגרל גדול יותר"). צריך לשלב את גובה הפונקציה: $g<\frac12$ שם, לעומת $g>1$ בקטע הימני.