בגרות במתמטיקה 572 - חורף 2026

משוואה קנונית של אליפסה: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. המוקדים על ציר ה-$x$ בנקודות $(\pm c,0)$, והקשר בין הפרמטרים הוא $a^2=b^2+c^2$.

מהמוקד הנתון: $c^2=25.6$, ולכן $a^2=b^2+25.6$.

הנקודה $A(2,6)$ על האליפסה, ולכן היא מקיימת את המשוואה: $\frac{4}{a^2}+\frac{36}{b^2}=1$.

נסמן $t=b^2$ ונציב $a^2=t+25.6$:

נכפול ב-$t(t+25.6)$:

$t=38.4$ או $t=-24$. $b^2$ חיובי, ולכן $b^2=38.4$ ו-$a^2=38.4+25.6=64$.

משוואת האליפסה: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{38.4}=1$.

טעות נפוצה: לכתוב $b^2=a^2+c^2$ (להחליף בין $a$ ל-$b$). אז $\frac{4}{t}+\frac{36}{t+25.6}=1$ עם $t=a^2$, ומתקבל $a^2\approx19.6$, $b^2\approx45.2$ - אליפסה שהציר הגדול שלה על ציר ה-$y$, בסתירה למוקד הנתון על ציר ה-$x$.

הנקודה B: מציבים $y=0$ במשוואת האליפסה: $\frac{x^2}{64}=1$, $x=8$ (החלק החיובי). $B(8,0)$.

השיפוע של הישר AO: $m=\frac{6-0}{2-0}=3$, ולכן משוואתו $y=3x$.

נקודה כללית על הישר: $C(t,3t)$, כאשר $t$ הוא פרמטר שמשתנה כש-C זזה על הישר.

אמצע הקטע BC:

נסמן $x=\frac{8+t}{2}$ ו-$y=\frac{3t}{2}$, ונסלק את $t$: מהמשוואה הראשונה $t=2x-8$.

המקום הגאומטרי של הנקודות P הוא הישר $y=3x-12$ (ישר המקביל ל-AO).

טעות נפוצה: לחלק ב-2 רק את אחד השיעורים, למשל $P\left(\frac{8+t}{2},3t\right)$. כך מתקבל $y=6x-24$ - ישר שאינו מקביל ל-AO.

הישרים $y=3x$ ו-$y=3x-12$ מקבילים (אותו שיפוע). מעגל המשיק לשני ישרים מקבילים נמצא ביניהם, והמרחק בין הישרים הוא הקוטר שלו.

נכתוב את הישרים בצורה $3x-y=0$ ו-$3x-y-12=0$. המרחק ביניהם:

לכן הרדיוס $R=\frac{6}{\sqrt{10}}$ ו-$R^2=\frac{36}{10}=3.6$.

המעגל משיק ל-AO בנקודה O, ולכן הרדיוס למשיק בנקודת ההשקה ניצב לו: המרכז על הישר הניצב ל-AO דרך O, ששיפועו $-\frac13$: $y=-\frac13x$.

מרכז $M\left(m,-\frac{m}{3}\right)$ במרחק $R$ מ-O:

המרכז צריך להיות בין שני הישרים, בצד של הישר $y=3x-12$. עבור $m=1.8$: $M(1.8,-0.6)$, ומרחקו מהישר $3x-y-12=0$ הוא $\frac{|5.4+0.6-12|}{\sqrt{10}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=R$, כנדרש. עבור $m=-1.8$ המרכז בצד השני של AO ומרחקו מהישר השני $\frac{18}{\sqrt{10}}$ - נפסל.

משוואת המעגל: $(x-1.8)^2+(y+0.6)^2=3.6$.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין הישרים כרדיוס ($R^2=14.4$). המעגל נוגע בשני הישרים, ולכן המרחק ביניהם הוא קוטר - הרדיוס הוא מחציתו.

בתיבה המקצועות הצדדיים ניצבים לבסיסים. $B'$ נמצאת על המישור $A'B'C'D'$ ו-$BB'$ ניצב לו, ולכן $BB'$ הוא המרחק של B מהמישור.

מרחק נקודה $(x_0,y_0,z_0)$ מהמישור $ax+by+cz+d=0$: $\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

טעות נפוצה: לחשב את אורך הנורמל כ-$\sqrt{1+4+8}=\sqrt{13}$ (בלי להעלות את המקדמים בריבוע), ולקבל $BB'=\frac{162}{\sqrt{13}}\approx44.9$. אורך הנורמל $(1,4,-8)$ הוא $\sqrt{81}=9$.

A על הישר, ולכן $A=(0,7+2t,8+t)$ עבור $t$ מסוים, ו-$\overrightarrow{BA}=t(0,2,1)$.

אורך וקטור הכיוון: $|(0,2,1)|=\sqrt{0+4+1}=\sqrt5$. לכן $AB=|t|\cdot\sqrt5$.

$t=5$: $(0,17,13)$ - שיעור $y$ חיובי, נפסל. $t=-5$: $(0,7-10,8-5)=(0,-3,3)$.

$A(0,-3,3)$.

טעות נפוצה: להשוות את $|t|$ עצמו ל-$5\sqrt5$, כאילו וקטור הכיוון באורך 1. מתקבל $t=-5\sqrt5$ והנקודה $\left(0,\ 7-10\sqrt5,\ 8-5\sqrt5\right)$. האורך של $\overrightarrow{BA}$ הוא $|t|$ כפול אורך וקטור הכיוון $\sqrt5$.

במישור $ABB'A'$ יש שני כיוונים ידועים: AB, בכיוון $(0,2,1)$, ו-$BB'$, שניצב למישור $A'B'C'D'$ ולכן בכיוון הנורמל שלו $(1,4,-8)$.

נורמל $\underline n=(a,b,c)$ של המישור ניצב לשני הכיוונים:

מהראשונה $c=-2b$, ומהשנייה $a=-4b+8c=-20b$. עם $b=-1$: $\underline n=(20,-1,2)$.

המישור: $20x-y+2z+d=0$. הצבת $B(0,7,8)$: $-7+16+d=0$, $d=-9$.

$20x-y+2z-9=0$. בדיקה עם $A(0,-3,3)$: $3+6-9=0$.

טעות נפוצה: לקחת את הנורמל $(1,4,-8)$ של $A'B'C'D'$ כנורמל של $ABB'A'$, ולקבל $x+4y-8z+36=0$ - זה מישור הבסיס ABCD (A ו-B שתיהן עליו). הפאות ניצבות זו לזו, ולכן הנורמל של אחת הוא וקטור כיוון של השנייה, לא הנורמל שלה.

$\overrightarrow{AM}=M-A=(k-0,\ 1-(-3),\ 5-3)=(k,4,2)$. כיוון AB: $(0,2,1)$.

הזווית בין ישרים: $\cos\alpha=\frac{|\underline u\cdot\underline v|}{|\underline u|\cdot|\underline v|}$:

$k^2=60$, ו-$k>0$, ולכן $k=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.

טעות נפוצה: להשתמש בווקטור $\overrightarrow{BM}=(k,-6,-3)$ במקום $\overrightarrow{AM}$. מתקבל $5(k^2+45)=900$ ו-$k=3\sqrt{15}$. הזווית נתונה בין הישרים AB ו-AM, שנפגשים ב-A, ולכן הווקטור השני יוצא מ-A.

הפאות $DCC'D'$ ו-$ABB'A'$ הן פאות נגדיות בתיבה, ולכן מקבילות, והמקצוע AD ניצב לשתיהן.

לכן AD שווה למרחק בין שני המישורים - המרחק של כל נקודה על $DCC'D'$, ובפרט M, מהמישור $ABB'A'$.

$M(2\sqrt{15},1,5)$ והמישור $20x-y+2z-9=0$:

נפח התיבה הוא מכפלת שלושת המקצועות היוצאים מקודקוד אחד:

טעות נפוצה: לקחת את $AM$ כאורך המקצוע AD ($AM=\sqrt{80}$, ונפח 1,800). M היא נקודה כלשהי על הפאה, ולא הקודקוד D, ולכן AM אינו ניצב לפאה.

$z=x+iy$ ו-$\bar z=x-iy$, ולכן $z-\bar z=2iy$ ו-$\frac{z-\bar z}{2i}=y$.

$|z-3i|=|x+(y-3)i|=\sqrt{x^2+(y-3)^2}$ - המרחק של הנקודה מהנקודה $(0,3)$.

המשוואה היא:

האגף השמאלי אי-שלילי, ולכן $y+3\ge0$. מעלים בריבוע:

(מ-$x^2=12y$ נובע $y\ge0$, כך שהתנאי $y+3\ge0$ מתקיים תמיד.) זו פרבולה שקודקודה בראשית: $y=\frac{1}{12}x^2$. בלשון גאומטרית: המרחק מהמוקד $(0,3)$ שווה למרחק מהמדריך $y=-3$.

טעות נפוצה: לשכוח שהערך המוחלט הוא שורש ולכתוב $x^2+(y-3)^2=y+3$. מתקבל $x^2+(y-3.5)^2=6.25$ - מעגל ולא פרבולה.

נכתוב $z=\rho\operatorname{cis}\varphi$. לפי דה-מואבר $z^4=\rho^4\operatorname{cis}(4\varphi)$.

השוואת מודולים: $\rho^4=\frac1{r^4}$, ולכן $\rho=\frac1r$.

השוואת ארגומנטים (עד כדי כפולות של $360^\circ$): $4\varphi=4\theta+360^\circ k$, ולכן $\varphi=\theta+90^\circ k$, $k=0,1,2,3$.

(המצולע I הוא ריבוע שמרכזו בראשית.)

טעות נפוצה: לחלק ב-4 רק את $4\theta$ ולקבל פתרון אחד, $\frac1r\operatorname{cis}\theta$. למשוואה ממעלה 4 יש ארבעה פתרונות, ולכן מוסיפים $\frac{360^\circ k}{4}$.

$w=r\operatorname{cis}\theta$.

כפל ב-$-1=\operatorname{cis}180^\circ$ מוסיף $180^\circ$ לארגומנט: $-w=r\operatorname{cis}(\theta+180^\circ)$.

בחילוק מחלקים מודולים ומחסרים ארגומנטים:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac1w=r\operatorname{cis}(-\theta)$ ו-$-\frac1w=r\operatorname{cis}(180^\circ-\theta)$ - להפוך רק את סימן הארגומנט ולא את המודול. בהופכי המודול הוא $\frac1r$.

$w$ ו-$-w$ סימטריים ביחס לראשית, וגם $\frac1w$ ו-$-\frac1w$. לכן האלכסונים של מצולע II (הקטע מ-$w$ ל-$-w$ והקטע מ-$\frac1w$ ל-$-\frac1w$) חוצים זה את זה בראשית, והמצולע הוא מקבילית.

מקבילית היא מעוין אם ורק אם האלכסונים שלה מאונכים.

האלכסון הראשון בכיוון $\theta$, והשני בכיוון $-\theta$. הזווית ביניהם $\theta-(-\theta)=2\theta$.

$2\theta=90^\circ$, ולכן $\theta=45^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש שהאלכסונים יהיו שווים ($2r=\frac2r$) ולקבל $r=1$, שאינו קובע את $\theta$. אלכסונים שווים במקבילית נותנים מלבן, לא מעוין.

מסעיף ד, $\theta=45^\circ$, ולכן $w=r\operatorname{cis}45^\circ=\frac{r}{\sqrt2}+\frac{r}{\sqrt2}i$.

הנקודה $\left(\frac r{\sqrt2},\frac r{\sqrt2}\right)$ על $x^2=12y$:

שטח מצולע II (מעוין): האלכסונים $|w-(-w)|=2r$ ו-$\left|\frac1w-\left(-\frac1w\right)\right|=\frac2r$:

שטח מצולע I (ריבוע): הקודקודים במרחק $\frac1r$ מהראשית, ולכן האלכסון $\frac2r$:

טעות נפוצה: לקחת את $\frac1r$ כצלע הריבוע ($S_I=\frac1{r^2}$, יחס 576). $\frac1r$ הוא המרחק של קודקוד מהמרכז - מחצית האלכסון, לא הצלע.

$f(x)$ יורדת בכל אחד מהתחומים, ולכן $f'(x)\le0$ בהם. נתון ש-$f'(x)\ne0$, ולכן $f'(x)<0$ לכל $x\ne0$.

$e^{f(x)}>0$ לכל $x$ - חזקה של $e$ תמיד חיובית.

$g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ היא מכפלה של מספר חיובי במספר שלילי, ולכן $g(x)<0$ לכל $x\ne0$.

תחומי שליליות: $x<0$ ו-$x>0$. אין תחומי חיוביות.

טעות נפוצה: לקבוע את סימן $g$ לפי סימן $f$: לחשוב ש-$f$ יורדת כמו $\frac1x$, ולכן $g>0$ עבור $x>0$ ו-$g<0$ עבור $x<0$. הגורם $e^{f(x)}$ חיובי בכל מקרה, והסימן של $g$ נקבע רק לפי $f'$, שלילית בשני התחומים.

$f'(x)=-\frac1{x^2}$, ולכן:

$x\to0^+$: $\frac1x\to+\infty$, ולכן $e^{\frac1x}\to\infty$ וגם $\frac1{x^2}\to\infty$: $g(x)\to-\infty$. לכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית.

$x\to0^-$: נסמן $u=\frac1x\to-\infty$. אז $g=-u^2e^{u}\to0$, כי $e^{u}$ שואף לאפס מהר יותר מש-$u^2$ גדל. הגרף מתקרב לראשית משמאל.

$x\to\pm\infty$: $e^{\frac1x}\to e^0=1$ ו-$\frac1{x^2}\to0$, ולכן $g(x)\to0$: $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$y=1$ היא האסימפטוטה האופקית כי $e^{\frac1x}\to1$, ולשכוח את הגורם $\frac1{x^2}$ ששואף לאפס.

$g(x)=-e^{\frac1x}\cdot x^{-2}$. לפי כלל השרשרת $\left(e^{\frac1x}\right)'=e^{\frac1x}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)$. כלל המכפלה:

$e^{\frac1x}>0$ ו-$x^4>0$, ולכן סימן $g'$ הוא סימן $1+2x$. $g'(x)=0$ ב-$x=-\frac12$.

נקודת הקיצון: $\min\left(-0.5,-\frac4{e^2}\right)$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{\frac1x}$ כ-$e^{\frac1x}$ בלי כלל השרשרת. אז $g'=-\frac{e^{1/x}(x-2)}{x^3}$, ומתקבלת נקודה שגויה ב-$x=2$.

מסכמים: $g<0$ בכל התחום (סעיף א); אסימפטוטה אנכית $x=0$ מימין ($g\to-\infty$), ומשמאל $g\to0$; אסימפטוטה אופקית $y=0$; מינימום $\left(-0.5,-\frac4{e^2}\right)\approx(-0.5,-0.54)$; יורדת עבור $x<-0.5$ ועולה עבור $-0.5<x<0$ ועבור $x>0$.

ענף שמאלי: מתחיל קרוב לציר ה-$x$ מלמטה, יורד עד המינימום ועולה חזרה אל הראשית. הראשית אינה בתחום - מסמנים עיגול ריק.

ענף ימני: מתחיל ב-$-\infty$ צמוד לציר ה-$y$, עולה כל הזמן ומתקרב לציר ה-$x$ מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר גם את הענף השמאלי יורד ל-$-\infty$ ליד $x=0$. משמאל $e^{\frac1x}\to0$ מהר יותר מש-$\frac1{x^2}$ גדל, ולכן הגרף מגיע לראשית.

$\left(e^{f(x)}\right)'=e^{f(x)}\cdot f'(x)=g(x)$, ולכן $G(x)=e^{f(x)}=e^{\frac1x}$ היא פונקציה קדומה של $g$.

$a>1$, ולכן $5a>2a>2$ ושני הלוגריתמים חיוביים, ו-$\ln(5a)>\ln(2a)$: $0<\frac1{\ln(5a)}<\frac1{\ln(2a)}$. שני הישרים בתחום $x>0$.

בגבולות: $G\left(\frac1{\ln(2a)}\right)=e^{\ln(2a)}=2a$ ו-$G\left(\frac1{\ln(5a)}\right)=e^{\ln(5a)}=5a$.

$g<0$ בתחום, ולכן השטח הוא $3a$: $3a=9$, $a=3$.

טעות נפוצה: להשוות את האינטגרל עצמו ל-9: $-3a=9$ ו-$a=-3$, שסותר את $a>1$. הגרף מתחת לציר, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.