בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2025 מועד ב'

מהמשוואה הקנונית: $a^2=25k^2$, $b^2=16k^2$, ולכן ($k>0$) $a=5k$, $b=4k$.

באליפסה המוקדים על הציר הראשי, ו-$c^2=a^2-b^2$:

האליפסה חותכת את החלק החיובי של ציר ה-$x$ בקודקוד $(5k,0)$.

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז $F$ לקודקוד: $r=5k-3k=2k$.

טעות נפוצה: לחשב $c^2=a^2+b^2$ (כמו בהיפרבולה) ולקבל $c=\sqrt{41}k$ - באליפסה $c<a$, ולכן $c^2=a^2-b^2$.

$B$ הוא קודקוד ציר המשנה: $B(0,4k)$.

(זה תמיד כך באליפסה: המרחק מקודקוד ציר המשנה למוקד שווה ל-$a$, כי $b^2+c^2=a^2$.)

$D$ נמצאת על המעגל, ולכן $DF$ הוא רדיוס: $DF=2k$.

$D$ על הקטע $BF$, ולכן $BD=BF-DF=5k-2k=3k$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$BD$ הוא הרדיוס (כי "D על המעגל") - הרדיוס נמדד מהמרכז $F$, ולכן הרדיוס הוא $DF$ ולא $BD$.

$D$ מחלקת את הקטע מ-$B$ ל-$F$ ביחס $3:2$, כלומר $D$ נמצאת $\frac35$ מהדרך מ-$B$ ל-$F$:

בדיקה: $(1.8k-3k)^2+(1.6k)^2=1.44k^2+2.56k^2=4k^2$ - הנקודה על המעגל.

טעות נפוצה: להחליף את המשקלים ולקבל $(1.2k,2.4k)$ - זו הנקודה שנמצאת $\frac35$ מהדרך מ-$F$ ל-$B$, קרובה יותר ל-$B$.

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שיפוע הרדיוס $FD$:

שיפוע המשיק הוא ההופכי והנגדי: $m=\frac34$.

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע $-\frac34$ (רק הופכי, בלי לשנות סימן) - ישרים מאונכים מקיימים $m_1\cdot m_2=-1$.

הצלע הנגדית מקבילה למשיק, ולכן משוואתה מהצורה $-3x+4y+c=0$, והמרחק בין שני הישרים הוא אורך הצלע, 15:

בוחרים לפי הנקודה $B(0,4k)$: היא בתוך הריבוע, ולכן בין המשיק לצלע הנגדית.

נציב את $B$ בביטוי $-3x+4y$: מתקבל $16k$. על המשיק $-3x+4y=k$, ועל הישר השני $-3x+4y=-c$.

עבור $c=-k+75$: $-c=k-75<k<16k$, ולכן $B$ לא בין הישרים.

עבור $c=-k-75$: $-c=k+75$, ו-$k<16k<k+75$ כש-$k<5$ - $B$ בין הישרים.

טעות נפוצה: לשכוח ששני ישרים מקבילים במרחק 15 יש משני צדי המשיק, ולבחור את $-3x+4y-k+75=0$ בלי לבדוק באיזה צד נמצאת $B$.

נקודת המפגש של אלכסוני ריבוע היא מרכזו, והמרחק שלה מכל צלע הוא חצי צלע: $\frac{15}{2}=7.5$.

המרחק של $B(0,4k)$ מהמשיק $-3x+4y-k=0$:

$k=2.5<5$, כפי שנדרש בסעיף ד.

טעות נפוצה: להשוות את המרחק לאורך הצלע כולה ($3k=15$) ולקבל $k=5$ - מרכז הריבוע נמצא באמצע, במרחק חצי צלע.

קודם מבטאים את $\overrightarrow{OE}$: מ-$O$ עולים ל-$O'$, ומשם שליש מהדרך ל-$B$:

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{O'B}=\underline v+\underline w$ - מ-$O'$ ל-$B$ יורדים: $\vec{O'B}=\overrightarrow{OB}-\vec{OO'}=\underline v-\underline w$.

$K$ אמצע $AB$: $\overrightarrow{OK}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$.

משווים לסעיף א(1): כל מקדם של $\vec{O'K}$ כפול מהמקדם המתאים של $\vec{O'N}$:

שני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה $O'$ ומקבילים, ולכן $K$, $N$, $O'$ על ישר אחד, ו-$O'K:O'N=2:1$ ($N$ אמצע $O'K$).

טעות נפוצה: להסתפק בכך ש-$\vec{O'K}\parallel\vec{O'N}$ בלי לציין שיש להם נקודה משותפת - וקטורים מקבילים לבדם יכולים להיות על שני ישרים מקבילים.

נסמן $B(0,b,0)$ ו-$O'(0,0,h)$.

משווים ל-$E(0,1,6)$: $\frac b3=1\Rightarrow b=3$, $\frac{2h}{3}=6\Rightarrow h=9$. לכן $B(0,3,0)$, $O'(0,0,9)$.

לפי סעיף א(1): $\overrightarrow{ON}=\frac14\underline u+\frac14\underline v+\frac12\underline w$, כאשר $\underline u=(4,0,0)$, $\underline v=(0,3,0)$, $\underline w=(0,0,9)$:

טעות נפוצה: לכתוב $E=\frac13O'+\frac23B$ (משקלים הפוכים) ולקבל $b=1.5$, $h=18$ - $E$ קרובה ל-$O'$, ולכן המשקל של $O'$ הוא $\frac23$.

$A'(4,0,9)$, $B'(0,3,9)$, $K(2,1.5,0)$.

$\vec{A'B'}=(-4,3,0)$, $\vec{A'K}=(-2,1.5,-9)$. וקטור נורמל $\underline n=(p,q,r)$ מאונך לשניהם:

מהראשונה $q=\frac43p$; בשנייה $-2p+2p-9r=0$, כלומר $r=0$. נבחר $p=3$: $\underline n=(3,4,0)$.

$3x+4y+d=0$ עובר דרך $A'$: $12+d=0\Rightarrow d=-12$.

בדיקה: $K$: $6+6-12=0$, $B'$: $0+12-12=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $K(4,3,0)$ (את $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$) במקום אמצע $AB$, $K(2,1.5,0)$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\sqrt{3+4}$ במקום ב-$\sqrt{3^2+4^2}$ ולקבל $\frac6{\sqrt7}\approx2.27$. המכנה הוא אורך הנורמל, 5.

הבסיס הוא המשולש $A'KB'$, והגובה הוא המרחק מ-$N$ למישור שלו, 1.2.

שטח הבסיס: $A'B'=\sqrt{16+9+0}=5$. אמצע $A'B'$ הוא $M(2,1.5,9)$, ו-$K(2,1.5,0)$ נמצאת בדיוק מתחתיו: $\overrightarrow{KM}=(0,0,9)$, ו-$\overrightarrow{KM}\cdot\vec{A'B'}=0$.

לכן $KM=9$ הוא הגובה לצלע $A'B'$:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנפח פירמידה ולקבל 27.

$z_2=\frac{-19+4i}{2+3i}$. כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, $2-3i$:

בדיקה: $(2+3i)(-2+5i)=-4+10i-6i+15i^2=-19+4i$.

טעות נפוצה: לחשב $-12i^2$ כ-$-12$ - כי $i^2=-1$, $-12i^2=+12$.

$z_1+z_2=(2-2)+(3+5)i=8i$. בהצגה קוטבית: $8i=8cis90^\circ$.

$w=r\,cis\varphi$, ולפי דה-מואבר $w^3=r^3cis3\varphi$:

$k=0,1,2$: $\varphi=30^\circ,150^\circ,270^\circ$.

טעות נפוצה: לחלק רק את $90^\circ$ ב-3 ולקבל פתרון אחד - בלי $360^\circ k$ מפספסים את שני השורשים האחרים.

לפי דה-מואבר: $z^3=8cis3\theta$.

שני מספרים (שונים מ-0) נמצאים על ישר אחד דרך הראשית אם הארגומנטים שלהם שווים או נבדלים ב-$180^\circ$ (באותו כיוון או בכיוונים מנוגדים):

בתחום: $\theta=0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$ ($360^\circ$ נותן שוב את $z=2$).

טעות נפוצה: לדרוש $3\theta=\theta+360^\circ k$ בלבד (אותו כיוון) ולקבל רק $z=2$, $z=-2$ - על ישר דרך הראשית אפשר להיות גם בכיוונים מנוגדים.

לכל שבעת המספרים ערך מוחלט 2, ולכן כולם על המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2.

$-2i$ מופיע גם בסעיף ב וגם בסעיף ג, ולכן יש 6 קודקודים שונים: $2$ ($0^\circ$), $\sqrt3+i$ ($30^\circ$), $2i$ ($90^\circ$), $-\sqrt3+i$ ($150^\circ$), $-2$ ($180^\circ$), $-2i$ ($270^\circ$).

מסמנים אותם על המעגל ומחברים לפי סדר הארגומנטים - מתקבל משושה (לא משוכלל).

טעות נפוצה: לספור 7 קודקודים - $-2i$ הוא אותה נקודה בשני הסעיפים.

מחלקים את המצולע למשולשים שקודקודם בראשית. לכל משולש שתי צלעות באורך 2 (רדיוסים), והזווית ביניהן היא ההפרש בין הארגומנטים.

ההפרשים לפי הסדר: $30^\circ,60^\circ,60^\circ,30^\circ,90^\circ,90^\circ$ (סכומם $360^\circ$).

טעות נפוצה: לחשב כאילו המשושה משוכלל ($6\sqrt3$) - הזוויות המרכזיות כאן לא שוות.

כפל ב-$3cis\alpha$: הערך המוחלט של כל קודקוד מוכפל ב-3, ולארגומנט מתווסף $\alpha$.

כלומר כל המצולע מסתובב ב-$\alpha$ סביב הראשית ומתמתח פי 3 - המצולע החדש דומה למקורי ביחס דמיון 3.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $3^2=9$.

טעות נפוצה: לענות "פי 3" - כל האורכים גדלים פי 3, אבל השטח גדל פי $3^2$.

הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל $x$ (המכנה $e^x-x$ חיובי תמיד), ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית.

$x\to\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^x$. $\frac{x}{e^x}\to0$ (המעריכית גדלה מהר יותר), ולכן:

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן המנה מתקרבת ל-$\frac{x}{-x}=-1$.

לכן $y=1+b$ אסימפטוטה אופקית כש-$x\to\infty$, ו-$y=-1+b$ אסימפטוטה אופקית כש-$x\to-\infty$.

טעות נפוצה: לכתוב שהגבול ב-$-\infty$ הוא 1 "כמו ב-$+\infty$" - כש-$x\to-\infty$, $e^x$ זניח והיחס בין האיברים הלינאריים קובע: $\frac{x}{-x}=-1$.

נקודת החיתוך: $(0,\ 1+b)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפרמטר $b$ ולתת את הנקודה $(0,1)$. $b$ מתווסף לכל ערך של הפונקציה, ולכן $f(0)=1+b$.

גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המונה $e^x+x$ היא $e^x+1$, ונגזרת המכנה $e^x-x$ היא $e^x-1$:

פותחים את המונה: $e^{2x}-xe^x+e^x-x-\left(e^{2x}-e^x+xe^x-x\right)=2e^x-2xe^x$.

$e^x>0$ והמכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $1-x$: חיובי ל-$x<1$, שלילי ל-$x>1$.

הפונקציה עולה ואחר כך יורדת - ב-$x=1$ יש מקסימום:

טעות נפוצה: לפתוח את $-(e^x+x)(e^x-1)$ בלי להפיץ את המינוס על כל האיברים - אז $e^{2x}$ לא מתבטל והנגזרת יוצאת שגויה.

לפי סעיף א(1) לפונקציה שתי אסימפטוטות אופקיות, $y=1+b$ ו-$y=-1+b$. כל אחת מהן יכולה להיות $y=1.5$:

טעות נפוצה: לבדוק רק את האסימפטוטה כש-$x\to\infty$ ולקבל אפשרות אחת.

$b=0.5$. מסעיף א: אסימפטוטות $y=1.5$ (ימין) ו-$y=-0.5$ (שמאל), חיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,1.5)$, מקסימום ב-$(1,\ 2.66)$.

$f(x)-1.5=\frac{e^x+x}{e^x-x}-1=\frac{2x}{e^x-x}$, חיובי ל-$x>0$ - לכן מימין הגרף מתקרב ל-$y=1.5$ מלמעלה.

הגרף: עולה מ-$y=-0.5$, חותך את ציר ה-$x$ פעם אחת (בערך שלילי של $x$), עובר דרך $(0,1.5)$, מגיע למקסימום ב-$x=1$ ויורד חזרה לכיוון $y=1.5$.