מבחן לדוגמה: בעיות קיצון גאומטריות במישור - פולינום - כיתה י' 4 יח"ל

הקטע $AB$ אורכו $12$. הנקודה $M$ נמצאת על הקטע $AB$ (בין $A$ ל-$B$), ונסמן $AM=x$. על הקטעים $AM$ ו-$MB$ בונים משולשים שווי-צלעות $AMP$ ו-$MBQ$, שניהם באותו צד של הקטע $AB$. נתון כי $PQ^2=3x^2-36x+144$.

אורך הצלע של הריבוע $ABCD$ הוא 10 ס"מ. על הצלעות $AB$, $BC$, $CD$ ו-$DA$ נמצאות הנקודות $E$, $F$, $G$ ו-$H$ בהתאמה, כך ש-$AE=BF=CG=DH=x$ (ראו סרטוט). ידוע כי המרובע $EFGH$ הוא ריבוע.

במשולש ישר זווית $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) נתון: $AC=6$ ס"מ, $BC=12$ ס"מ. במשולש חסום מלבן $CDEF$: הקודקוד $D$ על הניצב $AC$, הקודקוד $F$ על הניצב $BC$, והקודקוד $E$ על היתר $AB$. נסמן $CD=x$ ס"מ.

חוט שאורכו 28 ס״מ חותכים לשני חלקים. מחלק אחד יוצרים ריבוע, ומן החלק האחר יוצרים מלבן שאורכו גדול פי 3 מרוחבו. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הריבוע (בס״מ).

אורך הצלע של הריבוע $ABCD$ הוא $6$ ס"מ. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $BC$, כך ש-$BF=2\cdot AE$. נסמן $AE=x$ ס"מ, כאשר $0<x<3$.

במשולש ישר זווית $AEB$ ($\angle AEB=90^\circ$) נתון: $2\cdot AE+EB=12$ ס"מ. על היתר $AB$ בנו ריבוע $ABCD$ מחוץ למשולש (ראו ציור). נסמן $AE=x$.