מבחן לדוגמה: בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש - כיתה י' 4 יח"ל

במשולש ישר זווית אורך היתר הוא $10$ ס"מ. נסמן ב-$x$ את אורך אחד הניצבים ($0<x<10$).

במשולש שווה שוקיים סכום האורכים של הבסיס ושל הגובה לבסיס הוא 24 ס"מ. נסמן ב-$2x$ את אורך הבסיס. אורך שוק המשולש הוא $\sqrt{5x^2-96x+576}$, כאשר $0<x<12$.

נתון מלבן $ABCD$.

הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$.

$E$ היא נקודה על הצלע $AD$, כך ש-$EF$ מאונך ל-$AD$.

הנקודה $K$ נמצאת על $EF$ כך ש-$EK=KC=12$ ס"מ (ראו סרטוט).

$FC=x$, ונתון כי $FK=\sqrt{144-x^2}$, כאשר $0<x<12$.

במשולש ישר-זווית $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) סכום האורכים של הניצב $AC$ ושל היתר $AB$ הוא $12$ ס"מ. נסמן $AC=x$.

מציל עומד בנקודה A על החוף, במרחק $30$ מטר מקו המים הישר. מתרחץ במצוקה נמצא בנקודה B בים, במרחק $20$ מטר מקו המים. הנקודות C ו-D הן ההיטלים של A ושל B על קו המים, ו-$CD=55$ מטר. המציל רץ על החול במהירות $4$ מטר לשנייה עד לנקודה P שעל קו המים, ומשם שוחה בקו ישר ל-B במהירות קבועה של $v$ מטר לשנייה, כמתואר באיור. ידוע כי זמן ההגעה הקצר ביותר מתקבל כאשר $CP=40$ מטר.

שני עמודים ניצבים לקרקע אופקית: גובה העמוד AT הוא $3$ מטר, גובה העמוד BS הוא $6$ מטר, והמרחק AB בין בסיסיהם הוא $12$ מטר. כבל נמתח מראש העמוד הנמוך T אל נקודה P שעל הקרקע בין שני הבסיסים, ומ-P אל ראש העמוד הגבוה S, כמתואר באיור. נסמן $AP=x$.