מבחן לדוגמה: ניסוי רב-שלבי ועץ הסתברויות - כיתה י' 4 יח"ל

בכיתה 25 תלמידים, ו-9 מהם רשומים לחוג רובוטיקה. המורה בוחרת באקראי שני תלמידים מן הכיתה, זה אחר זה (ללא החזרה).

בדרך לעבודה דנה עוברת בשני רמזורים. ההסתברות שהרמזור הראשון ירוק כשהיא מגיעה אליו היא 0.4. אם הרמזור הראשון ירוק, ההסתברות שגם השני יהיה ירוק כשתגיע אליו היא 0.75. אם הרמזור הראשון אדום, ההסתברות שהשני יהיה ירוק היא 0.3.

בעיר מסוימת יורד גשם ב-30% מימי החורף. התחזית מנבאת גשם ב-85% מהימים הגשומים וב-20% מהימים שבהם לא יורד גשם. בוחרים באקראי יום חורף אחד.

לפניכם עץ הסתברויות המתאר את הניסוי.

בקופסה יש 10 כדורים: 6 אדומים ו-4 כחולים. מוציאים באקראי כדור מן הקופסה. אם הכדור אדום, מחזירים אותו לקופסה. אם הכדור כחול, משאירים אותו מחוץ לקופסה. לאחר מכן מוציאים באקראי כדור נוסף.

בחבילה א' יש 3 שוקולדים ו-9 סוכריות. בחבילה ב' יש $n$ שוקולדים ו-10 סוכריות ($n$ מספר טבעי, $n\ge1$). מטילים שני מטבעות הוגנים. אם בשני המטבעות מתקבל "עץ", בוחרים בחבילה א' ומוציאים ממנה באקראי ממתק. אחרת בוחרים בחבילה ב' ומוציאים ממנה באקראי ממתק.

מועמדים לתוכנית מצטיינים עוברים שלושה שלבי מיון. מי שלא עבר בהצלחה שלב מסוים, לא ממשיך לשלב הבא, ומי שעובר בהצלחה את שלושת השלבים מתקבל לתוכנית.

80% מן המועמדים עוברים בהצלחה את השלב הראשון. ההסתברות שמועמד שעבר את השלב הראשון יעבור בהצלחה גם את השלב השני היא $p$. 50% מן המועמדים שעברו בהצלחה את השלב השני, עוברים בהצלחה גם את השלב השלישי.

לפניכם עץ הסתברויות המתאר את שלבי המיון.