מבחן לדוגמה: בעיות ערך קיצון: גאומטריה - כיתה י' 5 יח"ל

חקלאי מגדר חלקה מלבנית הצמודה לנהר ישר. לאורך הנהר אין צורך בגדר. גדר פנימית, הניצבת לנהר, מחלקת את החלקה לשתי חלקות. לרשות החקלאי $120$ מטר גדר, והוא משתמש בכולה (שתי הצלעות הניצבות לנהר, הגדר הפנימית והצלע המקבילה לנהר). נסמן ב-$x$ את אורך כל אחת משלוש הגדרות הניצבות לנהר (במטרים).

במשולש שווה שוקיים אורך כל אחת מהשוקיים 10 ס"מ, ואורך הבסיס $2x$.

מפח ריבועי שצלעו $12$ ס"מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס"מ, ומקפלים את השוליים לתיבה פתוחה מלמעלה (ראו איור).

מכל פתוח מלמעלה (בלי מכסה) בצורת תיבה שבסיסה ריבוע, ונפחו $16$ מ"ק. מטר רבוע של חומר לבסיס עולה $40$ ש"ח, ומטר רבוע של חומר לדפנות עולה $10$ ש"ח. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הבסיס (במטרים).

נתונה הפונקציה $f(x)=3x-x^3$. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-$x$ שלה הוא $t$. הנקודה P היא העקב של האנך מ-B לציר ה-$x$, ו-O היא ראשית הצירים.

נתונה הפונקציה $f(x)=3-x^2$. בנקודה $P$ שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון, ששיעור ה-$x$ שלה הוא $t$ ($0<t<\sqrt3$), מעבירים משיק לגרף. המשיק חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה-$y$ בנקודה $B$, ו-$O$ היא ראשית הצירים. בסרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{x-3}+2$. הנקודה $M$ היא נקודת החיתוך של שתי האסימפטוטות של הפונקציה. הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה-$x$ שלה גדול מ-$3$.

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+2x$ והישר $y=2x+b$. $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ כך ששיעור ה-$x$ שלה קטן משיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. הנקודה $B$ נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע $AB$ מקביל לציר ה-$x$. נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $A$. נתון: $-1.5\le t\le2.5$.