מבחן לדוגמה: בעיות ערך קיצון: מספרים ופונקציות - כיתה י' 5 יח"ל

$x$ ו-$y$ הם שני מספרים אי-שליליים המקיימים $x+2y=20$. מחפשים את הערך הקטן ביותר של סכום הריבועים $x^2+y^2$.

רשמו את פונקציית המטרה כפונקציה של $x$ בלבד, ואת תחום ההגדרה שלה.

$x$ ו-$y$ הם שני מספרים חיוביים שמכפלתם $50$. מחפשים את הערך הקטן ביותר של סכום המספר $x$ ופעמיים המספר $y$.

רשמו את פונקציית המטרה כפונקציה של $x$ בלבד, ואת תחום ההגדרה שלה.

מצאו את שני המספרים שבעבורם סכום החזקה השלישית של $x$ ופי $147$ מהמספר $y$ הוא הקטן ביותר, ואת הסכום הקטן ביותר.

הביעו את $P$ באמצעות $x$ בלבד, ורשמו את תחום ההגדרה של $x$.

מצאו את שני המספרים שבעבורם המכפלה $P$ היא הגדולה ביותר, ואת המכפלה הזו.

האם ייתכן ש-$P=3500$? נמקו.

מצאו את $x$ שבעבורו הביטוי $\frac{x^2+16}{xy}$ מקבל את ערכו המינימלי, ואת הערך המינימלי.

מהו הערך המקסימלי של הביטוי $\frac{xy}{x^2+16}$? נמקו.

מצאו את שיעורי הנקודה $A$ שעבורה שיפוע הישר $PA$ הוא הגדול ביותר, ומצאו את משוואת הישר $PA$ במקרה זה.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרפים, והביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$.

מצאו את $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ מקסימלי, ואת האורך.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ מינימלי.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ מקסימלי.

מצאו את $x$ ואת $y$ שבעבורם המכפלה $xy$ היא הגדולה ביותר, ואת המכפלה הזאת.

מצאו את $x$ ואת $y$ שבעבורם הסכום $x^2+y^2$ הוא הקטן ביותר, ואת הסכום הזה.