מבחן לדוגמה: מושג הנגזרת - כיתה י' 5 יח"ל

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $f(x)$ בקטע $0\le x\le 2$.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $f(x)$ בקטע $-1\le x\le 3$.

מצאו את $a$ ואת $b$, והסבירו מדוע הנתונים אינם מאפשרים למצוא את $c$.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $f(x)$ בקטעים $0\le x\le1$, $1\le x\le4$ ו-$4\le x\le9$. האם קצב השינוי של $f$ אחיד? כיצד הוא משתנה כאשר $x$ גדל?

יהיו $0\le a<b$. הראו שקצב השינוי הממוצע של $f(x)$ בקטע $a^2\le x\le b^2$ הוא $\frac{4}{a+b}$, ובדקו את הנוסחה עבור הקטע $4\le x\le 9$ מסעיף א.

$n$ הוא מספר טבעי. מצאו את $n$ שעבורו קצב השינוי הממוצע של $f(x)$ בקטע $n^2\le x\le (n+1)^2$ הוא $\frac49$, ורשמו את הקטע.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $f$ בקטע שבין $x=1$ ל-$x=1+h$ עבור $h=0.1$, עבור $h=0.01$ ועבור $h=-0.01$. על פי התוצאות, העריכו את $f'(1)$.

מצאו את $f'(x)$ לפי הגדרת הנגזרת.

מצאו את הנקודה $P$ שעל גרף הפונקציה שבה המשיק לגרף מקביל לישר $y=-2x+3$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה $P$, ואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$x$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה $A$.

השתמשו במשיק כדי להעריך את $f(1.2)$. חשבו את הערך המדויק ואת השגיאה, כלומר את ההפרש בין הערך המדויק להערכה.

הראו כי לכל $h$ השגיאה בהערכת $f(1+h)$ בעזרת המשיק היא $h^2$. בדקו את התוצאה של סעיף ב, ומצאו לאילו ערכים של $h$ השגיאה קטנה מ-$0.01$.

מצאו את המהירות הרגעית של הגוף ברגע $t=3$.

באיזה רגע מהירות הגוף היא $19$ מטר לשנייה?

חשבו את קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה ב-$10$ הדקות הראשונות. ציינו את היחידות.

מצאו את $T'(t)$, ומצאו באיזה רגע קצב השינוי הרגעי של הטמפרטורה שווה לקצב הממוצע שמצאתם בסעיף א.

מאיזה רגע התה מתקרר בקצב של פחות ממעלה אחת לדקה? מה הטמפרטורה של התה ברגע זה?