מבחן לדוגמה: הצגה מפורשת והצגה כללית של ישר - כיתה י' 5 יח"ל

כתבו את משוואת הישר $y=-\frac23x+\frac52$ בהצגה כללית $ax+by+c=0$, עם מקדמים שלמים.

לפניכם שלושה ישרים בהצגה כללית:

כתבו כל ישר בהצגה מפורשת $y=mx+n$, וקבעו עבור כל ישר אם הוא עולה, יורד או מקביל לציר ה-$x$.

מצאו את $a$ ואת $c$, וכתבו את משוואת הישר בהצגה מפורשת.

כתבו את משוואת הישר $\ell$ בהצגה מפורשת. מהו השיפוע שלו, ומהי נקודת החיתוך $B$ שלו עם ציר ה-$y$?

הישר $k$ עובר דרך הנקודה $B$, והשיפוע שלו הוא המספר הנגדי לשיפוע של $\ell$. כתבו את משוואת $k$ בהצגה מפורשת ובהצגה כללית עם מקדמים שלמים.

הישר $\ell$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$, והישר $k$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $C$. מצאו את שיעורי $A$ ו-$C$, חשבו את שטח המשולש $ABC$, והראו שהמשולש $ABC$ שווה שוקיים.

הראו ש-$\ell_1\parallel\ell_2$. אחר כך מצאו את משוואת הישר $\ell_3$, המקביל לשני הישרים, כך ש-$\ell_2$ נמצא באמצע בין $\ell_1$ ל-$\ell_3$: כל ישר שחותך את שלושת הישרים חותך את $\ell_2$ באמצע הקטע שבין נקודות החיתוך עם $\ell_1$ ועם $\ell_3$.

מצאו את משוואת הישר $AB$ בהצגה כללית עם מקדמים שלמים, והראו שאפשר לכתוב אותה גם בצורה $\frac x6+\frac{y}{-4}=1$.

הכלילו את סעיף א: הישר עובר דרך הנקודות $(p,0)$ ו-$(0,q)$, כאשר $p\ne0$ ו-$q\ne0$. הראו שמשוואת הישר היא $\frac xp+\frac yq=1$.

ישר עובר דרך הנקודה $P(2,3)$, ושיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$x$ שווה לשיעור ה-$y$ של נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$ (ושניהם שונים מ-0). היעזרו בסעיף ב, ומצאו את משוואת הישר בהצגה כללית.

כתבו את משוואת הישר $PQ$, והביעו באמצעות $t$ את שיעורי הנקודה $Q$.

מצאו את שיעורי $A$, והראו ששטח המשולש $PQA$ הוא $S(t)=\frac38(8-t)^2$.

מצאו את $t$ שעבורו שטח המשולש $PQA$ הוא רבע משטח המשולש $AOB$. מה אפשר לומר על הנקודה $Q$ במקרה זה?